Brontekst bekijken van Riemann-oppervlak

[[Afbeelding:Riemann sqrt.svg|thumb|Riemann-oppervlakte voor de functie <math>f(z) = \sqrt{z\ }</math>]]

In de [[wiskunde]], in het bijzonder in de [[functietheorie]], is een '''riemann-oppervlak''' een eendimensionale [[complexe variëteit]]. Riemann-oppervlakken werden voor het eerst door [[Bernhard Riemann]] bestudeerd en zijn ook naar hem genoemd. Ze kunnen worden gezien als 'vervormde versies' van het [[complexe vlak]]. Lokaal, in de buurt van een willekeurig [[Punt (wiskunde)|punt]], zien ze eruit als delen van het complexe vlak, maar de globale [[topologie]] kan heel anders zijn. Zo kan een riemann-oppervlak er als een [[Sfeer (wiskunde)|bol]] uitzien, als een [[torus]] of een paar aan elkaar geplakte vellen papier.

Het belangrijkste aspect van riemann-oppervlakken is dat men [[holomorfe functie]]s kan definiëren tussen twee riemann-oppervlakken. Riemann-oppervlakken worden tegenwoordig beschouwd als de natuurlijke context voor de studie naar het globale gedrag van holomorfe functies, zoals [[worteltrekken]] en de [[logaritme]]n.

Elk riemann-oppervlak is een tweedimensionale reële analytische [[Variëteit (wiskunde)|variëteit]], dat wil zeggen, een [[Oppervlak (topologie)|oppervlak]], maar het bevat meer structuur die nodig is voor de eenduidige definitie van holomorfe functies. Een tweedimensionale reële variëteit kan alleen dan in een riemann-oppervlak worden omgezet, gewoonlijk op verschillende manieren, als deze variëteit [[oriënteerbaarheid|oriënteerbaar]] is. De bol en de torus laten dus complexe structuren toe, maar de [[möbiusband]], de [[kleinfles]] en het [[projectief vlak|projectieve vlak]] niet, aangezien zij niet oriënteerbaar zijn.

De wiskunde van de riemann-oppervlakken kan op veel verschillende manieren worden toegewend en biedt vaak de intuïtie en motivatie voor generalisaties naar andere krommen en variëteiten. De [[stelling van Riemann-Roch]] is hier een voorbeeld van.

== Definities ==
Er zijn verschillende gelijkwaardige definities van een riemann-oppervlak.

# Een riemann-oppervlak <math>X</math> is een [[complexe variëteit]] van complexe [[Dimensie (algemeen)|dimensie]] een. Dit betekent dat <math>X</math> een samenhangende [[hausdorff-ruimte]] is die is uitgerust met een [[Atlas (topologie)|atlas]], dat wil zeggen dat voor elk punt <math>x\in X</math> er een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] is die <math>x</math> bevat en die [[homeomorfisme|homeomorf]] is met de [[eenheidsschijf]] van het [[complexe vlak]]. Het homeomorfisme dat de structuur van het complexe vlak overbrengt naar het riemann-oppervlak, heet een kaart. Tevens wordt geëist dat transitieafbeeldingen tussen twee overlappende kaarten [[Holomorfe functie|holomorf]] zijn.
# Een riemann-oppervlak <math>X</math> is een [[riemann-variëteit]] van dimensie twee, vandaar de naam riemann-oppervlak, samen met een hoekgetrouwe structuur. Variëteit houdt in dat de ruimte lokaal, op elk punt <math>x</math> van <math>X</math>, verondersteld wordt zich te gedragen als in het reële vlak. Het voorvoegsel riemann betekent dat <math>X</math> is uitgerust met een zogenaamde [[Riemann-variëteit|riemann-metriek]] <math>g</math>, die het mogelijk maakt om [[hoek (meetkunde)|hoek]]en op de variëteit te meten. Twee van zulke metrieken worden als [[Hoekgetrouwe equivalentie|hoekgetrouw equivalent]] beschouwd, indien de gemeten hoeken hetzelfde zijn. De keuze van een metriek, dus ook een equivalentieklasse van metrieken, op <math>X</math> is het aanvullende gegeven van de hoekgetrouwe structuur.

Een complexe structuur geeft aanleiding tot een hoekgetrouwe structuur door de keuze van de standaard [[Afstand (wiskunde)|gewone metriek]] gegeven op het complexe vlak, en deze met behulp van de eerder genoemde kaarten mee te nemen naar <math>X</math>.

== Voorbeelden == 
[[Afbeelding:Riemann sphere1.jpg|thumb|Riemann-oppervlak]]

* Het [[complexe vlak]] <math>\Complex</math> is misschien wel het meest basale riemann-oppervlak. De afbeelding <math>f(z) = z</math>, de identiteitsafbeelding, definieert een kaart voor <math>\Complex</math> en <math>\{f\}</math> is een [[atlas (topologie)|atlas]] voor <math>\Complex</math>. De afbeelding <math>g(z) = \overline{z}</math>, de [[Complex geconjugeerde|geconjugeerde]] afbeelding, definieert ook een kaart op <math>\Complex</math> en <math>\{g\}</math> is een atlas voor <math>\Complex</math>. De kaarten <math>f</math> en <math>g</math> zijn niet compatibel, zodat <math>\Complex</math> hierdoor voorzien is van twee verschillende structuren als riemann-oppervlak. In feite is, gegeven een riemann-oppervlak <math>X</math> en de atlas <math>A</math>, de geconjugeerde atlas <math>B=\{f^*\mid f\in A\}</math> in geen enkel geval compatibel met <math>A</math>, en voorziet zij <math>X</math> van een verschillende, incompatibele riemann-structuur.
* Op een soortgelijke manier kan iedere [[Open verzameling|open deelverzameling]] van het complexe vlak op een natuurlijke manier als een riemann-oppervlak worden gezien. Meer in het algemeen geldt dat elke open deelverzameling van een riemann-oppervlak zelf ook een riemann-oppervlak is.
* Zij <math>S=\Complex\cup \{\infty \}</math> en <math>f(z)=z</math> voor <math>z\in S, z\ne \infty</math>, en <math>g(z)=1/z</math> voor <math>z\in S, z\ne 0,z\ne \infty</math> en <math>g(\infty)=0</math>. Dan zijn <math>f</math> en <math>g</math> kaarten, zij zijn compatibel, en <math>\{f,g\}</math> is een atlas voor <math>S</math>, waardoor <math>S</math> een riemann-oppervlak wordt. Dit oppervlak wordt de [[riemann-sfeer]] genoemd, omdat dit oppervlak kan worden geïnterpreteerd als het wikkelen van het complexe vlak rondom deze sfeer. Deze riemann-sfeer is in tegenstelling tot het complexe vlak [[compact]].

[[Afbeelding:Torus.png|thumb|Torus]]

* Van de theorie van de compacte riemann-oppervlakken kan worden aangetoond dat deze equivalent is met die van de projectieve [[algebraïsche kromme]]n die zijn gedefinieerd over de complexe getallen en die niet-singulier zijn. Bijvoorbeeld, de [[torus]] <math>\Complex/(\Z+\tau \Z)</math>, waarin <math>\tau</math> een complexe niet-reëel getal is, die via de Weierstrass-[[elliptische functie]], geassocieerd met het [[Rooster (wiskunde)|rooster]] <math>\Z+\tau \Z</math>, correspondeert met een [[elliptische kromme]], die wordt gegeven door een vergelijking
:: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
: Torussen zijn de enige riemann-oppervlakken van [[Genus (wiskunde)|genus]] een, oppervlakken van hogere genera <math>g</math> worden geleverd door de hyperelliptische oppervlakken
:: <math>y^2 = P(x)</math>,
: waarin <math>P</math> een complex [[polynoom]] is van graad <math>2g + 1</math>.

* Belangrijke voorbeelden van niet-compacte riemann-oppervlakken worden geleverd door [[analytische voortzetting]].
<gallery>
Afbeelding:Riemann surface arcsin.jpg|<math>f(z)=\arcsin z</math>,
Afbeelding:Riemann surface log.jpg|<math>f(z)=\log z</math>,
Afbeelding:Riemann surface sqrt.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{2}}</math>
Afbeelding:Riemann surface cube root.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{3}}</math>
Afbeelding:Riemann surface 4th root.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{4}}</math>
</gallery>

== Classificatie == 
De riemann-oppervlakken kunnen in drie soorten worden verdeeld: hyperbolische, parabolische en elliptische riemann-oppervlakken. Het oppervlak <math>X</math> noemt men overeenkomstig en het onderscheid wordt gegeven door de [[uniformeringsstelling]]. Meetkundig corresponderen deze begrippen met negatieve [[Kromming (meetkunde)|kromming]], geen kromming of plat, en positieve kromming. Het formuleren van de uniformiseringsstelling in termen van de [[hoekgetrouwe meetkunde]], elke verbonden riemann-oppervlak <math>X</math> erkent een unieke [[volledig (topologie)|volledige]] 2-dimensionale reële [[Riemann-variëteit|riemann-metriek]] met [[constante kromming]] −1, 0 of 1 die dezelfde hoekgetrouwe structuur induceert - elke metriek is qua hoekgetrouwheid gelijkwaardig aan een constante kromming metriek.

Voor [[Enkelvoudig samenhangende ruimte|enkelvoudig samenhangend]]e riemann-oppervlakken geeft de uniformiseringsstelling aan dat ieder enkelvoudig samenhangende aangesloten riemann-oppervlak qua hoekgetrouwheid equivalent is aan van de drie onderstaande gevallen: 
; elliptisch: de riemann-sfeer <math>\widehat{\Complex}=\Complex\cup \{\infty\}</math>, ook aangeduid als de complexe projectieve lijn <math>P^1(\Complex)</math>
; parabolisch: het [[complexe vlak]] <math>\Complex</math>, of
; hyperbolisch: de [[Schijf (wiskunde)|open schijf]] <math>D = \{z\in \Complex\mid |z|<1\}</math> of equivallent het [[bovenhalfvlak]] <math>\mathbb{H}=\{z\in \Complex\mid \Im(z)>0\}</math>.

Het bestaan van deze drie soorten loopt parallel aan de verschillende soorten [[niet-euclidische meetkunde]]n.

De algemene techniek van het associëren met een [[Variëteit (wiskunde)|variëteit]] <math>X</math> van een universele dekkende ruimte <math>Y</math>, en de originele <math>X</math> uitdrukken als het [[Producttopologie|quotiënt]] van <math>Y</math> door de groep van dektransformaties geeft een eerste overzicht van riemann-oppervlakken.

=== Elliptische riemann-oppervlakken === 
Per definitie zijn deze de oppervlakken <math>X</math> met een constante kromming +1. De [[riemann-sfeer]] <math>\widehat{\Complex}=\Complex\cup \{\infty\}</math> is het enige voorbeeld. [[Elliptische functie]]s zijn voorbeelden van parabolische riemann-oppervlakken. De naamgeving komt uit de geschiedenis: elliptische functies zijn gekoppeld aan [[Elliptische integraal|elliptische integralen]], die op hun beurt weer opduiken in de berekening van de [[omtrek]] van [[Ellips (wiskunde)|ellipsen]].

=== Parabolische riemann-oppervlakken === 
Per definitie zijn dit de oppervlakken <math>X</math> met een constante kromming 0. Op gelijkwaardige wijze moet, door de uniformeringsstelling, de universele overdekking van <math>X</math> het [[complexe vlak]] zijn.
 
Er zijn dan drie mogelijkheden voor <math>X</math>. Het kan het vlak zelf zijn, een [[cirkelring]] of een [[torus]]
: <math>T = \Complex / (\Z \oplus \tau\Z)</math>
De verzameling van weergaven van de nevenverzamelingen worden [[Fundamenteel domein|fundamentele domeinen]] genoemd.
 
Men dient zich te realiseren dat twee tori altijd [[Homeomorfisme|homeomorf]] aan elkaar, maar in het algemeen niet [[Biholomorfisme|biholomorf]] aan elkaar zijn. Dit is de eerste verschijning van het probleem van de moduli. De modulus van een torus kan worden gevangen in een enkel complex getal <math>\tau</math> met een positief [[imaginair deel]]. In feite is de gemarkeerde moduliruimte, de [[Teichmüller-ruimte]], van de torus biholomorf met het bovenste halfvlak of op gelijkwaardige wijze de open eenheidsschijf.

=== Hyperbolische riemann-oppervlakken === 
De riemann-oppervlakken met kromming −1 worden hyperbolisch genoemd. Deze groep is het 'grootst'.
 
De gevierde [[afbeeldingstelling van Riemann]] stelt dat elke enkelvoudig aangesloten strikte deelverzameling van het complexe vlak biholomorf is aan de eenheidsschijf. Daarom is de open schijf met de poincaré-metriek van constante kromming −1 het lokale model van een hyperbolisch riemann-oppervlak. Volgens de uniformeringsstelling hierboven zijn alle hyperbolische oppervlakken quotiënten van de  [[eenheidsschijf]].

Voorbeelden hiervan zijn alle oppervlakken met een genus <math>g>1</math>, zoals hyper-elliptische krommen.

Voor elk hyperbolische riemann-oppervlak is de fundamentaalgroep isomorf met de [[fuchs-groep]]. Het oppervlak kan dus gemodelleerd worden door een fuchs-model <math>\mathbb{H}/\Gamma</math>, waarin <math>\mathbb{H}</math> het [[bovenhalfvlak]] en <math>\Gamma</math> de fuchs-groep is. De verzameling van weergaven van de nevenklassen van <math>\mathbb{H}/\Gamma</math> zijn vrije regelmatige verzamelingen en kan worden gevormd in en op metrische fundamentele veelhoeken. Quotiënt-structuren, zoals <math>\mathbb{H}/\Gamma</math>, zijn gegeneraliseers naar [[shimura-variëteit]]en.
 
In tegenstelling tot de elliptische en parabolische oppervlakken is er geen classificatie van de hyperbolische oppervlakken mogelijk. Elke verbonden open strikte deelverzameling van het vlak geeft een hyperbolische oppervlak; beschouw het vlak minus een [[cantorverzameling]]. Een classificatie is voor oppervlakken mogelijk van het eindige type: die met eindig gegenereerde fundamentaalgroepen. Elk van deze heeft een eindig aantal moduli en op die wijze een eindig-dimensionale teichmüller-ruimte. Het [[Moduliruimte|probleem van de moduli]], opgelost door [[Lars Ahlfors]] en uitgebreid door [[Lipman Bers]], diende om Riemanns claim te rechtvaardigen voor een gesloten oppervlak van het geslacht <math>g,\ 3g-3</math> complexe parameters volstaan.

Wanneer een hyperbolisch oppervlak compact is, dan is de totale oppervlakte van het oppervlak gelijk aan <math>4 \pi (g-1)</math>, waarin <math>g</math> het [[Genus (wiskunde)|genus]] van het oppervlak is; de oppervlakte wordt verkregen door de [[stelling van Gauss-Bonnet]] toe te passen op het oppervlak van de fundamentele veelhoek.

[[Categorie:Complexe analyse]]
[[Categorie:Oppervlak]]
[[Categorie:Riemann-meetkunde]]