Brontekst bekijken van Möbius-transformatie

In de [[meetkunde]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''möbius-transformatie''' van het [[complexe vlak]] een [[rationale functie]] van de vorm 
: <math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>

van een [[Complex getal|complexe]] variabele <math>z</math>, met de coëfficiënten <math>a, b, c, d</math> complexe getallen die voldoen aan <math>ad - bc \ne 0</math>. Möbius-transformaties zijn naar [[August Ferdinand Möbius]] genoemd, maar worden ook wel homografische transformaties, lineaire fractionele transformaties of gebroken lineaire transformaties genoemd.

Möbius-transformaties worden op het [[Riemann-sfeer|uitgebreide complexe vlak]] gedefinieerd, dat wil zeggen het complexe vlak vermeerderd met het [[punt op oneindig]]:
: <math>\widehat{\Complex} = \Complex\cup\infty</math>

Dit uitgebreide complexe vlak kan als een [[Sfeer (wiskunde)|boloppervlak]] worden beschouwd, de [[riemann-sfeer]], of als de complexe [[projectieve lijn]]. Elke möbius-transformatie is een bijectieve [[Conforme afbeelding|conforme of hoekgetrouwe afbeelding]] van de riemann-sfeer op zichzelf. Iedere afbeelding waarvoor dit het geval is, is een möbius-transformatie.

De verzameling van alle möbius-transformaties vormen een [[Groep (wiskunde)|groep]] onder [[functiecompositie|compositie]], de möbius-groep. Het is de [[automorfisme]]groep van de riemann-sfeer, wanneer deze als een [[riemann-oppervlak]] wordt beschouwd. De groep wordt soms aangeduid door
: <math>\mathrm{Aut}(\widehat{\Complex})</math>

{{DEFAULTSORT:Mobius-transformatie}}
[[Categorie:Projectieve meetkunde]]