Brontekst bekijken van Regel van l'Hôpital

De '''regel van l'Hôpital''' is een stelling in de [[wiskunde]] die kan worden gebruikt bij het berekenen van de [[limiet]] van het [[quotiënt]] van twee [[Functie (wiskunde)|functies]] door middel van hun [[Afgeleide|afgeleiden]]. De regel is genoemd naar de [[Frankrijk|Franse]] [[wiskundige]] [[Guillaume de l'Hôpital]] (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek ''[[L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes]]''; dit terwijl de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door [[Johann Bernoulli]].

De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het [[argument (wiskunde)|argument]], zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.

== Formulering van de regel ==
Als voor twee [[differentieerbaar|differentieerbare]] [[functie (wiskunde)|functies]] <math>f</math> en <math>g</math> en een getal <math>a</math> voldaan is aan een van de voorwaarden: 
:<math>\lim_{x\to a}{f(x)} = \lim_{x\to a}g(x) = 0</math> 
of 
:<math>\lim_{x\to a}{|f(x)|} =\lim_{x\to a}{|g(x)|} = \infty</math>,

geldt
:<math>\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}</math>

mits de limiet in het rechterlid bestaat. 

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm <math>0/0</math> en <math>\infty / \infty</math> mogelijk opgelost worden.

== Bewijs ==
Zij:
*<math>f(a)=g(a)=0\left(\mbox{ of }\lim_{x\to a}{f(x)}=\pm\infty\land\lim_{x\to a}{g(x)}=\pm\infty\right)</math>,

*<math>\forall x\in \mathbb{I}\backslash\{a\}: g(x)\neq 0 \left(\mathbb{I}=\left]b,c\right[; a\in \mathbb{I}\right)</math>,

*<math>f'(a),g'(a)\in \mathbb{R}; g'(a)\neq 0</math>

Dan geldt:

:<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)}</math>,

zodat
:<math>\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}= \frac{\lim\limits_{x\to a}{\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]}}{\lim\limits_{x\to a}{\left[\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right]}} = \frac{f'(a)}{g'(a)}</math>

== Precieze formulering ==
Laat <math>I=(b,a)</math> een niet-leeg open [[Interval (wiskunde)|interval]] zijn en<math> f,\, g : I\to\R </math> twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten <math>\lim _{x\uparrow a} f(x)</math> en <math>\lim _{x\uparrow a} g(x)</math> beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar <math>\pm \infty</math>.

Als <math>g'(x) \neq 0</math> voor alle <math>x \in I</math> en 
:<math>\lim _{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
bestaat of divergeert naar <math>\pm \infty</math>, dan bestaat ook 
:<math>\lim _{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}</math>
of divergeert naar <math>\pm \infty</math>

Analoge resultaten gelden voor een interval <math>I=(a,b)</math> en rechterlimieten, en voor <math>a=\pm \infty</math>

Als <math>I</math> een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

:<math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=c\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c</math>

== Voorbeeld 1 ==
;<big>In de onderstaande limiet gaan zowel teller als noemer naar 0.</big>

Met de regel van l'Hôpital blijkt:
:<math>\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x^2+x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2x+1} = 1</math>

In het volgende voorbeeld gaan zowel teller als noemer naar <math>\infty</math>. Met de regel van l'Hôpital blijkt:
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{1/(2\sqrt{x})}{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty</math>

== Voorbeeld 2 ==
;<big>De breukmethode (de onbepaaldheid <math>0 \cdot \infty</math>)</big>

Op de volgende manier kan men ook de limiet van een product waarvan de factoren als limieten 0 en <math>\infty</math> hebben bepalen door de regel van l'Hôpital toe te passen. Als bijvoorbeeld:
:<math>\lim_{x\to c} f(x)</math>
en
:<math>\lim_{x\to c} g(x) = \infty</math> 
dan kan de regel van l'Hôpital toegepast worden via:
:<math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)'}</math>

== Voorbeeld 3 ==
;<big>Limieten van de vorm <math>\infty\ - \ \infty</math></big>

Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid <math>\infty\ - \ \infty</math> kunnen soms bepaald worden met de regel van de l'Hôpital. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf zouden ontstaan vanuit een deling door nul. Bijvoorbeeld
:<math>\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin(x)} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x}{x \cdot \sin(x)} =</math> 
::<math>= \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}=\lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)} = 0</math>

== Voorbeeld 4 ==
;<big>Limieten van de vorm <math>\lim\ f(x)^{g(x)}</math></big>

Ook bepaalde limieten van de vorm  
:<math>\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}</math>
kunnen soms met de regel van de l'Hôpital worden opgelost, indien de afzonderlijke limieten aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm <math>0^0,\ \infty^0</math> of <math>1^\infty</math>. 

De limiet wordt daartoe herschreven in de vorm
:<math>\lim_{x\to a} e^{g(x)\cdot \ln(f(x))} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln(f(x))}</math>

De logaritmische functie kan immers binnen de limiet gebracht worden omdat ze over haar volledig [[domein (wiskunde)|domein]] [[Continue functie (analyse)|continu]] is. 

;Voorbeeld
:<math>\lim_{x\to 0} x^{\sin(x)}</math>
Enkel de rechterlimiet is hier mogelijk.

De limiet wordt dus herschreven als
:<math>e^{\lim_{x\to 0} \sin(x)\cdot \ln(x)}</math>

Voor de limiet geldt:

:<math>\lim_{x\to 0^+} \sin(x)\cdot \ln(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{\csc(x)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1/x}{-\cot(x)\csc(x)} = \lim_{x\to 0^+} 
\frac{\sin^2(x)}{-x\cos(x)} = 0</math>

zodat:
:<math>\lim_{x\to 0} x^{\sin(x)} = e^0 = 1</math>

[[Categorie:Wiskundige analyse]]