Brontekst bekijken van Som-product-methode

[[Afbeelding:Factorisatie.svg|thumb]]

De '''som-product-methode''' of '''product-som-methode''' is een eenvoudige methode voor het [[factorisatie|ontbinden in factoren]] van een tweedegraads [[polynoom]]. Het is een snelle manier om de [[Nulpunt (wiskunde)|nulpunten]] van het polynoom te bepalen. Het is mede daarom dat deze methode samen met de [[Verschil van twee kwadraten|merkwaardige producten]] aan het begin van de [[middelbare school]] bij [[wiskunde]] wordt onderwezen.

De nulpunten van een tweedegraads polynoom kunnen niet altijd gemakkelijk met de som-product-methode worden gevonden. Men gebruikt in dergelijke gevallen de [[Wortelformule|abc-formule]] om de nulpunten te vinden.

== Principe ==
Ieder tweedegraadse polynoom <math>f</math> in de [[variabele]] <math>x</math> is te schrijven als 
: <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> 
De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat <math>a = 1</math>, zodat 
: <math>f(x) = x^2 + bx + c</math>

De ontbinding van <math>f</math> in lineaire factoren ziet er dan uit als 
: <math>f(x) = ( x + w_1 ) ( x + w_2 )</math>

Gelijkstellen van deze twee vormen levert:
: <math>x^2 + bx + c = ( x + w_1 ) ( x + w_2 ) = x^2 + ( w_1 + w_2 ) x + w_1 w_2</math>

De som-product-methode berust op het bepalen van <math>w_1</math> en <math>w_2</math> door het gelijkstellen van de coëfficiënten:
: <math>w_1 + w_2 = b</math>
en
: <math>w_1w_2 = c</math>

Voor [[Geheel getal|gehele]] <math>w_1</math> en <math>w_2</math> zijn deze vaak met [[hoofdrekenen]] te achterhalen.

De [[Nulpunt (wiskunde)|nulpunten]] van <math>f</math> zijn <math>-w_1</math> en <math>-w_2</math>.

=== Voorbeeld ===
Voor het ontbinden van het polynoom
: <math>f(x) = x^2 + 2x - 15</math>

zoekt men twee getallen met som 2 en product –15. Getallen die hieraan voldoen zijn 5 en –3. Dus is 
: <math>x^2 + 2x - 15 = ( x + 5 ) ( x - 3 )</math>
De nulpunten van <math>f</math> zijn daarom <math>x = -5</math> en <math>x = 3</math>.

== Uitbreiding ==
De som-product-methode kan worden aangepast voor het geval dat <math>a</math> ongelijk is aan 1. Men [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldigt]] hiertoe de vergelijking met <math>a</math>. Zo wordt 
: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
omgeschreven tot
: <math>a ( ax^2 + bx + c ) = a^2x^2 + abx + ac = (ax)^2 + b(ax) + ac = 0</math>
Gezocht worden twee getallen <math>w_1 = a x_1</math> en <math>w_2 = a x_2</math>, waarvoor geldt:
: <math>w_1 + w_2 = b</math>
en
: <math>w_1 w_2 = ac</math>

=== Voorbeeld ===
Voor het oplossen van 
: <math>2x^2 + 7x + 6 = 0</math>
schrijven we deze vergelijking als
: <math>4x^2 + 14x + 12 = 0</math>

We zoeken getallen <math>w_1</math> en <math>w_2</math>, met
: <math>w_1 + w_2 = 7</math>
en
: <math>w_1 w_2 = 12</math>

De getallen 3 en 4 voldoen hieraan, dus is

: <math>0 = 4x^2 + 14x + 12 = ( 2x + 3 ) ( 2x + 4 )</math>
met als oplossingen:
: <math>x_1 = -\tfrac32\ </math> en <math>\ x_2 = -2</math>

== Websites ==
* H Hofstede. [https://www.hhofstede.nl/modules/somproduct.htm De Som- en Productmethode].

[[Categorie:Algebra]]