Brontekst bekijken van Q-Q plot

[[Bestand:Wikipedia QQplot algemeen.png|300px|thumb|right|Een Q–Q plot die een willekeurige gegenereerde, onafhankelijk standaardnormaal verdeelde dataset op de verticale as vergelijkt met een standaardnormale verdeling op de horizontale as. De punten liggen rondom y=x, wat suggereert dat de data inderdaad standaardnormaal verdeeld zijn.]]

Een '''Q-Q plot''' (afkorting uit het Engels: quantile-quantile plot) is een grafiek waarin twee [[Continue stochastische variabele|continue]] of [[Discrete stochastische variabele|discrete]] [[kansverdeling]]en worden vergeleken in de [[beschrijvende statistiek]]. Deze methode is voor het eerst gebruikt in 1968 door M. B. Wilk en R. Gnanadesikan.<ref>{{citeer tijdschrift|achternaam=Wilk|voornaam=M.B.|last2=Gnanadesikan|first2=R.|medeauteurs=|taal=|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1968-03_55_1/page/1|titel=Probability plotting methods for the analysis of data|volume=55|tijdschrift=Biometrika|datum=1968|doi=10.1093/biomet/55.1.1|pagina's=1–17|jstor=2334448|pmid=5661047|uitgever=Biometrika Trust|editie=1}}</ref> In een Q-Q plot worden de [[kwantiel]]en van beide kansverdelingen tegen elkaar uitgezet. Als beide datasets uit dezelfde verdeling komen, liggen de punten op de lijn <math>y=x</math>.

Andere grafische methoden, zoals een [[histogram]] of een [[boxplot]]. zijn eenvoudiger interpreteerbaar dan een Q-Q plot, maar de vergelijking tussen twee verdelingen komt in een Q-Q plot beter uit de verf.

== Definitie ==
Gegeven twee datasets <math>\{x_i\mid 1 \leq i \leq n \}</math> en <math>\{y_j \mid 1 \leq j \leq m\}</math>, niet noodzakelijk even groot, met bijbehorende [[empirische verdelingsfunctie]]s <math>F(x)</math> en <math>G(y)</math>, en [[kwantielfunctie]]s <math>F^{-1}</math> en <math>G^{-1}</math>. In een Q-Q plot wordt het <math>q</math>-de kwantiel van <math>F</math> tegen het <math>q</math>-de kwantiel van <math>G</math> getekend voor een aantal waarden van <math>q \in (0,1)</math>. Een Q-Q plot is dus een parametrische kromme <math>\tau: (0,1)\to \R^2</math>.

== Varianten ==
In een Q-Q plot worden twee [[dataset]]s met elkaar vergeleken. Daar zijn de volgende mogelijkheden voor:<ref name="thode2002">{{Citeer boek|titel=Testing For Normality|auteurlink=|auteur=|medeauteurs=|voornaam=Henry C.|achternaam=Thode|taal=en|url=https://books.google.com/books?id=gbegXB4SdosC&pg=PA21|uitgever=Marcel Dekker, Inc.|datum=2002|pagina's=21|ISBN=|hoofdstuk=Section 2.2.2, Quantile-Quantile Plots}}</ref>

# De data worden vergeleken met een bekende kansverdeling. Er wordt grafisch getoetst of de data uit deze verdeling komen.
# De data uit twee verzamelingen worden vergeleken om te kijken of ze uit dezelfde verdeling komen. Hiervoor moeten de data op de lijn <math>y=x</math> liggen. Welke verdeling dat is, valt niet te concluderen.
# Data uit twee verzamelingen worden vergeleken om te kijken of ze [[Lineaire onafhankelijkheid|lineair afhankelijk]] zijn. Hiervoor liggen de data op een rechte lijn, maar niet per se op <math>y=x</math>.

== Voor- en nadelen ==
Ten opzichte van andere grafische methoden heeft de Q-Q plot een aantal voordelen.<ref name="voordelen">{{Citeer web |auteur=NIST/SEMATECH |titel=e-Handbook of Statistical Methods |subtitel=Quantile-Quantile Plot| url=https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/qqplot.htm |bezochtdatum=7 november 2018}}</ref>
* De te vergelijken datasets hoeven niet even groot te zijn.
* Meerdere verschillen tussen de verdelingen kunnen tegelijk worden onderzocht, waaronder [[Translatie (meetkunde)|translatie]], [[spreiding]], [[symmetrie]] en het gedrag in de [[limiet]]en.

Er zijn ook nadelen:
* Bij het vergelijken van twee verschillende datasets is niet te concluderen welke verdeling ze uiteindelijk hebben.
* De methode is grafisch, er is een [[Maat (wiskunde)|maat]] nodig om met bijvoorbeeld [[Statistische toets|hypothesetoetsen]] te concluderen of de hypothese juist is.

== Methode in de praktijk ==
De meeste [[Wiskunde|wiskundige]] [[Programmeertaal|programmeertalen]] bieden de mogelijkheid om Q-Q plots te tekenen, zoals [[R (softwarepakket)|R]] en [[Matlab]].<ref name="uitlegR">{{Citeer web |url=https://data.library.virginia.edu/understanding-q-q-plots/ |voornaam=Clay|achternaam=Ford |titel=Understanding Q-Q Plots |datum=26 augustus 2015 |bezochtdatum=14 november 2018}}</ref><ref name="uitlegMatlab">{{Citeer web |url=https://www.mathworks.com/help/stats/qqplot.html |auteur=The Mathworks, Inc. |titel=Quantile-quantile plot |bezochtdatum=19 november 2018}}</ref>

Met de hand kan ook een Q-Q plot getekend worden voor kleine datasets. Voor het vergelijken van twee datasets of deze uit dezelfde verdeling komen, moet de volgende procedure worden toegepast.
# Sorteer alle data (per dataset) van klein naar groot.
# Kies een aantal kwantielen die onderzocht worden (bijvoorbeeld 5%, 10%, 15%, ..., 95%).
# Bereken welke waarde van de data hoort bij deze kwantielen.
# Teken deze waarden in een Q-Q plot.
[[Bestand:Wikipedia QQplot voorbeeld1.png|right|thumb|Q-Q plot bij voorbeeld 1]]

=== Voorbeeld 1 ===
Van een onbekend [[radioactief]] materiaal is bekend dat deze alleen [[alfastraling]] uitzendt. In een experiment is de [[halveringstijd]] van dit materiaal 50 keer bepaald. Men verwacht dat het materiaal [[Cesium-131]] is met een halveringstijd van 9,7 dagen. Er wordt gekozen voor het maken van een Q-Q plot tussen de data en een [[poissonverdeling]] met <math>\lambda=9{,}7</math>. 

Duidelijk is te zien dat de lijn verschoven is ten opzichte van de lijn <math>y=x</math>. Er is dus een translatie zichtbaar, wat impliceert dat het onderzochte materiaal waarschijnlijk geen Cesium-131 is.

=== Voorbeeld 2 ===
[[Bestand:Wikipedia QQplot voorbeeld2.png|right|thumb|Q-Q plot bij voorbeeld 2.]]
Van 100 volwassen mannen en 95 volwassen vrouwen is het gewicht (in kg) bepaald. Op basis hiervan worden de 5%, 10%, 15%, enz. kwantielen berekend voor beide datasets. Er zijn nu voor beide 19 waardes beschikbaar, deze zijn weergegeven in onderstaande tabel.

{| class="wikitable plainrowheaders" style="text-align:right; width:20%;"
!scope="row"|kwantiel || 5 || 10 || 15 || 20 || 25 || 30 || 35 || 40 || 45 || 50 || 55 || 60 || 65 || 70 || 75 || 80 || 85 || 90 || 95
|-
|mannen || 64,9 || 67,1 || 69,6 || 72,0 || 74,0 || 75,5 || 76,7 || 77,6 || 78,5 || 79,2 || 80,2 || 81,7 || 83,6 || 86,5 || 87,6 || 89,7 || 91,5 || 96,2 || 98,3
|-
|vrouwen || 65,0 || 67,2 || 69,0 || 71,0 || 74,0 || 74,6 || 75,5 || 76,7 || 78,2 || 79,7 || 81,0 || 82,7 || 84,5 || 86,6 || 87,2 || 88,2 || 90,1 || 92,6 || 96,8
|}

Uit de Q-Q plot zien we dat de datapunten rondom de lijn <math>y=x</math> liggen. Zodoende is het gewicht van mannen en vrouwen waarschijnlijk gelijk verdeeld.

== Referenties == 
{{References}}

{{Navigatie beschrijvende statistiek}}

{{Commonscat|Q-Q plot}}
[[Categorie:Statistiek]]
[[Categorie:Diagram]]