Brontekst bekijken van Pi (wiskunde)

[[Afbeelding:01 Kreiszahl.svg|thumb|upright=1.2|class=skin-invert-image|De eerste decimalen van het getal {{mvar|π}}]]
{| class="infobox bordered" cellpadding=5
<!--| colspan="2" class="ta-center" | <b>[[Irrationale getallen]]: [[Constante van Apéry|ζ(3)]] [[Wortel 2|<math>\sqrt{2}</math>]] [[Wortel 3|<math>\sqrt{3}</math>]] [[Wortel 5|<math>\sqrt{5}</math>]] [[Gulden snede|φ]] [[e (wiskunde)|e]] [[Pi (wiskunde)|π]]</b> -->
| colspan="2" class="ta-center" | '''[[Irrationale getallen]]: [[Constante van Apéry|ζ(3)]] [[Wortel 2|√2]] [[Wortel 3|√3]] [[Wortel 5|√5]] [[Gulden snede|φ]] [[e (wiskunde)|e]] π'''
|-
| colspan="2" class="ta-center" | '''''<math>\pi</math>'' uitgedrukt in verschillende getalstelsels'''
|-
| [[Binair talstelsel|Binair]]
| 11,0010 0100 0011 1111…
|-
| [[Decimaal talstelsel|Decimaal]]
| 3,14159 26535 89793 23846… 
|-
| [[Hexadecimaal]]
| 3,243F 6A88 85A3 08D3…  
|-
| Als [[kettingbreuk]]
| <math>3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}</math>
|}

Het getal '''{{mvar|π}}''', soms geschreven als '''pi''', is een [[wiskundige constante]], met in decimale notatie de getalswaarde {{nowrap|3,141 592 653...}} Het getal is de [[Verhouding (wiskunde)|verhouding]] tussen de [[omtrek]] en de [[diameter]] van een [[cirkel]]. Het getal {{mvar|π}} komt voor in veel verschillende formules binnen de [[wiskunde]] en [[natuurkunde]]. Het is een [[irrationaal getal]], wat inhoudt dat het niet exact als een [[Breuk (wiskunde)|breuk]] kan worden geschreven. Het betekent ook dat het een oneindig aantal decimalen heeft, zonder [[Repeterende breuk|repetitieve gedeelten]].

Al duizenden jaren proberen geleerden en wiskundigen de eigenschappen van het getal {{mvar|π}} te doorgronden. In vroege beschavingen, zoals het [[Oude Egypte]] en [[Babylonië]], werd {{mvar|π}} al gebruikt voor praktische berekeningen. De Griekse wiskundige [[Archimedes]] gaf rond 250 v. Chr. met behulp van een simpel [[algoritme]] een opmerkelijk nauwkeurige benadering van {{mvar|π}}.

Na de ontwikkeling van de [[differentiaalrekening]] werd het mogelijk om {{mvar|π}} met zeer grote precisie te benaderen, genoeg voor praktische wetenschappelijke toepassingen. Desondanks zochten wiskundigen en informatici in de 20e en 21e eeuw naar alternatieve manieren om {{mvar|π}} nog preciezer te benaderen. Dankzij de toegenomen rekenkracht van [[computer]]s konden uiteindelijk vele miljarden decimalen worden uitgerekend.

Omdat de definitie van {{mvar|π}} samenhangt met een cirkel, speelt het getal een centrale rol in de [[meetkunde]] en [[goniometrie]]. Het getal duikt daarnaast op in formules uit andere wetenschappen, zoals [[kosmologie]], [[thermodynamica]], [[elektromagnetisme]] en [[statistiek]]. Door zijn alomtegenwoordigheid is {{mvar|π}} een van de bekendste wiskundige constanten, en is het doorgedrongen in internet- en populaire cultuur.

== Symbool ==
Het symbool [[pi (letter)|{{mvar|π}}]] is de kleine letter ''pi'' uit het [[Grieks alfabet|Griekse alfabet]] (overeenkomend met de [[Latijns alfabet|Latijnse]] ''p''). Dit symbool werd door Engelse wiskundigen [[William Oughtred]] in 1647, en [[Isaac Barrow]] in 1664 al gebruikt als afkorting van het [[Oudgrieks|Griekse]] woord {{Polytonic|περιφέρεια}}, ''periphereia'', = omtrek van een ronde vorm.<ref>Douglas Weaver, Anthony D. Smith, ''[https://web.archive.org/web/20060407231243/http://www.unisanet.unisa.edu.au/07305/symbols.htm The History of Mathematical Symbols]''</ref> De verhouding tussen diameter en omtrek gaven zij aan als {{Polytonic|δ}}/{{Polytonic|π}} waarbij {{Polytonic|δ}} verwees naar de diameter.

In het boek ''A New Introduction to Mathematics'' van [[William Jones (wiskundige)|William Jones]] van 1706 werd de Griekse letter {{mvar|π}} het eerst gebruikt als aanduiding voor de verhouding tussen omtrek en diameter, de wiskundige constante pi. De notatie werd echter pas echt algemeen toen [[Leonhard Euler]] die in 1737 overnam.<ref name=":1">{{Citeer boek |titel=Grepen uit de geschiedenis van de wiskunde |achternaam=Grootendorst |voornaam=A.W. |uitgever=Delftse Uitgevers Maatschappij |datum=1988 |pagina=132-138 |isbn=906562094x}}</ref> Tegenwoordig wordt {{mvar|π}} gebruikt in vrijwel elk wiskunde- en natuurkundeboek.

De kleine letter {{mvar|π}} dient niet verward te worden met de hoofdletter <span style="font-family: times, serif;">∏</span>. Deze laatste wordt in de wiskunde in een geheel andere betekenis gebruikt, namelijk voor een [[Product (wiskunde)|product]] van een [[Rij (wiskunde)|rij]] getallen.

== Definitie ==
[[Afbeelding:Pi-unrolled-720.gif|thumb|De omtrek van een wiel is gelijk aan 3,141&nbsp;592&nbsp;6... maal zijn diameter. Deze verhouding wordt {{mvar|π}} (pi) genoemd.]]

Het getal {{mvar|π}} is het getal dat we krijgen wanneer we de [[omtrek]] van een [[cirkel]] delen door de [[diameter]] van die cirkel. De diameter van een cirkel is gemakkelijk te meten met een liniaal, in tegenstelling tot de omtrek, omdat die niet recht is.

De animatie toont hoe {{mvar|π}} [[Experiment|experimenteel]] kan worden bepaald. De diameter van de cirkel is 1 genomen. Als de cirkel wordt afgerold, blijkt de omtrek van de cirkel ruim driemaal de diameter te zijn. Bij iedere cirkel is de verhouding tussen omtrek en diameter hetzelfde, en die grootheid noemen we dus {{mvar|π}}.

== Eigenschappen ==
=== Irrationaliteit ===
De wiskundige constante {{mvar|π}} is een [[irrationaal getal]].<ref name=":2">{{Citeer web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Pi|url=https://mathworld.wolfram.com/Pi.html|access-date=2022-07-02|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Dit houdt in dat {{mvar|π}} niet als een verhouding van twee hele getallen, dus als een eindige breuk, is te schrijven. Dat betekent dat in de decimale voorstelling van {{mvar|π}} geen zich herhalende periode voorkomt, zoals bij een rationaal getal als de breuk 22/7 wel het geval is: 3,142&nbsp;857&nbsp;142&nbsp;857... De waarde van {{mvar|π}} kan in [[decimaal|decimale]] notatie wel benaderd worden, maar de reeks cijfers achter de komma bevat geen herhalend patroon.<ref>{{en}}{{sc|Arndt & Haenel}} (2006), pp. 3-5.</ref>

Er bestaan verschillende [[wiskundig bewijs|bewijzen]] die aantonen dat {{mvar|π}} irrationaal is. Het vroegste bewijs werd gegeven door [[Johann Heinrich Lambert]] in 1761, en berust op een goniometrische [[kettingbreuk]]. Andere bewijzen, die voornamelijk in de 19e en 20e werden ontwikkeld, maken gebruik van differentiaal- en integraalrekening. De mate waarin {{mvar|π}} kan worden benaderd door rationale getallen is onbekend; schattingen wijzen uit dat deze mate groter is dan die van [[e (wiskunde)|{{mvar|e}}]] of <math>\ln 2</math> maar kleiner dan [[Liouville-getal]]len.<ref>{{citeer journal |auteur=Salikhov, V. |year=2008 |title=On the Irrationality Measure of pi |journal=Russian Mathematical Surveys |volume=53 |issue=3 |pages=570–572 |doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 |taal=en |issn=0036-0279 }}</ref>

=== Transcendentie ===
[[Afbeelding:Squaring the circle.svg|thumb|Omdat {{mvar|π}} een transcendent getal is, is het onmogelijk om met een passer en liniaal in een eindig aantal stappen een [[kwadratuur van de cirkel|vierkant te construeren]] met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.]]

Een deel van de irrationale getallen is [[Transcendent getal|transcendent]] en ook {{mvar|π}} blijkt dat te zijn.<ref name=":2" /> Dit betekent dat dit getal niet is te schrijven als oplossing van een algebraïsche vergelijking met een eindig aantal termen. Daaruit volgt tevens dat er geen [[constructie met passer en liniaal]] bestaat om een rechte lijn te construeren die lengte {{mvar|π}} heeft. Heel anders dan een getal als [[Wortel 2|√2]], dat wel irrationaal maar niet transcendent is, en daarom wel geconstrueerd kan worden: de schuine zijde van een eenvoudig te construeren gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechte zijde 1 heeft de lengte √2. Met <math>\pi</math> is iets dergelijks onmogelijk.<ref>{{en}}{{sc|Posamentier & Lehmann}} (2004), p. 25</ref>

Een deel van de transcendente getallen is bovendien een [[normaal getal]]. Dat betekent dat in de decimale ontwikkeling van het getal de cijfers van 0 tot en met 9 even vaak voorkomen, maar ook elke willekeurige cijfercombinatie even vaak voorkomt als elke andere willekeurige cijfercombinatie van gelijke lengte. Er is een ontzaglijk aantal decimalen van {{mvar|π}} berekend en iedere daarop losgelaten statistische toets geeft als resultaat dat dit inderdaad het geval lijkt te zijn. Het is echter niet streng bewezen dat {{mvar|π}} inderdaad een normaal getal is.<ref>{{en}}{{sc|Arndt & Haenel}} (2006), pp. 22-23.</ref>

Het veel lastiger bewijs dat {{mvar|π}} transcendent, ofwel niet-algebraïsch is, volgde ruim een eeuw later in 1882. [[Ferdinand von Lindemann]] gaf dit bewijs. Hij bewees daartoe dat er geen [[polynoom]] met gehele coëfficiënten bestaat met {{mvar|π}} als [[Nulpunt (wiskunde)|nulpunt]]. Daardoor is het onmogelijk om in een eindig aantal stappen door [[constructie met passer en liniaal]] een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van een gegeven cirkel. Met passer en liniaal kunnen alleen [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]] worden geconstrueerd, maar niet alle. <math>\sqrt[\text{3}]2</math> is een algebraïsch getal, maar kan niet met passer en liniaal worden geconstrueerd.

== Formules waarin {{mvar|π}} voorkomt ==
=== Algemeen ===
* Benadering voor [[Faculteit (wiskunde)|{{mvar|n}}-faculteit]] met de [[formule van Stirling]] (1730)
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> of <math>\ln(n!)\sim \left(n+\tfrac12\right)\ln(n)-n+\tfrac12\ln(2\pi)</math>
* [[Formule van Euler#Identiteit van Euler|Identiteit van Euler]] (1740)
: <math>e^{i\pi}+1=0</math>
* Integraal
: <math>\sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx</math> in de [[normale verdeling]]<ref>met de [[jacobi-matrix]]</ref>
* Met inverse [[Goniometrische functie|trigonometrische functie]]s:
: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan (1)</math> en <math>\frac{\pi}{4} = \arcsin (\tfrac 12\sqrt 2)</math> want <math>\tan(45^{\circ}) = 1</math>, <math>\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = 1/2^{1/2}</math>.

=== Meetkunde ===
In de [[meetkunde]] hebben formules waarin {{mvar|π}} voorkomt meestal met een [[cirkel]], [[Ellips (wiskunde)|ellips]] of [[Bol (lichaam)|bol]] te maken. Deze figuren komen in de [[Cilinder (meetkunde)|cilinder]] en de [[Kegel (ruimtelijke figuur)|kegel]] terug. De volgende formules kunnen worden gebruikt om met behulp van de [[Straal (wiskunde)|straal]], of de halve assen voor een ellips, van een meetkundig object de andere grootheden uit te rekenen.

[[Afbeelding:Straal-cirkel.png|thumb|Cirkel met straal ''r'']]
[[Afbeelding:Ellips 2.png|thumb|Ellips met halve assen ''a'' en ''b'']]

:; Cirkel met straal ''r''
:: [[Hoek (meetkunde)|hoek]] 360° = 2 {{mvar|π}} [[Radiaal (wiskunde)|rad]]
:: [[omtrek]] <math>O = 2 \pi r</math>
:: [[oppervlakte]] <math>A = \pi r^2</math>
:; Ellips met halve assen ''a'' en ''b''
:: oppervlakte <math>A = \pi a b</math>
:; Bol met straal ''r''
:: [[Inhoud (volume)|inhoud]] <math>V = \frac 4 3 \pi r^3</math>
:: oppervlakte <math>A = 4 \pi r^2</math>
:; Cilinder met straal ''r'' en hoogte ''h''
:: inhoud <math>V = \pi r^2 h</math>
:: oppervlakte <math>A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h</math>
:; Kegel met grondvlakstraal ''r'' en hoogte ''h''
:: inhoud <math>V = \frac 1 3 \pi r^2 h</math>
:: oppervlakte <math>A = \pi r (r + \sqrt{h^2 + r^2})</math>

=== Getaltheorie ===
De [[Kans (kansrekening)|kans]] dat twee willekeurig gekozen gehele getallen [[relatief priem]] zijn, is 6/{{mvar|π}}<sup>2</sup>. Dit volgt uit de [[getaltheorie]].

Het gemiddelde aantal manieren om een positief, geheel getal te schrijven als de som van twee [[kwadraatgetal]]len, waarbij de volgorde van belang is, is {{mvar|π}}/4.

== Schattingen en benaderingen ==
=== Met breuken ===
* Voor de praktijk van de berekening van omtrekken en oppervlakten van cirkels heeft men al vroeg in de oudheid schattingen gemaakt. Van de vermeldingen op een kleitablet uit [[Babylonië]] uit de 19e eeuw voor Christus valt een verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel af te leiden die overeenkomt met een waarde voor {{mvar|π}} van 25/8 = 3,125. Uit een rekenopgave in het oudst bekende rekenboek ter wereld, de [[Rhind-papyrus]] van de [[Oude Egypte|Egyptenaar]] [[Ahmose (schrijver)|Ahmose]], valt uit de gevonden oppervlakte en diameter van een cirkel een waarde voor {{mvar|π}} af te leiden van (16/9)<sup>2</sup> = 3,1604... Dit rekenboek is ongeveer even oud als genoemd kleitablet. Bij beide schattingen komen de eerste twee cijfers overeen met die van {{mvar|π}}, waarbij de Babylonische ongeveer evenveel te laag uitvalt als de Egyptische schatting te hoog is. Uit beschrijvingen in de [[Bijbel (christendom)|Bijbel]], 2 Kronieken 4:2<ref>[http://www.biblija.net/biblija.cgi?m=2+kron+3%3A1-4%3A22&id18=1&pos=0&l=nl&set=10 2 Kronieken 3:1-4:22 (NBV)]</ref> en 1 Koningen 7:23,<ref>[http://www.biblija.net/biblija.cgi?m=1+Koningen+7%3A13-51&id18=1&pos=0&l=nl&set=10 1 Koningen 7:13-51 (NBV)]</ref> waarin vermeld staat dat [[Salomo]] rond 950 v.Chr. voor de bouw van de [[Tempel van Salomo|tempel]] een groot bronzen bekken liet maken: ''een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el'' valt een verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel af te leiden die overeenkomt met een waarde voor {{mvar|π}} van 30/10 = 3, aanzienlijk grover dan wat hun buren duizend jaar eerder als schatting gebruikten.<ref>Een kanttekening hierbij is wel dat men niet weet of er wel of niet met de dikte van het vat rekening is gehouden [http://www.bijbelaantekeningen.nl/blog/2007/06/19/het-getal-pi-in-de-bijbel]</ref>
* Een veel gebruikte benadering is de breuk 22/7 = 3,142&nbsp;857&nbsp;142&nbsp;857... Daarvan zijn drie cijfers goed, maar je moet er ook drie cijfers voor onthouden. In de tijd van het rekenen op papyrus/perkament was deze eenvoudige breuk echter heel handig – en veelal ook voldoende nauwkeurig. Ook voor hoofdrekenen kan deze eenvoudige breuk goed als schatting gebruikt worden. Deze breuk werd al door Archimedes gebruikt, zie onder.
* Een veel nauwkeuriger breuk is 355/113 = 3,141&nbsp;592&nbsp;92... Deze breuk heet wel het ''getal van [[Adriaan Metius|Metius]]'', omdat Adriaan Metius senior deze schatting vond, maar dezelfde breuk was elf eeuwen eerder al door de Chinese wiskundige [[Zu Chongzhi]] gevonden.
* <math>\scriptstyle \pi^4\ \approx\ 2143/22</math> is een ingenieus ezelsbruggetje van [[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan]], omschreven als:<br>Neem het getal "1234". Draai tweemaal twee cijfers om, zodat het getal "2143" ontstaat.<br>Deel dat getal door tweeëntwintig (2143/22 = 97,409&nbsp;09<s>09</s>).<br>Neem van het resultaat tweemaal de [[vierkantswortel|tweedemachtswortel]].<br>De uitkomst is het getal: 3,141&nbsp;592&nbsp;652&nbsp;58...<br>Deze benadering valt te herschrijven tot <math>\scriptstyle \pi\ \approx\ \sqrt{ \sqrt{ 97+9/22}}</math>; de formule bevat dan slechts 5 cijfers voor een benadering met 9 juiste cijfers.
* Tot de {{mvar|π}}-folklore behoort 3 + 4/28 – 1/(790 + 5/6) = 3,141&nbsp;592&nbsp;6539&nbsp;..., gebruikmakend van de ''tien'' cijfers 0 tot en met 9.<ref>N.a.v. een prijsvraag in [[Natuurwetenschap en Techniek|Natuur & Techniek]], nº 9, september 2000, met een eervolle vermelding van D.A. Borgdorff voor de betreffende oplossing in nº 11, november 2000.</ref>

=== Met limieten ===
{{mvar|π}} is de helft van de omtrek van de [[eenheidscirkel]] en daarom groter dan de helft van de omtrek van een [[Veelhoek|regelmatige <math>n</math>-hoek]] waarvan de [[omgeschreven cirkel]] de eenheidscirkel is:
: <math>n \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) < \pi</math>.

{{mvar|π}} is kleiner dan de helft van de omtrek van een regelmatige <math>n</math>-hoek waarvan de [[ingeschreven cirkel]] de eenheidscirkel is:
: <math>\pi < n \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)</math>.

Hoe groter <math>n</math>, des te nauwkeuriger is de insluiting
: <math>n \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) < \pi < n \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)</math>

Bij vroege toepassingen hiervan werden voor de onder- en bovengrens uiteraard niet deze uitdrukkingen, maar vaak in essentie de bovengenoemde omschrijvingen gebruikt.

In de limiet is zowel het verschil tussen de ondergrens en <math>\pi</math> als het verschil tussen de bovengrens en <math>\pi</math> evenredig met <math>n^{-2}</math>, en als <math>n</math> steeds wordt verdubbeld wordt de wijdte van de insluiting inderdaad al gauw steeds ongeveer viermaal zo klein. Verder is de ondergrens al gauw steeds ongeveer tweemaal zo nauwkeurig als de bovengrens.

{{mvar|π}} is ook de ''oppervlakte'' van de eenheidscirkel en daarom groter dan de oppervlakte van een regelmatige <math>n</math>-hoek waarvan de omgeschreven cirkel de eenheidscirkel is. Deze oppervlakte is voor even <math>n</math> gelijk aan de bovengenoemde ondergrens (omtrek) voor een half zo grote <math>n</math>.

{{mvar|π}} is kleiner dan de oppervlakte van een regelmatige <math>n</math>-hoek waarvan de ingeschreven cirkel de eenheidscirkel is. Deze oppervlakte is gelijk aan de omtrek.

Voor even <math>n</math> is dus de insluiting op basis van oppervlakten:
: <math>\frac{n}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{n} \right) < \pi < n \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)</math>

Hierbij is de nauwkeurigheid van de ondergrens voor niet al te kleine <math>n</math> ongeveer half zo groot als die van de bovengrens in plaats van tweemaal zo groot. Bij dezelfde <math>n</math> is de wijdte van de insluiting op basis van oppervlakten daardoor ongeveer tweemaal die op basis van omtrekken.

=== Anders ===
* Kochański (1685) en Mascheroni (1797) benaderden {{mvar|π}} met [[Benadering van pi|meetkundige constructies]]: 3,141533 / 3,142399.

== Decimale ontwikkeling ==
In plaats van breuken en ezelsbruggetjes konden in berekeningen ook decimale getallen gebruikt worden, toen die weergave van getallen eenmaal ingeburgerd was (waarbij [[Simon Stevin]] een grote rol gespeeld heeft). Voor simpel decimaal rekenen op papier is 3,14 (drie komma veertien) meestal goed genoeg, maar een stuk beter is 3,1416 (laatste cijfer omhoog afgerond). Als het preciezer moet, hebben rekenmachines meestal {{mvar|π}} als knopje, waarachter {{mvar|π}} in 8 tot 30 decimalen opgeslagen is. Ook in spreadsheets en programmeertalen zit {{mvar|π}} veelal standaard ingebouwd, bij een wiskundige programmeertaal als [[Maple]] of [[Mathematica (softwarepakket)|Mathematica]] kan zelfs met elk gewenst aantal decimalen gerekend worden.

Zoals boven vermeld is {{mvar|π}} een irrationaal getal en dus niet exact weer te geven. Hieronder wordt de decimale ontwikkeling na 1000 decimalen afgekapt:

<pre style="background:transparent; color:inherit; border:none;">
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
  58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
  82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128
  48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196
  44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091

  45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273
  72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436
  78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094
  33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548
  07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912

  98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798
  60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132
  00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872
  14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235
  42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960

  51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859
  50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881
  71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303
  59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778
  18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 ...
</pre>

De eerste miljoen decimalen van {{mvar|π}} en 1/{{mvar|π}} zijn beschikbaar gemaakt door het [[project Gutenberg]].

== Geschiedenis ==
Hierboven werden al wat schattingen genoemd die gebaseerd zijn op geschriften uit de oudheid. Iets heel anders dan een schatting zijn rekenmethodes die een benadering van {{mvar|π}} als uitkomst geven.

=== Veelhoeken ===
[[Afbeelding:Archimedes pi.svg|thumb|Cirkel met in- en omgeschreven veelhoeken]]
* De Griekse wiskundige [[Archimedes]] (Άρχιμήδης, 287–212 v.Chr.) was de eerste die het probleem wiskundig aanpakte, daarom werd pi soms ''constante van Archimedes'' genoemd. Hij redeneerde aldus: de omtrek van een ingeschreven [[regelmatige veelhoek|regelmatige ''n''-hoek]] is altijd kleiner dan de omtrek van de cirkel, terwijl de omtrek van een omgeschreven ''n''-hoek altijd groter is. Hoe groter ''n'' genomen wordt, des te nauwkeuriger zijn zowel een onder- als een bovengrens voor de omtrek van de cirkel, {{mvar|π}} dus, bekend. Archimedes begon met zeshoeken, maar berekende uiteindelijk de omtrek van in- en omgeschreven 96-hoeken. Zo vond Archimedes dat {{mvar|π}} moest zitten tussen 223/71 en 22/7. Met het voor berekeningen zeer onhandige Griekse getalsysteem is dat een heel nauwkeurig resultaat. Het gemiddelde van die twee kon als redelijke schatting genomen worden. Decimaal geschreven is dat 3,141851...
* In de eeuwen daarna werd {{mvar|π}} ook berekend in India en China. Rond 265 gebruikte ook de Chinese wiskundige [[Liu Hui]] veelhoeken om {{mvar|π}} te berekenen. Hij nam een 3072-hoek en kwam, in decimale notatie, tot 3,141 589 4...
: De berekening van Liu Hui komt neer op
: <math>
\begin{align}
\pi \approx A_{3072} & {} = 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\
& {} = 3{,}1415894...
\end{align}
</math>
* [[Ludolph van Ceulen]] berekende met veelhoeken de eerste 35 decimalen, al publiceerde hij er maar 32 (''Van den Cirkel'', Delft, 1596). Zijn vrouw heeft ze op zijn grafsteen laten beitelen.<ref name=":0">[https://www.math.rug.nl/~top/pi-dag/graf.pdf Grafsteen van Ludolph van Ceulen met 35 decimalen van {{mvar|π}}.] ''www.math.rug.nl''</ref> Pi werd daarom soms ''getal van Ludolph'' of ook wel het Ludolfiaans getal genoemd.

=== Formules ===
De methode van Archimedes en navolgers is een [[iteratie]]f proces: Archimedes moest eerst voor de zeshoek de resultaten berekenen, die werden gebruikt om uitkomsten voor de [[twaalfhoek]] te kunnen berekenen, die weer nodig waren om de 24-hoek te berekenen, et cetera.

[[François Viète|Viète]] was in 1593 de eerste die met een echte formule kwam, die naar wens verlengd kon worden om tot een nauwkeuriger uitkomst te komen:
: <math>\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdots</math>

Hij berekende <math>\pi</math> nog in 12 decimalen. Zowel de methode van Archimedes als de formule van Viète bevatten wortels. Worteltrekken is met pen en papier tamelijk tijdrovend, daarom zocht men naar formules die geen wortels bevatten. Daarin slaagden kort na elkaar [[John Wallis|Wallis]] (1656) en [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], maar hun formules convergeerden zo langzaam naar <math>\pi</math> dat er geen tijdwinst mee geboekt werd. Het oneindige [[Wallis-product|product van Wallis]] is:

: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>

In 1656 vond [[William Brouncker]] een formule voor <math>\pi</math> als een [[kettingbreuk]]:

: <math>
\frac \pi 4 = \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
</math>

=== Reeksen ===
Leibniz was de eerste die een reeksontwikkeling voor {{mvar|π}} publiceerde en al gauw werden allerlei andere reeksen gevonden:
* Leibniz (1674): <math>\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = \tfrac{1}{1} - \tfrac {1}{3} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>
* (reeks 2:)  <math>\frac{\pi^2}{12} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \ \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}</math>
* [[Leonhard Euler|Euler]] (1741):  <math>\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}</math>
* (reeks 4:)  <math>\frac{\pi^2}{8} = 1+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}</math>
* (~Newton)  <math>\frac{\pi}{6} = \arcsin \frac{1}{2}</math> want sin(30<sup>o</sup>) = cos(60<sup>o</sup>) = 1/2;
* [[John Machin|Machin]] (1706):  <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math><!-- 4.hk - hk' =? 45     hk' << hk -->

Zoals hier genoteerd lijken de laatste twee formules geen reeks, maar een [[arcsinus]] of [[arctangens]] is altijd in reeksvorm te gieten (zie aldaar). De laatste reeks, die van John Machin, gebaseerd op de reeksontwikkeling <math>\arctan \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} - \cdots</math>,<ref>Arndt, J. en Haenel, C. [https://books.google.nl/books?id=QwwcmweJCDQC&lpg=PP1&hl=nl&pg=PA192#v=onepage&q&f=false ''Pi - unleashed''] Springer, 2001, pp.192-193</ref> bleek in het tijdperk vóór de rekenmachines geschikt om steeds meer decimalen van <math>\pi</math> te berekenen. Machin zelf ging tot 100 decimalen, de [[Slovenië|Sloveense]] wiskundige [[Jurij Vega]] berekende pas in 1789 de eerste 140 decimalen van {{mvar|π}}, waarvan er 126 correct waren. Dit was 50 jaar lang het wereldrecord (had genie Euler zich eerder vergist?).

=== Convergentiesnelheid ===
Wanneer men bovenstaande zes reeksen tot tien en tot duizend termen uitrekent, wordt duidelijk welke reeks het snelste naar {{mvar|π}} gaat (convergeert):
{| class="wikitable ta-center"
!width="80"|Reeks||width="150"|Benadering met <br> 10 termen||width="150"|Benadering met <br> 1000 termen
|-
| Leibniz || 3,041 839 619 || 3,140 592 654
|-
| 2 || 3,132 977 195 || 3,141 591 700
|-
| Euler || 3,049 361 636 || 3,140 638 057
|-
| 4 || 3,109 625 458 || 3,141 274 328
|-
| Newton || 3,141 592 647 || 3,141 592 654
|-
| Machin || 3,141 592 654 || 3,141 592 654
|}

De snelheid van [[Convergentie (wiskunde)|convergentie]] van de eerste vier reeksen is dus tamelijk laag, reeks 2 is volgens beide kolommen de nauwkeurigste. Van de 5e reeks zijn 13 termen voldoende voor een nauwkeurigheid van 9 decimalen, van de 6e reeks 6 termen. Bij deze twee reeksen is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen in absolute waarde kleiner dan 1, wat een snelle convergentie garandeert.

Met deze eigenschap in gedachten zijn reeksen ontwikkeld die nog sneller convergeren, zoals:
: <math>\frac{1}{\pi}=\frac{163 \cdot 8 \cdot 27 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 127}{640320^{3/2}} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left (\frac{13591409}{163 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 127} + n \right )</math> <math>\frac{(6n)!}{(3n)! \ {n!}^3}\frac{(-1)^n}{640320^{3n}}</math>
Eerste term (n=0) is <math display="inline">\pi \approx</math> 640320<sup>3/2</sup>/12/13591409 = 3,141592654. Per extra term van de sommatie wordt de benadering 14 cijfers nauwkeuriger.

=== Moderne methoden ===
Rond 1973 ontdekten onafhankelijk van elkaar Eugène Salamin en Richard Brent dat ouder werk van [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], het [[algoritme van Gauss-Legendre]], ook gebruikt kon worden om {{mvar|π}} te benaderen. Bij alle eerdere methoden leverde iedere stap hetzelfde aantal nieuwe decimalen op, maar bij Brent en Salamin verdubbelde het aantal decimalen bij elke stap. Na slechts 25 stappen zijn er al 45 miljoen correcte decimalen bekend. Als vervolg op dit werk zijn iets ingewikkelder methoden gevonden, waarbij per stap viermaal of negenmaal zoveel decimalen correct zijn.

=== Het ''n''-de cijfer ===
In 1996 ontdekte Simon Plouffe in samenwerking met David H. Bailey en Peter Borwein een nieuwe [[Formule van Bailey, Borwein en Plouffe|formule]] voor {{mvar|π}} als [[Reeks (wiskunde)|oneindige reeks]], ook wel de BBP-reeks genaamd:
: <math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

Voor de negentiende eeuw zou dit een aardig snelle methode zijn geweest, maar het curieuze is dat deze formule het mogelijk maakt om het ''n''-de [[Binair talstelsel|binaire]] of [[Hexadecimaal|hexadecimale]] cijfer van {{mvar|π}} te berekenen zonder daarvoor eerst alle voorgaande cijfers te hoeven berekenen.<ref name="baileyweb">[https://www.nersc.gov/~dhbailey/ Baileys website] bevat zowel de afleiding als implementaties in verschillende [[Programmeertaal|programmeertalen]]. ''www.nersc.gov'' [https://web.archive.org/web/20030501201647/https://www.nersc.gov/~dhbailey/ Gearchiveerd] op 2003-05-01.</ref>

=== Algoritmes ===
{{Zie ook|Zie de pagina [[Algoritmes om pi te bepalen]] voor meer informatie.}}

=== Historisch overzicht van de benaderingen ===
{| class="wikitable"
! Wiskundige !! Tijd !! Decimalen !! Bijzonderheden
|-
| Egypte, Babylonië, India || 1900–1700 v.Chr. || 1 ||
|-
| [[Archimedes]] || ca. 250 v.Chr. || 3 || Benaderde pi door regelmatige veelhoeken
|-
| [[Liu Hui]] || 263 || 5 || Vond 3,14159 (stelde dat 3,14 een goede benadering was).
|-
| [[Aryabhata]], India<ref><Aryabhata's berekening van de omtrek van de Aarde was slechts 0,2 % kleiner dan de werkelijke waarde. Dit was een verbetering van de berekening van Eratosthenes (rond 200 v.Chr.).></ref>|| in de 5e eeuw || 4 ||
|-
| [[Zu Chongzhi]] || ca. 480 || 7 ||''getal van [[Adriaan Metius|Metius]]'' (1611), Holland
|-
| Jamshid Masud Al-Kashi || ca. 1424 || 16 || Vond pi in een zestigtallig [[talstelsel]]
|-
| [[Ludolph van Ceulen]] || 1596 || 35 || Zijn prestatie werd op zijn [[Pi (wiskunde)#Monument voor .CF.80|grafsteen]] in de [[Pieterskerk (Leiden)|Pieterskerk]] in Leiden gebeiteld.
|-
|[[Leonhard Euler]]
|1748
|127<ref name=":1" />
|wereldrecord tot 1841
|-
| [[Jurij Vega]] || 1789 || 126 || Berekende 140 decimalen waarvan 126 correct
|-
| [[William Rutherford]] || 1841 || 152 || Berekende 208 decimalen
|-
| William Shanks || 1873 || 527 || Berekende 707 decimalen (decimaal 528 bleek fout te zijn)
|-
| D.F. Ferguson || 1947 || 808 ||
|-
| [[John von Neumann]] || 1949 || 2&nbsp;037 || op de [[ENIAC]]
|}

Tegenwoordig wordt het berekenen van {{mvar|π}} gebruikt om de snelheid van computers te onderzoeken. {{mvar|π}} werd in 2009 door Fabrice Bellard berekend op 2&nbsp;699&nbsp;999&nbsp;990&nbsp;000 decimalen (2,7 10<sup>12</sup> cijfers) met een desktopcomputer. In 2010 scherpte de Japanner Shigeru Kondo dit record aan met een door de Amerikaan Alexander J. Yee geschreven programma tot 10 biljoen cijfers achter de komma (10&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;050).<ref>[https://www.scientias.nl/pi-heeft-10-biljoen-cijfers-achter-de-komma/48702 Pi heeft 10 biljoen cijfers achter de komma] www.''scientias.nl'' 20-10-2011</ref>

Een Zwitsers team berekende in 2021 het record van 62,8 biljoen cijfers in 108 dagen en 9 uren.<ref>{{en}}[https://www.theguardian.com/science/2021/aug/16/swiss-researchers-calculate-pi-to-new-record-of-628tn-figures Swiss researchers calculate pi to new record of 62.8 tn figures] ''www.theguardian.com'' 16 augustus 2021</ref><ref>[https://www.fhgr.ch/news/newsdetail/meilenstein-zum-pi-stellen-weltrekord-erreicht/ Meilenstein zum Pi-Stellen-Weltrekord erreicht] ''www.fhgr.ch/news'' University of Applied Sciences, Graubünden CH</ref>

In de meeste toepassingen waar berekeningen met pi moeten worden uitgevoerd, voldoet het getal pi met twaalf cijfers (elf achter de komma). Volgens de wiskundigen Jörg Arndt en Christoph Haenel kunnen met een pi-waarde van 39 cijfers tot op de nauwkeurigheid van de doorsnede van een atoom alle gewenste berekeningen in het universum worden uitgevoerd. Het nut van het blijven zoeken naar meer cijfers achter de komma is vooral voor het testen van supercomputers en analyse van algoritmen.<ref>{{en}}[https://theconversation.com/the-search-for-the-value-of-pi-55744 The search for the value of pi] 11 maart 2016, The Conversation</ref>

== Openstaande vragen ==
De dringendste openstaande vraag luidt: ''is'' {{mvar|π}} ''normaal?'' 'Normaal' betekent hier dat elke cijfergroep in de expansie van {{mvar|π}} even vaak voorkomt als bij een willekeurige keuze. Zo ja, dan zou {{mvar|π}} normaal moeten zijn in elke basis (met elk grondgetal), niet alleen in basis 10.

Als {{mvar|π}} inderdaad normaal is, dan zou dit betekenen dat in de decimalen van {{mvar|π}} elke willekeurige cijfergroep ergens voorkomt en dat dus ook elke tekst zoals "Hamlet" van [[Shakespeare]], na omzetting in een cijfervolgorde, ergens in de decimalen van {{mvar|π}} voorkomt, zoals uitgelegd in de [[stelling van de eindeloos typende apen]].

Bailey en Crandal toonden in 2000 aan dat de bovenstaande formule van Bailey, Borwein en Plouffe (en andere vergelijkbare formules) betekent dat de normaliteit van {{mvar|π}} in basis 2 en verschillende andere constanten gereduceerd kan worden als een mogelijke aanname voor [[chaostheorie]]. Zie de website van Bailey<ref name="baileyweb" /> voor details.

== Trivia ==
=== Met 'n vers {{mvar|π}} leren onthouden ===
[[Mnemotechniek]]en om de cijfers van {{mvar|π}} te onthouden worden samen humoristisch aangeduid als ''Piphilologie''. Het woord is een duidelijke woordspeling op ''pi'' zelf en het [[taalkunde|linguïstische]] onderzoeksgebied ''[[filologie]]''. Het gaat om teksten, vaak gedichten, waarbij het aantal letters in ieder woord de opeenvolgende cijfers van {{mvar|π}} aangeeft.

==== Nederlands ====
Een Nederlands voorbeeld (de ''ij'' telt voor één letter):
: ''Wie'' {{mvar|π}} ''voor 't eerst berekende''
: ''hij sterft nooit!''

Of:
: ''Wie U kent o getal, belangrijk en gepast,''
: ''vindt een rijker waarheid,''
: ''ankervast''

==== Engels ====
: ''How I wish I could recollect pi easily today''<ref>[https://web.archive.org/web/20130903135427/http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/SmeetsThesis.pdf Ionica Smeets: On continued fraction algorithms, diss. Universiteit Leiden 2010]</ref>
: ''May I have a large container of coffee mummy and daddy?''

=== Muziek ===
Onder de titel ''Griekse tango'' schreef [[Drs. P]] een aan een pi-minnaar gewijd, dramatisch lied, dat onder meer te vinden is op ''Drs. P. Compilé sur CD''. In dit lied bezingt hij de eerste acht decimalen: "Aldus vind ik 3,14159265".

Het nummer {{mvar|π}} van [[Kate Bush]], bevat als niet-herhalend [[Refrein (dichtvorm)|refrein]] de eerste 119 gezongen cijfers van pi, daarbij twee cijfers overslaand. Het nummer gaat over iemand met "a complete infatuation with the calculation of pi".<ref>Kate Bush, Aerial, cd-boekje, 2005.</ref>

De metalband After the Burial heeft een nummer geschreven genaamd ''Pi (The Mercury God Of Infinity)''. Dit nummer bestaat uit een akoestische intro op gitaar, gevolgd door een breakdown gebaseerd op de eerste 71 decimalen van pi.

=== Literatuur en film ===
Het getal speelt een belangrijke rol in het boek ''Contact'' van [[Carl Sagan]] (en geen enkele in de ''[[Contact (film)|film]]'' die daarover gemaakt is). Aan het eind van het boek wordt er een versleutelde boodschap ontdekt in de oneindige reeks decimalen van het getal, zeer ver achter de komma. Dit toont aan dat er niet alleen [[buitenaards leven|intelligent leven]] buiten de Aarde is maar dat het [[Heelal|universum]] ''zelf'' ontworpen schijnt te zijn door een hogere intelligentie: [[Intelligent Design]].

De speelfilm ''[[Pi (film)|Pi]]'' gaat over het getal pi en de mysteries daaromtrent. Ook ''[[Life of Pi]]'' bevat verwijzingen naar het getal: de hoofdpersoon heet Pi en schrijft het getal in honderden decimalen op een schoolbord.

=== {{mvar|π}}-monument ===
[[Afbeelding:Monument_voor_PI.jpg|thumb|rechtop|Monument voor {{mvar|π}} (pi) in de Pieterskerk in Leiden, van de hand van [[Cornelia Bakkum]]]]
In de [[Pieterskerk (Leiden)|Pieterskerk]] in [[Leiden]] is een [[Ludolph van Ceulen#Monument voor Pi|monument]] opgericht voor pi (zie afbeelding). De steen bevat de tekst die op de grafsteen van [[Ludolph van Ceulen]] stond.<ref name=":0" /> De grafsteen zelf is in de negentiende eeuw uit de kerk verwijderd, maar de tekst was afgebeeld in een in druk verschenen reisverslag van de Engelsman Philip Skippon (1641-1691). De ring is uitgevoerd in twee kleuren koper, waarbij het kleine stuk precies zo lang is als de diameter van de koperen ring.

=== {{mvar|π}}-manie ===
Het getal {{mvar|π}} heeft vele fans en een van hun bezigheden is het uit het hoofd leren van de decimalen van {{mvar|π}}. Volgens het [[Guinness Book of Records]] is de recordhouder de Chinees Lu Chao, die in 2005 de eerste 67&nbsp;890 decimalen uit het hoofd voordroeg. Hij had 100&nbsp;000 decimalen uit het hoofd geleerd, en was van plan om er 91&nbsp;300 voor te dragen, maar vergiste zich in het 67&nbsp;891e cijfer.<ref>[http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm ''Chinese student breaks Guinness record by reciting 67,890 digits of pi''], News Guangdong, 28 november 2006.</ref><ref>[http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/1/most-pi-places-memorised ''Most pi places memorised''], Guinness World Records</ref>

=== {{mvar|π}}-dag ===
Op [[14 maart]] 2006 werd de 300e verjaardag van {{mvar|π}} als wiskundig symbool gevierd. Op 14 maart (maand 3, dag 14: verwijst naar de eerste drie cijfers) wordt over de gehele wereld aan verschillende universiteiten [[Pi-dag]] gevierd.<ref name=":0" /> Het is tevens de geboortedag van [[Albert Einstein]] en de sterfdag van [[Stephen Hawking]].

== Bronnen ==
* Beukers, Frits: ''Pi – de geschiedenis en de wiskunde van het getal'' {{mvar|π}}, Epsilon Uitgaven 2000 (boekje voor scholieren)
* [[Carl Benjamin Boyer|Boyer, C.B.]]: A history of mathematics, New York, 1968
* Press, William H., Vetterling, William T., Teukolsky, Saul A., Flannery, Brain P. 1992 - ''Numerical Recipes in C'' 2e editie, Cambridge University Press, {{ISBN|0-521-43108-5}} (Hoofdstuk 20 paragraaf 6)
* Råde, Lennart en Westergren, Bertil (2004) - ''Mathematics Handbook for Science and Engineering'' 5e editie, Studentlitteratur, Lund (Zweden), {{ISBN|91-44-03109-2}} (Voor geometrische formules, hoofdstuk 3)
* J.J. O'Connor en E.F. Robertson: [https://www.history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html ''A history of Pi''. MacTutor-project] ''www.history.mcs.st-andrews.ac.uk''
* Beckmann, Peter: ''A History of'' {{mvar|π}} ''(pi)'', 5e editie, The Golem Press 1982

== Voetnoten ==
{{References}}

== Websites ==
* {{en}} [https://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Wolfram Mathematics-pagina met formules voor {{mvar|π}}] ''<nowiki>https://mathworld.wolfram.com</nowiki>''
* {{en}} [https://www.piday.org/million 1&nbsp;000&nbsp;000 decimalen van {{mvar|π}}] ''www.piday.org''
* {{nl}} [https://sites.google.com/view/hetgetalvandecirkel Het getal van de cirkel]: een schoolboek met verschillende formules voor {{mvar|π}}

{{Navigatie bijzondere getallen}}
{{Commonscat}}

[[Categorie:Wiskundige constante]]