Brontekst bekijken van Rationaal getal

{{Zijbalk getalverzamelingen}}
[[Afbeelding:Set of real numbers (diagram).svg|thumb|Relatie tussen de verschillende verzamelingen getallen]]

Een '''rationaal getal''' is in de [[wiskunde]] het [[quotiënt]], de verhouding, [[Latijn]]: ''ratio'', van twee [[Geheel getal|gehele getallen]] waarvan het tweede niet nul is. De [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van rationale getallen wordt meestal genoteerd als <math>\Q</math>. 

De rationale getallen maken deel uit van de [[Reëel getal|reële getallen]] <math>\R</math> en omvatten de [[Geheel getal|gehele getallen]] <math>\Z</math>. Ieder geheel getal is dus ook een rationaal getal en ieder rationaal getal is ook een reëel getal.
: <math>\Z \sub \Q \sub \R</math>

Voorbeelden van rationale getallen zijn: 
: <math>\tfrac 12,\ \tfrac 27,\ \tfrac 94,\ -\tfrac 25,\ -\tfrac 52</math>
Ieder geheel getal is rationaal, zo is: 
: <math>1 = \tfrac 11 = \tfrac 33,\ 14 = \tfrac{14}{1} = \tfrac{56}{4}</math>, enzovoort.

Ieder decimale getal met [[Eindige verzameling|eindig]] veel [[Decimaal|decimalen]] is een rationaal getal:

: {|
| 0,5
| =
| {{vbreuk|5|10}} = {{vbreuk|2}}
|-
| 0,17
| =
| {{vbreuk|17|100}}
|-
| 0,567943209
| =
| {{vbreuk|567943209|1000000000}}
|}

Niet ieder rationaal getal is als een decimaal getal te schrijven met eindig veel decimalen. Bijvoorbeeld:
: {{vbreuk|3}} = 0,3333…

en 
: {{vbreuk|15|7}} = 2,142857 142857 142857 142857…,

zijn beide decimale getallen met oneindig veel decimalen, maar wel met een zich herhalend patroon. Men spreekt van een [[repeterende breuk]]. Ieder rationaal getal in het [[Decimaal talstelsel|decimale stelsel]] heeft achter de [[komma]] een eindig aantal [[cijfer]]s of is een repeterende breuk. Als een getal met oneindig veel decimalen geen herhalend patroon heeft, is het een [[irrationaal getal]].

De verzameling van de rationale [[Getal (wiskunde)|getallen]] is niet eindig, maar wel [[Aftelbare verzameling|aftelbaar]]. De rationale getallen liggen dicht op de [[getallenlijn]], wat betekent dat ieder punt daarop willekeurig dicht door een rationaal getal kan worden benaderd, maar er zijn ook oneindig veel 'gaten', want tussen ieder tweetal rationale getallen ligt een [[irrationaal getal]].

Getallen als de [[wortel 2]], [[Pi (wiskunde)|{{math|π}}]] en [[e (wiskunde)|{{math|e}}]] behoren niet tot de verzameling van rationale getallen, omdat ze niet als een [[Breuk (wiskunde)|breuk]], dus als [[quotiënt]] van twee gehele getallen, kunnen worden geschreven. Deze getallen heten irrationaal.

== Operaties met rationale getallen ==
{{Zijbalk getalverzamelingen}}

Als verzameling zijn de rationale getallen volgens de bovenstaande definitie te schrijven als
: <math>\Q = \left\{\frac ab:a, b \in \Z, b \ne 0 \right\}</math>,

waarin <math>\Z</math> de verzameling van gehele getallen is.

<math>\Q</math> is door de eigenschappen van de [[Optellen|optelling]] en [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]] een voorbeeld van een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam (Nederland) of veld (Belgisch)]]. Voor de [[Operatie (wiskunde)|bewerkingen]] die we met rationale getallen kunnen uitvoeren, gelden de volgende regels.

{| cellspacing="6"
|-
| optellen:
| <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>
|-
| vermenigvuldigen:
| <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>
|-
| aftrekken:
| <math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}</math>
|-
| delen:
| <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad (c \ne 0)</math>
|}

== Eigenschappen ==
<math>\Q</math> is het [[quotiëntenlichaam]] van het [[integriteitsgebied]] <math>\Z</math> van de gehele getallen.

<math>\Q</math> is het kleinste lichaam van [[Karakteristiek (wiskunde)|karakteristiek]] 0. Elk ander lichaam van karakteristiek 0 bevat een kopie van <math>\Q</math>.

De rationale getallen zijn niet [[Gesloten (algebra)|algebraïsch gesloten]], bijvoorbeeld doordat de [[vierkantswortel]] van het rationale getal 2 niet op zijn beurt rationaal is.<ref>[[Wortel 2#Irrationaal getal|Bewijs dat wortel 2 irrationaal is]]</ref> 

De algebraïsche sluiting van <math>\Q</math> is het lichaam van de [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]]. Deze verzameling wordt genoteerd als <math>\overline{\Q}</math> of <math>\mathbb{A}</math> en is net als <math>\Q</math> aftelbaar. Let wel, <math>\overline{\Q}</math> is niet gelijk aan het lichaam <math>\Complex</math> van de [[complex getal|complexe getallen]], dat de algebraïsche sluiting van de reële getallen is.

Gegeven een positief geheel getal <math>n</math>. Als <math>\sqrt{n \ }</math> een rationaal getal is, dan is <math>n</math> een kwadraat.

{{Uitklappen
| achtergrond = #efdfef
| titel = Bewijs
| afb = 
| align = left
| tekstgrootte= 90%
| inhoud =

Neem aan dat <math>\sqrt{n \ }</math> rationaal is. Dan zijn er gehele getallen <math>a</math> en <math>b</math> zodat <math>\sqrt{n \ } = \frac ab</math> en [[grootste gemene deler|ggd]]<math>( a, b) = 1</math>. Dan kan <math>n = \frac{a^2}{b^2}</math> niet verder worden vereenvoudigd en is <math>b^2 = 1</math>, omdat <math>n</math> een geheel getal is. Dus is <math>n = a^2</math> een kwadraat.
}}

== Definitie ==
De rationale getallen kunnen worden gedefinieerd als [[Equivalentierelatie|equivalentieklassen]] van paren gehele getallen, waarbij het tweede niet nul is. Twee breuken liggen dan in dezelfde equivalentieklassen, wanneer zij hetzelfde rationaal getal zijn.

Beschouw de [[Cartesisch product|productverzameling]] <math>\Z\times\Z_0</math>, dat is de verzameling van alle [[Koppel (wiskunde)|geordende paren]] van gehele getallen waarvan het tweede verschillend is van 0. Op deze productverzameling bepaalt men een [[equivalentierelatie]] door te zeggen dat het geordende paar <math>(a,b)</math> gelijkwaardig is met het paar <math>(c,d)</math> als <math>a\cdot d = b\cdot c</math>.

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moet de [[Transitiviteit (wiskunde)|transitiviteit]] worden nagegaan: indien een willekeurig derde geordend paar <math>(e, f)</math> gelijkwaardig is met <math>(c, d)</math>, dan ook met <math>(a, b)</math>. Dit kan worden uitgerekend:
: <math>d \cdot (a \cdot f - b \cdot e) = a \cdot d \cdot f - b \cdot d \cdot e = b \cdot c \cdot f - b \cdot d \cdot e = b \cdot (c \cdot f - d \cdot e) = 0</math>

en omdat <math>d</math> verschillend is van 0, moet <math>a \cdot f = b \cdot e</math>.

Men noteert de equivalentieklasse van het geordende paar <math>(a, b)</math> als de breuk {{breuk|a|b}} en kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken met deze equivalentierelatie overeenkomen, de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse, en dat ze de structuur van een lichaam/veld bepalen. De elementen van dit lichaam/veld zijn de rationale getallen.

{{Appendix|Voetnoten}}
{{Navigatie bijzondere getallen}}

[[Categorie:Getal]]