Brontekst bekijken van Pontryagin-dualiteit

In de [[harmonische analyse]] en de theorie van de [[topologische groep]]en, beide deelgebieden van de [[wiskunde]], is '''pontryagin-dualiteit''' 
een dualiteit tussen locaal compacte abelse [[Groep (wiskunde)|groep]]en waarop een gegeneraliseerde vorm van [[fouriertransformatie]] mogelijk is, en dergelijke groepen waaronder de cirkelgroep, de eindige abelse groepen en de optelgroepen van de gehele getrallen, de reële getallen en van elke eindigdimensionale vectorruimte daarover of over een p-adisch lichaam.

Complexwaardige functies op een eindige abelse groep hebben [[discrete fouriertransformatie]]s die functies zijn op de duale groep, wat een niet-kanonieke [[Isomorfisme|isomorfe]] groep is. Verder kan iedere functie op een eindige groep weer worden afgeleid uit haar discrete fouriertransformatie. 

De theorie werd geïntroduceerd door [[Lev Pontryagin]] en hangt, samen met de [[Haar-maat]], geïntroduceerd door [[John von Neumann]], [[André Weil]] en anderen, af van de theorie van de duale groep van een [[lokaal compacte ruimte|lokaal compacte]] [[abelse groep]].

==Definitie==
Voor een lokaal compacte abelse groep <math>G</math> noemt men een [[Continue functie (analyse)|continue]] [[Homomorfisme|groepshomomorfisme]] <math>\chi\colon G\to \mathbb{T}</math> van <math>G</math> in de [[cirkelgroep]] <math>\mathbb{T}</math> een [[Karakter (wiskunde)|karakter]] van <math>G</math>.

De ''duale'' groep <math>\hat{G}</math> van <math>G</math> bestaat uit de karakters van <math>G</math>. Met de vermenigvuldiging <math>(\chi\cdot\psi)(a) = \chi(a)\psi(a)</math> wordt <math>\hat{G}</math> een abelse groep, en vanwege de [[compacte convergentie]] is <math>\hat{G}</math> een lokaal compacte groep, dus een [[topologische groep]] waarvan de topologie lokaal compact is.


[[Categorie:Wiskundige analyse]]
[[Categorie:Functionaalanalyse]]
[[Categorie:Groepentheorie]]