Brontekst bekijken van Radicaal van een ideaal

In de [[algebra]], is het '''radicaal van een ideaal''' een [[unaire operatie]] op de collectie der [[ideaal (ringtheorie)|idealen]] van een [[commutatieve ring]]. Gegeven een ideaal <math>I</math> van een commutatieve ring, dan bestaat het radicaal van <math>I</math> uit alle elementen van die ring waarvan een [[machtsverheffing|macht]] in <math>I</math> ligt. Wanneer een ideaal samenvalt met zijn eigen radicaal, dan spreekt men van een '''radicaal ideaal'''. 

Het begrip radicaal van een ideaal is zeer nauw verbonden met de [[algebraïsche meetkunde]]. [[Hilberts Nullstellensatz]] bevestigt dat de correspondentie tussen [[algebraïsche verzameling|algebraïsche deelverzamelingen]] van de affiene ruimte <math>K^n</math> en radicale idealen van de [[veeltermring]] <math>K[x_1,\ldots , x_n]</math> [[Bijectie|bijectief]] is.

== Definitie ==
Als <math>I</math> een [[Ideaal (ringtheorie)|ideaal]] van een [[commutatieve ring]] <math>A</math> is, wordt het ''radicaal'' van <math>I</math> gedefinieerd als:

:<math>\sqrt{I}=\{x\in A|\exists n\in\N:x^n\in I\}</math>

Andere notaties zijn: <math>\mathrm{Rad}(I)</math> en <math>\mathrm{rad}(I).</math> Het radicaal van een ideaal is opnieuw een ideaal, want
:<math>x^n\in I\Rightarrow\forall a\in A:(ax)^n\in I</math>
:<math>x^n\in I, y^m\in I\Rightarrow (x+y)^{n+m-1}=\left(x^{n+m-1}+\ldots+c_nx^ny^{m-1}\right)+\left(c_my^mx^{n-1}+\ldots+y^{n+m-1}\right)\in I</math>

Equivalent met de definitie is dat <math>\sqrt{I}</math> de [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] is van alle [[priemideaal|priemidealen]] die <math>I</math> omvatten.

==Eigenschappen==
Het radicaal van een ideaal <math>I</math> heeft de volgende eigenschappen:
:<math>\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}</math>
:<math>\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}</math>

==Verwante begrippen==
===Nulradicaal===
Het [[nulradicaal]] of [[nilradicaal]] van een commutatieve ring <math>A</math> met eenheidselement, genoteerd <math>N(A),</math> is het radicaal van het triviale ideaal {0}. Het is de verzameling der [[nilpotent]]e elementen van <math>A.</math> Wegens de gelijkwaardige alternatieve definitie is het ook de doorsnede van alle priemidealen van <math>A.</math>

===Jacobson-radicaal===
Het [[Jacobson-radicaal]] van een commutatieve ring <math>A</math> met eenheidselement, genoteerd <math>J(A)</math>, is de doorsnede van alle maximale idealen van <math>A.</math>

===Primair ideaal===
Een ideaal <math>I</math> van een commutatieve ring <math>A</math> met eenheidselement heet [[Primair ideaal|primair]] als voor ieder paar elementen waarvan het product in <math>I</math> ligt, minstens een van beide elementen tot het radicaal van <math>I</math> behoort:
:<math>\forall x,y\in A:x.y\in I\Rightarrow x\in I\vee\exists n\in\mathbb{N},y^n\in I</math>

[[Categorie:Abstracte algebra]]