Brontekst bekijken van Stelling van Karhunen-Loève

De '''stelling van Karhunen-Loève''', ook bekend als de '''stelling van Kosambi–Karhunen–Loève''', is een [[Stelling (wiskunde)|stelling]] in de theorie van de stochastische processen die stelt dat, analoog aan een [[fourierreeks]], ook een [[stochastisch proces]] voorgesteld kan worden als een [[oneindig]]e [[lineaire combinatie]] van [[Orthogonaal|orthogonale]] functies. De stelling is genoemd naar [[Kari Karhunen]] en [[Michel Loève]].<ref name="sapatnekar">{{Citeer journal |last=Sapatnekar |first=Sachin | titel= Overcoming variations in nanometer-scale technologies| journal= IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems|volume= 1|year= 2011 |issue= 1|pages= 5–18}}</ref><ref name="ghoman">{{Citeer boek|last=Ghoman |first=Satyajit |last2= Wang|first2= Zhicun|last3=Chen |first3=PC |last4=Kapania|first4=Rakesh|title= A POD-based Reduced Order Design Scheme for Shape Optimization of Air Vehicles|booktitle=Proc of 53rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, AIAA-2012-1808, Honolulu, Hawaii |year=2012}}</ref>

Stochastische processen gegeven door een reeks van deze vorm, zijn voor het eerst<ref name="Raju">{{Citeer journal |first=C.K. |last=Raju | titel=Kosambi the Mathematician | journal=Economic and Political Weekly |volume=44 |year=2009 |issue=20 |pages=33–45}}</ref> beschouwd door [[Damodar Dharmananda Kosambi]].<ref name="Kosambi">{{Citeer journal |first=D. D. |last=Kosambi | titel=Statistics in Function Space | journal=Journal of the Indian Mathematical Society |volume=7 |year=1943 |issue= |pages=76–88 }}.</ref>

Er bestaan meerdere ontwikkelingen van een stochastisch proces: als het proces geïndiceerd is over het interval <math>[a,b]</math>, levert elke [[orthonormale basis]] van <math>{\rm L}^2([a,b])</math> een ontwikkeling in termen van deze basis. Het belang van de stelling van Karhunen-Loève is dat daardoor de beste van zulke bases bepaald wordt, in de zin dat de totale gemiddelde kwadratische fout minimaal is.

In tegenstelling tot een fourierreeks, waarin de coëfficiënten reële getallen zijn en de basis van de ontwikkeling bestaat uit [[goniometrische functie]]s, zijn de coëfficiënten in de stelling van Karhunen-Loève [[stochastische variabele]]n en is de basis afhankelijk van het proces. De basis van orthogonale functies die in de voorstelling gebruikt worden, wordt bepaald door de [[autocorrelatie]] van het proces.

In het geval van een zogeheten ''gecentreerd'' stochastisch proces <math>\{X_t|t\in [a,b]\}</math>, d.w.z. een proces waarvan de verwachtingen bestaan, met <math>{\rm E}X_t=0</math> voor alle <math>t\in [a,b]</math> en dat voldoet aan zekere technische continuïteitsvoorwaarden, is er een ontwikkeling mogelijk zo, dat
:<math>X_t = \sum_{k=1}^\infty Z_k e_k(t)</math>,

waarin <math>(Z_k)</math> paarsgewijs [[Correlatiecoëfficiënt|ongecorreleerd]]e stochastische variabelen zijn en <math>(e_k)</math> continue reëelwaardige functies op <math>[a,b]</math> die paarsgewijs [[orthogonaal]] zijn in <math>{\rm L}^2([a,b])</math>. Men zegt daarom wel dat de ontwikkeling ''bi-orthogonaal'' is aangezien de random coëfficiënten <math>(Z_k)</math> orthogonaal zijn in de [[Axioma's van de kansrekening#Kansruimte|kansruimte]] en de deterministische functies <math>(e_k)</math> orthogonaal zijn in het tijddomein.

Het algemene geval van een proces <math>\{X_t\}</math> dat niet gecentreerd is, kan in veel gevallen herleid worden tot het geval van een gecentreerd proces door te kijken naar <math>\{X_t-{\rm E}X_t\}</math>.

==Zie ook==
* [[Hoofdcomponentenanalyse]]

==Referenties==
{{References}}

[[Categorie:Wiskundige stelling|Karhunen-Loeve]]