Brontekst bekijken van Stelling van Artin-Wedderburn

In de [[abstracte algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''stelling van Artin-Wedderburn''' een [[classificatiestelling]] voor [[semi-enkelvoudige algebra|halfenkelvoudige]] [[ring (wiskunde)|ring]]en. De stelling zegt dat een halfenkelvoudige ring <math>R</math> voor sommige [[geheel getal|gehele getallen]] <math>n_i</math> en sommige [[delingsring]]en <math>D_i</math> die beide uniek worden bepaald op permutatie van de index <math>i</math> na, [[isomorfisme|isomorf]] is met een [[Product van ringen|product]] van <math>n_i\times n_i</math>-[[matrixring]]en over delingsringen <math>D_i.</math> In het bijzonder is enige [[enkelvoudige ring|enkelvoudige]] linker of rechter [[Artiniaanse ring]] isomorf met een <math>n\times n</math> matrixring over een delingsring <math>D,</math> waar zowel <math>n</math> als <math>D</math> uniek zijn bepaald. 

Als direct uitvloeisel daarvan impliceert de stelling van Artin-Wedderburn dat iedere enkelvoudige ring die eindig-dimensionaal is over een delingsring (een ''enkelvoudige algebra'') een matrixring is. Dit is het originele resultaat van [[Joseph Wedderburn]]. [[Emil Artin]] heeft dit resultaat later veralgemeend voor het geval van de [[Artiniaanse ring]]en.  

Merk op dat als <math>R</math> een eindig-dimensionale enkelvoudige algebra over een delingsring <math>E</math> is, <math>D</math> niet in <math>E</math> vervat hoeft te zijn. Matrixringen over de [[complex getal|complexe getal]]len zijn bijvoorbeeld eindig-dimensionale enkelvoudige algebra's over de [[reëel getal|reële getal]]len. 

De stelling van Artin-Wedderburn reduceert het classificeren van [[enkelvoudige ring]]en over een delingsring tot het classificeren van delingsringen die een gegeven delingsring bevatten. Dit kan op zijn beurt weer worden vereenvoudigd: Het [[centrum (algebra)|centrum]] van <math>D</math> moet een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam/veld]] <math>K</math> zijn. Daarom is <math>R</math> een <math>K</math>-algebra en heeft <math>R</math> het lichaam/veld <math>K</math> als centrum. Een [[eindige verzameling|eindig]]-[[Dimensie (algemeen)|dimensionale]] enkelvoudige algebra <math>R</math> is dus een [[centrale enkelvoudige algebra]] over <math>K</math>. De stelling van Artin-Wedderburn reduceert het probleem van het classificeren van eindig-dimensionale centrale enkelvoudige algebra's dus tot probleem van het classificeren van delingsringen met een gegeven centrum.

== Voorbeelden ==
Laat <math>\R</math> het veld van de [[reëel getal|reële getallen]], <math>\Complex</math> het lichaam/veld van de [[complex getal|complexe getal]]len en <math>\mathbb{H}</math> het scheeflichaam/lichaam van de [[quaternion]]en zijn. 

* Elke eindig-dimensionale enkelvoudige algebra over <math>\R</math> moet een matrixring over <math>\R, \Complex</math> of <math>\mathbb{H}</math> zijn. Elke centrale enkelvoudige algebra over <math>\R</math> moet een matrixring over <math>\R</math> of <math>\mathbb{H}</math> zijn. Deze resultaten volgen uit de [[stelling van Frobenius (delingsalgebra)|stelling van Frobenius]]. 
* Elke eindig-dimensionale enkelvoudige algebra over <math>\Complex</math> moet een matrixring over <math>\Complex</math> zijn en dus moet iedere centrale enkelvoudige algebra over <math>\Complex</math> een matrixring over <math>\Complex</math> zijn. 
* Elke eindig-dimensionale centrale enkelvoudige algebra over een [[eindig veld]] moet een matrixring over dat veld zijn.

==Zie ook==
* [[Stelling van Maschke]]
* [[Brauer-groep]]

[[Categorie:Ringtheorie]]
[[Categorie:Wiskundige stelling|Artin]]