Brontekst bekijken van Sigma-lokaal-eindige basis

Een '''sigma-lokaal-eindige basis''' is een gespecialiseerd begrip uit de [[topologie]], een tak van de [[wiskunde]]. Het is een doorslaggevend kenmerk van [[topologische ruimte]]n die [[Metriseerbare ruimte|metriseerbaar]] zijn, dat wil zeggen afkomstig van een [[metrische ruimte]].

==Definities==
Een familie <math>\mathcal{F}</math> van deelverzamelingen van een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] <math>X</math> heet <math>\mathcal{F}</math> ''lokaal eindig'' als ieder element <math>x\in X</math> tot hoogstens eindig veel leden van de familie <math>\mathcal{F}</math> behoort. Dus als voor alle <math>x\in X</math> geldt:

:<math>\#\left\{F\in\mathcal{F}\mid x\in F\right\}<\infty</math>

De familie <math>\mathcal{F}</math> heet ''sigma-lokaal-eindig'' als ze kan geschreven worden als een aftelbare vereniging van lokaal eindige families; dus als er lokaal-eindige families <math>\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\ldots</math> bestaan, zodanig dat:

:<math>\mathcal{F}=\bigcup_{n=1}^\infty\mathcal{F}_n</math>

Een ''sigma-lokaal-eindige basis'' voor een topologische ruimte <math>(X,\mathcal{T})</math> is dan een sigma-lokaal-eindige familie open verzamelingen die een [[basis (topologie)|basis]] vormt voor <math>\mathcal{T}</math>.

==Aftelbaarheidsaxioma's==
Het bestaan van een sigma-lokaal-eindige basis voor een gegeven topologische ruimte is een [[aftelbaarheidsaxioma]]. Het ligt logisch tussen [[eerste aftelbaar]]heid en [[tweede aftelbaar]]heid in. Als <math>\mathcal{T}</math> een aftelbare basis heeft, is die basis een aftelbare vereniging van singletons en dus a fortiori een sigma-lokaal-eindige basis. En als <math>\mathcal{T}</math> een sigma-lokaal-eindige basis heeft, kan die in ieder punt vanzelf beperkt worden tot een aftelbare lokale basis.

==Metriseerbaarheid==
De stelling van Smirnov-Nagata-Bing geeft criteria voor de [[Metriseerbare ruimte|metriseerbaarheid]] van een topologische ruimte.

Een topologische ruimte <math>(X,\mathcal{T})</math> is metriseerbaar, dan en slechts dan, als ze aan de volgende twee eigenschappen voldoet:
*[[scheidingsaxioma]] <math>T_3</math>: singletons zijn gesloten, en elke gesloten verzameling kan worden gescheiden van elk punt erbuiten door disjuncte open verzamelingen;
*[[aftelbaarheidsaxioma]] <math>A_\sigma</math>: er bestaat een sigma-lokaal-eindige basis.

[[Categorie:Topologie]]