Brontekst bekijken van Octonion

[[Afbeelding:Fano mnemonic3.png|thumb|225px|right|Geheugensteuntje van [[Gino Fano|Fano]] voor de octonionen]]
In de [[wiskunde]] zijn de '''octonionen''' een [[associativiteit|niet-associatieve]] uitbreiding van de [[quaternion]]en. Hun 8-dimensionale [[genormeerde delingsalgebra]] over de [[reëel getal|reële getal]]len is de meest uitgebreide vorm, die men met behulp van de [[Cayley-Dickson-constructie]] kan ontwikkelen. De algebra van octonionen wordt vaak aangeduid met '''O''', of in zogeheten [[schoolbordvet]] door <math>\mathbb{O}</math>.

Misschien omdat zij geen associatieve vermenigvuldiging kennen, ontvangen de octonionen soms minder aandacht dan de quaternionen. Ondanks het gebrek aan populariteit, zijn de octonionen gerelateerd aan een aantal exceptionele structuren in de wiskunde, waaronder de [[Simpelee Lie-groep#Exceptional cases|exceptionele Lie-groep]]en. Daarnaast hebben octonionen toepassingen gevonden in andere gebieden zoals de [[Snaartheorie|stringtheorie]], [[speciale relativiteitstheorie]] en [[kwantumlogica]].

== Geschiedenis ==
De octonionen werden in [[1843]] ontdekt door [[John T. Graves]], een vriend van [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]]. Graves noemde ze ''octaven''. Onafhankelijk werden zij ook ontdekt door [[Arthur Cayley]], die een eerste artikel over octonionen publiceerde in [[1845]]. Daarom verwijst men soms ook naar octonionen als ''Cayleygetallen'' of als de ''Cayleyalgebra''.

== Definitie ==
De octonionen kunnen worden gezien als octetten (of 8-tupels) van reële getallen. Elke octonion is een reële [[lineaire combinatie]] van de ''eenheidsoctonionen'' <math>1, i,j,k,l,m,n,o</math>. Dat houdt in dat elk octonion <math>x</math> geschreven kan worden in de vorm 
:<math>x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k + x_4 l + x_5 m + x_6 n + x_7 o</math>

met reële [[coëfficiënt]]en <math>x_0, x_1,\ldots , x_7</math>.

Optelling van octonionen wordt bereikt door de corresponderende coëfficiënten op te tellen, zoals men dit ook doet met de [[complex getal]]len en de [[quaternion]]en. Door de lineairiteit, wordt de vermenigvuldiging van octonionen volledig bepaald door de onderstaande [[vermenigvuldigingstafel]] voor de eenheidsoctonionen. 


:{|class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!
!
!colspan="8" |<math>e_2</math>
|-
! 
! width="30pt" | <math>e_1e_2</math>
! width="30pt" | <math>1</math>
! width="30pt" | <math>i</math>
! width="30pt" | <math>j</math>
! width="30pt" | <math>k</math>
! width="30pt" | <math>l</math>
! width="30pt" | <math>m</math>
! width="30pt" | <math>n</math>
! width="30pt" | <math>o</math>
|-
! rowspan="8" |<math>e_1</math>
!<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>i</math>
|<math>j</math>
|<math>k</math>
|<math>l</math>
|<math>m</math>
|<math>n</math>
|<math>o</math>
|-
!<math>i</math>
|<math>i</math>
|<math>-1</math>
|<math>k</math>
|<math>-j</math>
|<math>m</math>
|<math>-l</math>
|<math>-o</math>
|<math>n</math>
|-
!<math>j</math>
|<math>j</math>
|<math>-k</math>
|<math>-1</math>
|<math>i</math>
|<math>n</math>
|<math>o</math>
|<math>-l</math>
|<math>-m</math>
|-
!<math>k</math>
|<math>k</math>
|<math>j</math>
|<math>-i</math>
|<math>-1</math>
|<math>o</math>
|<math>-n</math>
|<math>m</math>
|<math>-l</math>
|-
!<math>l</math>
|<math>l</math>
|<math>-m</math>
|<math>-n</math>
|<math>-o</math>
|<math>-1</math>
|<math>i</math>
|<math>j</math>
|<math>k</math>
|-
!<math>m</math>
|<math>m</math>
|<math>l</math>
|<math>-o</math>
|<math>n</math>
|<math>-i</math>
|<math>-1</math>
|<math>-k</math>
|<math>j</math>
|-
!<math>n</math>
|<math>n</math>
|<math>o</math>
|<math>l</math>
|<math>-m</math>
|<math>-j</math>
|<math>k</math>
|<math>-1</math>
|<math>-i</math>
|-
!<math>o</math>
|<math>o</math>
|<math>-n</math>
|<math>m</math>
|<math>l</math>
|<math>-k</math>
|<math>-j</math>
|<math>i</math>
|<math>-1</math>
|}


De hier gegeven [[basis (lineaire algebra)|basis]] voor de octonionen is niet zo universeel als de standaard basis voor de quaternionen; bijna alle andere keuzes verschillen van de quaternionen alleen in orde en teken.

===Cayley-Dickson-constructie===
Een meer systematische manier om octonionen te definiëren is door gebruik te maken van de [[Cayley-Dickson-constructie]]. Net zoals quaternionen gedefinieerd kunnen worden als paren van complexe getallen, kunnen de octonionen gedefinieerd worden als paren van quaternionen. Optelling is paarsgewijs gedefinieerd. Het product van twee paren quaternionen <math>(a,b)</math> en <math>(c,d)</math> wordt gedefinieerd door
:<math>(a,b)(c,d)=(ac-d^*b,da+bc^*)</math>
waar <math>z^*</math> de geconjugeerde van de quaternion <math>z</math> voorstelt. Deze definitie is equivalent aan de definitie die hierboven wordt gegeven wanneer de acht eenheidsoctonionen als paren worden geïdentifceerd
:<math>1=(1,0),i=(i,0),j=(j,0),k=(k,0),l=(0,1), m=(0,i),n=(0,j), o=(0,k)</math>

==Zie ook==
* [[Hypercomplex getal]]
** [[Quaternion]]
** [[Sedenion]]

== Referenties ==
* [[John Baez]], ''The Octonions'', [http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html Bull. Amer. Math. Soc. '''39''' (2002), 145-205]. Online HTML version at https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
* [[John Conway|Conway, John Horton]], and Smith, Derek A., (2003) ''On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry'', A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9. ([http://nugae.wordpress.com/2007/04/25/on-quaternions-and-octonions/ Review]).

Voor octonionen toegepast in de [[natuurkunde]], zie:
* V. Dzhunushaliev, Toy Models of a Nonassociative Quantum Mechanics, [[Advances in High Energy Physics]], vol. 2007, Article ID 12387, 10 pages, 2007. doi:10.1155/2007/12387; arXiv:0706.2398 [quant-ph].

[[Categorie:Abstracte algebra]]