Brontekst bekijken van Regelmatig twaalfvlak


{{Infobox platonisch lichaam
| naam = Regelmatig twaalfvlak <br> Dodecaëder
| afbeelding = Plato-12.png
| zijden = [[regelmatige vijfhoek]]en
| zijvlakken = 12
| hoekpunten = 20
| ribben = 30
| naam_kort = twaalfvlak
| zijvlakkenperhoekpunt = 3
| ribbenperzijvlak = 5
| duaal = [[regelmatig twintigvlak]]
| afbeelding2 = Dodecahedron flat.svg
}}
[[Afbeelding:Pentagon-dodecaëder in brons, 150 tot 400 NC, vindplaats- Tongeren, Leopoldwal, 1939, collectie Gallo-Romeins Museum Tongeren, 4002.jpg|thumb|Romeins twaalfvlak in brons <br> 150-400 n.Chr. <br> Gallo-Romeins Museum in Tongeren]]
[[Afbeelding:Dodekaeder-w-10-15.svg|thumb|Regelmatig twaalfvlak met ingeschreven kubus]]

Een '''regelmatig twaalfvlak''', of '''dodecaëder''', is een [[Lichaam (meetkunde)|ruimtelijke figuur]] met 12 vijfhoekige vlakken, 20 [[hoek (meetkunde)|hoekpunten]] en 30 [[ribbe]]n. Het is een van de vijf [[regelmatig veelvlak|regelmatige veelvlakken]] in drie dimensies, ook platonische lichamen genoemd. Het heeft [[icosahedrale symmetrie]].

Hoewel de naam dodecaëder evenveel wordt gebruikt als regelmatig twaalfvlak, ligt het voor de duidelijkheid voor de hand over een regelmatig twaalfvlak te spreken.

== Geschiedenis ==
Uit de antieke oudheid zijn geen geschreven bronnen bekend over de meer dan 100 twaalfvlakken, die in de noordwestelijke provincies van het [[Romeinse Rijk]] zijn aangetroffen. Talloze onderzoekers hebben in de voorbije eeuwen evenveel verschillende hypothesen geopperd over het gebruik van deze mysterieuze voorwerpen. Het konden bijvoorbeeld [[meetgereedschap]], [[kalender]]s, [[Dobbelsteen|dobbelstenen]] voor orakels, speelgoed, proefstukken voor leerling-bronsbewerkers of kandelaars zijn.<ref>{{aut|R Nouwen}}. De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, 1993.</ref>

Het Romeinse twaalfvlak was mogelijk een astronomisch meetinstrument voor het vastleggen van de optimale zaaidatum van de wintergranen, van wintergerst en wintertarwe. De belangrijkste aanwijzing daarvoor is het feit dat ook het [[Regelmatig twintigvlak|regelmatige twintigvlak]], waarvan maar twee exemplaren zijn gevonden,<ref>[[De Telegraaf]]. [https://www.telegraaf.nl/nieuws/1494999319/spectaculaire-vondst-in-vlaanderen-man-vindt-met-metaaldetector-stukje-van-mysterieuze-dodecaeder ’Spectaculaire vondst’ in Vlaanderen: man vindt met metaaldetector stukje van mysterieuze dodecaëder], 7 februari 2023.</ref> volledig in deze hypothese past. Met replica's van het regelmatige twaalf- en twintigvlak kon worden aangetoond dat met beide meetinstrumenten op de dag nauwkeurig de datum kon worden vastgelegd.<ref>{{aut|GMC Wagemans}}. [http://www.dodecaeder.nl/nl/hypothese De romeinse pentagon-dodecaeder een astronomisch meetinstrument voor het bepalen van de optimale zaaidatum van wintergraan.]</ref> Anderzijds werd ook aangetoond dat een twaalfvlak kan worden gebruikt om [[handschoen]]en mee te breien.<ref>{{en}} {{aut|M Hanks}}. [https://www.gralienreport.com/ancient-mysteries-2/man-solved-roman-dodecahedron-mystery/ Has The Roman Dodecahedron Mystery Been Solved?], 3 juni 2014.</ref>

Het is mogelijk dat Romeinse twaalfvlakken een praktisch nut hadden, maar dat ze ergens voor konden worden gebruikt, betekent nog niet dat ze daarvoor inderdaad door de Romeinen zijn gebruikt. Alle bewaarde exemplaren verschillen immers van elkaar qua afmetingen en qua grootte en positie van de openingen. Het waren waarschijnlijk eerder voorwerpen uit de magische sfeer. Antieke bronnen bevestigen de magische betekenis van het twaalfvlak als meetkundige vorm. Het twaalfvlak symboliseert in de [[kosmologie]] van [[Plato]] het [[heelal]]. Uit Genève zijn ook 4de-eeuwse Romeinse dobbelstenen in de vorm van een twaalfvlak bekend met de tekens van de dierenriem, bedoeld om de toekomst te voorspellen. Bovendien is in [[Krefeld]] in een 4de-eeuws Romeins graf van een vooraanstaande vrouw een twaalfvlak gevonden dat als een soort scepterkop op een benen staf was gemonteerd. Waarschijnlijk werden er aan twaalfvlakken en hun eigenaars dus magische krachten toegeschreven.<ref>Exploratorium. [https://exploratorium.galloromeinsmuseum.be/Default.aspx?query=search=deeplink|/record/uniqid=obj_7135&showtype=record Dodecaëder].</ref>

Er behoren in verschillende musea twaalfvlakken tot de collectie: twee in het [[Rijksmuseum van Oudheden]] te [[Leiden]], in het [[Gallo-Romeins Museum (Tongeren)|Gallo-Romeinse Museum van Tongeren]], in [[Poitiers]] en in [[Lyon]].

== Gegevens ==
Het regelmatige twaalfvlak heeft 30 [[ribbe]]n want in totaal zijn er 12 [[regelmatige vijfhoek]]en en elke ribbe van een zo’n vijfhoek vormt samen met een ribbe van een naastgelegen vijfhoek één ribbe van een regelmatig twaalfvlak. Het totaal aantal ribben is dus: <math>(5*12)/2 = 30</math> ribben. Hetzelfde geldt voor het aantal [[Hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]]. In ieder hoekpunt komen drie zijvlakken samen. Het regelmatig twaalfvlak heeft dus <math>(5*12)/3 = 20</math> hoekpunten.

Er zijn acht hoekpunten op een regelmatig twaalfvlak te vinden, die op een [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] liggen. Een regelmatig twaalfvlak omschrijft dus een kubus. Er ontstaat een regelmatig twaalfvlak door op ieder van de zes zijvlakken van de kubus een [[Wig (ruimtelijke figuur)|wig]] te plaatsen. De [[Coördinaat|coördinaten]] van de hoekpunten van het regelmatige twaalfvlak zijn als volgt samengesteld. De coördinaten van de kubus zijn <math>( \pm 1,\pm 1,\pm 1 )</math> en de coördinaten van de 12 andere hoekpunten zijn <math>(\ 0,\ \pm \varphi,\ \pm \dfrac{1}{\varphi}\ )</math>, <math>(\ \pm \dfrac{1}{\varphi},\ 0,\ \pm \varphi )</math> en <math>(\ \pm \varphi, \ \pm \dfrac{1}{\varphi},\ 0)</math>, waarin <math>\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5 \ }}{2}</math> de [[gulden snede]] is.<ref>Deze 12 overige coördinaten kunnen ook als <math>(\ 0,\ \pm (1 + h),\ \pm ( 1 - h^2 )\ )</math>, <math>(\ \pm ( 1 + h ),\ \pm (1 - h^2 ),\ 0\ )</math> en <math>(\ \pm (1 - h^2 ),\ 0,\ \pm ( 1 + h )\ )</math> worden geschreven. Hierin is <math>h</math> de hoogte van de acht aangebrachte wiggen ten opzichte van de zijvlakken van de kubus.</ref> 

Het regelmatige twaalfvlak heeft veel overeenkomst met de andere [[Regelmatig veelvlak|regelmatige veelvlakken]], maar het regelmatige twaalfvlak is het enige regelmatige veelvlak waarin het mogelijk is om bij een hoekpunt ervan te beginnen en een [[Oneindigheid|oneindig]] aantal [[Lijn (meetkunde)|lijnen]] door de [[Lichaam (meetkunde)|figuur]] te trekken die in het oorspronkelijke hoekpunt terugkomen zonder een ander hoekpunt te [[Snijden en kruisen|kruisen]].<ref>{{aut|JS Athreya}}, {{aut|D Aulicino}}, {{aut|WP Hooper}} en {{aut|A Randecker}}. [https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10586458.2020.1712564 Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces], 27 mei 2020. voor Experimental Mathematics, 31, 3, blz 847-877  <!--- doi=10.1080/10586458.2020.1712564 ----></ref>

{| class="wikitable"
! colspan="2" | Maten van een regelmatig twaalfvlak met riblengte ''z''
|-
| [[Inhoud (volume)|inhoud]]
| <math>V = \frac{z^3}{4} \left( 15+7 \sqrt{5} \right) </math>
|-
| [[oppervlakte]]
| <math>A = 3z^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}} = 15z^2\tan{54^{\circ}} </math>
|-
| [[Straal (wiskunde)|straal]] van de omgeschreven bol, <br> rakend aan de hoekpunten
| <math>R = \frac{z}{4} \sqrt{3} \left( 1 + \sqrt{5} \right) </math>
|-
| straal van de bol <br> rakend aan de ribben
| <math>r = \frac{z}{4} \left( 3 + \sqrt{5} \right) </math>
|-
| straal van de ingeschreven bol, <br> rakend aan de vlakken
| <math>\rho = \frac{z}{2} \sqrt{\frac{25 + 11 \sqrt{5}}{10}} </math>
|-
| verhouding van de inhoud V <br> tot de inhoud van omgeschreven bol
| <math> \frac{V} {V_{OB}} = \frac{\sqrt{15}}{6\pi} \left( 1 + \sqrt{5} \right) </math>
|-
| [[isoperimetrisch quotiënt]]
| ≈ 0,6046
|-
| hoek α tussen twee <br> aangrenzende vlakken <br> ≈ 116° 33′ 54″ (116,5651°)
| <math> \cos \alpha = -\frac{1}{5} \sqrt{5} </math>
|-
| hoek β tussen vlak en rib <br> ≈ 121° 43′ 3″ (121,7175°)
| <math> \cos \beta = -\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} </math>
|}

== Afbeeldingen ==
<gallery>
Dodecahedron.gif|regelmatig twaalfvlak
Dodecahedron-tongeren.jpg|vergrote replica van een Romeins twaalfvlak in Tongeren
Dodecaëder potiers.JPG|museum in Poitiers
Dodecahedron Aventicum.jpg|bronzen Romeins twaalfvlak <br> 1e of 2e eeuw <br> gevonden in de ruïnes bij [[Avenches (gemeente)|Aventicum]], [[Zwitserland]]
12-sided die.jpg|12-zijdige dobbelsteen
</gallery>

== Wetenswaardigheden ==
* Er bestaat een puzzel in de vorm van een regelmatig twaalfvlak, [[Megaminx]]. Het lijkt op de Rubiks kubus, maar met ongeveer 1,01×10<sup>68</sup> mogelijke posities.

{{Appendix||
; voetnoten
{{References}}
; websites
* {{en}} [[MathWorld]]. [https://mathworld.wolfram.com/RegularDodecahedron.html Regular Dodecahedron].
}}
{{Commonscat}}

[[Categorie:Platonisch lichaam]]