Brontekst bekijken van Raakvlak

Het '''raakvlak''' aan een [[Oppervlak (topologie)|oppervlak]] in drie [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] in een punt van dat oppervlak is de verzameling van alle [[rechte]]n die door dat punt gaan en in dat punt loodrecht op de plaatselijke [[normaalvector]] aan het oppervlak staan. Het is een uitbreiding in drie dimensies van het begrip [[raaklijn]] aan een vlakke [[kromme]]. Het is tevens een speciaal geval van de meer algemenere [[raakruimte]] in <math>n</math> [[dimensie (algemeen)|dimensies]].

==Raakvlak aan een impliciet gegeven oppervlak==
===Vergelijking===
Stel dat een oppervlak in drie dimensies gegeven is door middel van de vergelijking:
:<math>F(x,y,z) = 0</math>
Dit voorschrift legt één gezamenlijke voorwaarde op aan de drie coördinaten, waardoor er slechts twee onafhankelijk kunnen gekozen worden.
Laat

:<math>P_0=(x_0,y_0,z_0)</math>

een punt zijn dat op dit oppervlak ligt, en de drie [[partiële afgeleide]]n van <math>F</math> in dat punt bestaan en niet alle drie tegelijk nul zijn. Dan kan men bewijzen dat alle [[raaklijn]]en in dat punt loodrecht op de [[vector (wiskunde)|vector]]

:<math>\vec{n}_0=\left(\frac{\partial F}{\partial x}(P_0), \frac{\partial F}{\partial y}(P_0), \frac{\partial F}{\partial z}(P_0)\right)</math>

staan. Merk op dat deze vector alleen afhangt van het gegeven oppervlak en het gekozen punt. De raaklijnen vormen dan samen het raakvlak, en de vector <math>\vec{n}_0</math> is de [[normaalvector]] van dat raakvlak. De cartesische vergelijking van het raakvlak in het gegeven punt is dan:

:<math>\frac{\partial F}{\partial x}(P_0) (x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(P_0)(y-y_0)  + \frac{\partial F}{\partial z}(P_0)(z-z_0) = 0</math>

===Voorbeeld===
Beschouw het [[oppervlak (topologie)|oppervlak]]
:<math>x^2y-3z = 1</math>
en het punt
:<math>P_0=(2,1,1)</math>
op dat oppervlak. De drie [[partiële afgeleide]]n zijn:
:<math>(2xy,\, x^2,\, -3)</math>
Als de coördinaten van het punt worden ingevuld, verkrijgt men de plaatselijke [[normaalvector]]
:<math>(4,\,4,\,-3)</math>
Het raakvlak in het genoemde punt is bijgevolg:
:<math>4(x-2)+4(y-1)-3(z-1) = 0</math>

==Raakvlak aan een oppervlak bepaald door twee parameters==
===Vergelijking===
[[Bestand:Raakvlak 2 Parameters.jpg|thumb|right|200px|De normaalvector (groen) in een punt van een oppervlak kan worden bekomen als vectorproduct van twee raakvectoren (rood en blauw) aan het oppervlak. Elk van deze raakvectoren ontstaat als raakvector aan een ruimtekromme die ontstaat door een van de parameters constant te houden.]]

Een oppervlak <math>S</math> in drie dimensies kan ook beschreven worden door middel van drie coördinaten <math>(x,y,z)</math> die functie zijn van een koppel onafhankelijke parameters <math>(u,v)</math>. Dit is een voorbeeld van een zogenaamde [[parametervergelijking]], die in dit geval de volgende gedaante heeft:

:<math>S :\begin{matrix} f(u,v) \\ g(u,v) \\ h(u,v) \end{matrix}</math>

Een punt <math>P_0</math> op het oppervlak <math>S</math> wordt nu bepaald door twee waarden <math>u_0 </math> en <math>v_0</math> die via bovenstaande voorschriften de coördinaten van dat punt bepalen. Een punt op het oppervlak <math>S</math> is dus te schrijven als:

:<math>P_0=(f(u_0,v_0),g(u_0,v_0),h(u_0,v_0))</math>

Door nu in de vergelijkingen van het oppervlak <math>S</math> eerst eens de tweede parameter constant <math>v = v_0</math> te houden, verkrijgt men een [[ruimtekromme]] <math>K_1</math> die in het oppervlak ligt, en wordt doorlopen door middel van de eerste parameter <math>u</math>. Deze ruimtekromme gaat door het punt <math>P_0</math> en bereikt dit punt meer bepaald, als <math>u = u_0</math>. Deze ruimtekromme is dus:

:<math>K_1 : \begin{matrix} f(u,v_0) \\ g(u,v_0) \\ h(u,v_0) \end{matrix}</math>

De richting van de raaklijn aan een ruimtekromme wordt in het algemeen gegeven door de vector bestaande uit partiële afgeleiden naar haar parameter. Bijgevolg wordt de raakvector in het punt <math>P_0</math> aan deze ruimtekromme dan bepaald door de partiële afgeleiden:

:<math>T_1 = [f'_u(u_0,v_0),\, g'_u(u_0,v_0),\, h'_u(u_0,v_0)]</math>

Op dezelfde manier kan men, door eens de parameter <math>u</math> constant te houden, een tweede [[ruimtekromme]] <math>K_2</math> door het punt <math>P_0</math> krijgen die alleen van de tweede parameter <math>v</math> afhangt. De raakvector aan deze tweede ruimtekromme is dan op analoge wijze:

:<math>T_2 = [f'_v(u_0,v_0), \, g'_v(u_0,v_0), \,h'_v(u_0,v_0)]</math>

Deze twee raakvectoren liggen in het gevraagde raakvlak, en bijgevolg staat hun [[kruisproduct|vectorproduct]] :

:<math>T= T_1\times T_2=(A,B,C) </math>

loodrecht op dat raakvlak. Dit [[vectorproduct]] kan dus dienstdoen als [[normaalvector]] van het raakvlak, dat bijgevolg volledig bekend is:

:<math>A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0)= 0</math>

===Voorbeeld===
Het punt
:<math>P_0=(13,6,9)</math>
op de ruimtekromme gegeven door:
:<math> \begin{matrix} x = u^2+4v \\ y=2uv \\ z=uv^2 \end{matrix} </math>
heeft de parameterwaarden <math>u=1</math> en <math>v=3</math>.
De partiële afgeleiden naar <math>u</math> in deze parameterwaarden geven een eerste raakvector:
:<math>T_1=(2,6,9)</math>
De partiële afgeleiden naar <math>v</math> geven een tweede raakvector:
:<math>T_2=(4,2,6)</math>
Het [[Kruisproduct|vectorproduct]]
:<math>T_1\times T_2 = (18,24,-20)\ //\ (9,12,-10)</math>
is dan een normaalvector in <math>P_0</math>. Het raakvlak heeft dus als vergelijking:
:<math>9(x-13) + 12(y-6) - 10 (z-9) = 0</math>

==Zie ook==
* [[Raakruimte]]
* [[Normaalvector]]
* [[Raaklijn]]

{{DEFAULTSORT:Raakvlak}}
[[Categorie:Differentiaalmeetkunde]]
[[Categorie:Differentiaaltopologie]]