Brontekst bekijken van Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

In de [[abstracte algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''lichaamsuitbreiding''' (Nederlands) of '''velduitbreiding''' (Belgisch) van een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam / veld]] <math>K</math>, in het vervolg kort '''uitbreiding''' van <math>K</math> genoemd, ieder lichaam/veld <math>L</math> waarvan <math>K</math> een (strikt) [[deellichaam|deellichaam / deelveld]] is. Een uitbreiding van het lichaam/veld <math>K</math> wordt verkregen door aan <math>K</math> een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als <math>L/K</math>, of ook wel als <math>L|K</math>, <math>L\colon K</math> of <math>(L,K)</math>.
Als <math>L</math> uit <math>K</math> ontstaat door daar de elementen <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding <math>K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math>.

Zo vormen de [[Complex getal|complexe getallen]] <math>\Complex=\R(i)</math> een uitbreiding van de [[Reëel getal|reële getallen]] <math>\R</math> door daaraan als nieuw element de [[imaginaire eenheid]] <math>i</math> toe te voegen. In <math>\R</math> heeft de vergelijking <math>x^2 + 1 = 0</math> geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de [[imaginaire eenheid]] <math>i</math>, die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld <math>\Complex</math> van de complexe getallen. Een gevolg van de [[hoofdstelling van de algebra]] is dat alle oplossingen van een [[Polynoom#Coëfficiënten|algebraïsche vergelijking]] in <math>\Complex</math> liggen.

== Uitbreidingsgraad ==
De uitbreidingsgraad van de uitbreiding <math>L/K</math> is de dimensie van <math>L</math> als [[vectorruimte]] over <math>K</math>. Deze uitbreidingsgraad wordt genoteerd met <math>[L:K]</math>. Zo is bijvoorbeeld <math>[\Complex:\R] = 2</math>, want <math>\{1,i\}</math> is een basis van <math>\Complex</math> over <math>\R</math>.
 
Het principe van de uitbreidingen kan naar [[ringuitbreiding]]en worden uitgebreid, op te vatten als een [[Ring (wiskunde)|ring]] en een van haar [[deelring]]en.

==Normale uitbreiding==
Een algebraïsche uitbreiding <math>L/K</math> heet ''normaal'', als elke [[irreducibel]]e polynoom in <math>K[X]</math> die een wortel heeft in <math>L</math>, geheel gefactoriseerd kan worden in lineaire factoren over <math>L</math>. Elke algebraïsche uitbreiding <math>F/K</math> heeft een normale ''afsluiting'' <math>L</math> die een lichaamsuitbreiding is van <math>F</math> zodat <math>L/K</math> normaal is en die de 'kleinste' is met deze eigenschap, wat inhoudt dat <math>L</math> [[deellichaam]] is van elke andere met deze eigenschap

[[Categorie:Abstracte algebra]]