Brontekst bekijken van Leonhard Euler

{{Infobox wetenschapper
| afbeelding = Leonhard_Euler_2.jpg
| onderschrift = Portret van Leonhard Euler door Jakob Emanuel Handmann, ca. 1756
}}
'''Leonhard Euler''' ([[Russisch]]: Леонард Эйлер) ([[Bazel (Zwitserland)|Bazel]], [[15 april]] [[1707]] – [[Sint-Petersburg]], [[18 september]] [[1783]]) was een [[Zwitserland|Zwitserse]] [[wiskundige]] en [[Lijst van natuurkundigen|natuurkundige]] die het grootste deel van zijn leven doorbracht in [[Rusland]] en [[Duitsland]]. Hij wordt algemeen beschouwd als de belangrijkste wiskundige van de [[18e eeuw]] en als een van de belangrijkste aller tijden. Bovendien was hij de meest productieve wiskundige ooit: zijn verzameld werk beslaat zo'n zeventig delen.

Euler ontwikkelde veel nieuwe concepten en heeft zeer veel bijgedragen aan de moderne [[Wetenschappelijke notatie|wiskundige notatie]]: de symbolen [[Imaginaire eenheid|{{mvar|i}}]] en [[E (wiskunde)|{{mvar|e}}]] voor respectievelijk de [[imaginaire eenheid]] en het [[grondtal]] van de [[natuurlijke logaritme]] zijn door hem geïntroduceerd. Hij was de eerste die de notatie <math>f(x)</math> gebruikte voor uitdrukking van een wiskundige [[functie (wiskunde)|functie]]. Ook de huidige namen van de [[goniometrische functie]]s – sinus, cosinus en tangens – werden door hem bedacht.<ref name="Boyer">{{Citeer boek|title = A History of Mathematics|url = https://archive.org/details/historymathemati00boye_328|last= Boyer|first=Carl B.|coauthors= Uta C. Merzbach|publisher= [[John Wiley & Sons]]|isbn= 0-471-54397-7|pages = [https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n458 439]–445|year = 1991}}</ref> Euler was de grondlegger van de [[grafentheorie]] en [[topologie]], en deed grote ontdekkingen in de [[analytische getaltheorie]], [[complexe analyse]] en de [[integraalrekening]].

== Levensloop ==
=== Jonge jaren in Zwitserland (1707–1727) ===
Euler werd in [[Bazel (Zwitserland)|Bazel]] geboren als zoon van de [[Nederlandse Hervormde Kerk|hervormde]] [[Dominee|predikant]] Paul Euler en zijn vrouw Margarete Brucker, dochter van een predikant. Hij had twee jongere zusters, Anna Maria en Maria Magdalena. Kort na de geboorte van Leonhard verhuisde het gezin van Bazel naar het nabijgelegen stadje [[Riehen]], waar Euler het grootste deel van zijn kindertijd doorbracht. Paul Euler was een vriend van de [[Bernoulli|familie Bernoulli]], met name [[Johan Bernoulli|Johann Bernoulli]], die toen werd beschouwd als de belangrijkste [[wiskundige]] van Europa en de man die uiteindelijk de belangrijkste invloed op de jonge Leonhard zou hebben. Eulers eerste stappen in het onderwijs vonden plaats in Bazel, waar hij bij zijn grootmoeder van moederskant ging inwonen. Hij bezocht de [[Latijnse school]], waar toen nog geen wiskundeonderwijs werd gegeven. Op de leeftijd van dertien jaar schreef hij zich in 1720 in aan de [[Faculteit (onderwijs)|faculteit]] [[filosofie]] van de [[Universiteit van Bazel]]. Het curriculum van deze universiteit was in die tijd nog vrij beperkt en reeds twee jaar later, in 1722, studeerde Euler op vijftienjarige leeftijd af in de filosofie.

Op aandrang van zijn vader schreef hij zich nu in aan de [[theologie|theologische]] faculteit, waar hij naast de theologische vakken ook [[Grieks]] en [[Hebreeuws]] leerde. Zijn vader wilde dat Leonhard net als hij zelf ook predikant zou worden. Na aan hem voorgesteld te zijn had Johann Bernoulli geweigerd om Euler onderwijs in de wiskunde te geven, wel stond Johann Bernoulli hem toe om hem elke zaterdagmiddag thuis te bezoeken om vragen te stellen of om uitleg te vragen op die onderdelen waar Euler bij zijn zelfstudie wiskunde was vastgelopen. Bernoulli ontdekte het uitzonderlijke talent van Leonhard Euler voor de wiskunde al snel.<ref name="childhood">{{en}} {{Citeer boek |last= James |first= Ioan |title= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann (Opmerkelijke wiskundigen : van Euler tot von Neumann) |publisher= Cambridge |year= 2002|pages=2 |isbn= 0-521-52094-0}}</ref> In 1724, hij was nu zeventien, behaalde Euler zijn doctoraal theologie met een [[scriptie]], waarin hij de filosofieën van [[René Descartes|Descartes]] en [[Isaac Newton|Newton]] met elkaar vergeleek. Uiteindelijk overtuigde Johann Bernoulli Paul Euler ervan dat zijn zoon Leonhard voorbestemd was om een groot wiskundige te worden. In 1726 studeerde Euler voor de derde keer af, nu met een [[proefschrift]] over de [[Geluidssnelheid|voortplantingssnelheid van geluid]] met de titel ''De Sono''.<ref>{{en}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf Vertaling van Eulers tweede doctoraat door Ian Bruce]. [https://web.archive.org/web/20230326031248/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf Gearchiveerd] op 26 maart 2023.</ref>

Hij deed in 1727 voor het eerst mee aan de door de [[Académie des sciences]] in [[Parijs]] periodiek uitgeschreven wiskundewedstrijd. De opdracht was om de beste plaats te bepalen, waar op een schip de [[Scheepsmast|mast]] moet worden geplaatst. Euler won de tweede plaats, achter [[Pierre Bouguer]], de "vader van de marine-architectuur". In totaal zou Euler deze begeerde jaarlijkse prijs twaalf keer winnen.<ref name="prijs">{{en}} {{Citeer journal| author = R Calinger | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) (Leonhard Euler: De eerste periode in St. Petersburg (1727–1741))| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2}}</ref>

=== Sint-Petersburg (1727–1741) ===
Rond deze tijd waren twee zonen van Johann Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] en Nicolaas, werkzaam aan de [[Russische Academie van Wetenschappen]] in [[Sint-Petersburg]]. Na een jaar in Rusland te hebben doorgebracht overleed Nicolaas in juli 1726 aan de gevolgen van een [[blindedarmontsteking]]. Zijn broer Daniel nam zijn taken op het gebied van de wis- en natuurkunde over, maar hij adviseerde om zijn vriend Leonhard Euler de taken van zijn broer op het gebied van de fysiologie over te laten nemen. In november 1726 ging Euler op dit aanbod in. Hij had al in 1726, meteen na zijn promotie, naar Sint-Petersburg kunnen vertrekken, maar hij vertrok pas in het volgende voorjaar, omdat hij zijn reis naar Sint-Petersburg uitstelde tot hij zeker was niet in aanmerking te komen voor een hoogleraarschap natuurkunde aan de universiteit van Bazel.<ref name="prijs">{{en}} {{Citeer journal| author = R Calinger | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) (Leonhard Euler: De eerste periode in St. Petersburg (1727–1741))| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2}}</ref>

Op 17 mei 1727 arriveerde Euler, net twintig jaar oud, in de Russische hoofdstad. Al snel werd hij van zijn juniorfunctie binnen de medische afdeling van de academie gepromoveerd naar een positie binnen de wiskunde-afdeling. Hij werkte nauw samen met Daniël Bernoulli bij wie hij de eerste tijd ook in huis woonde. Euler leerde [[Russisch]] en paste zich snel aan het leven in Sint-Petersburg aan. Ook nam hij een extra baan als medisch adviseur voor de [[Russische Marine]] aan.<ref name="prijs">{{en}} {{Citeer journal| author = R Calinger | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) (Leonhard Euler: De eerste periode in St. Petersburg (1727–1741))| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2}}</ref>

De Academie van Sint-Petersburg, in 1724 opgericht door [[Peter I van Rusland|Peter de Grote]], had tot doel om het onderwijs in Rusland op een hoger plan te brengen en om de wetenschappelijke kloof met West-Europa te overbruggen. Omdat de academie kon beschikken over ruime financiële middelen en een uitgebreide bibliotheek, samengesteld uit privé-bibliotheken van Peter de Grote en andere adellijke personen, was de academie zeer aantrekkelijk voor buitenlandse wetenschappers zoals Euler. Er stonden slechts weinig leerlingen aan de academie ingeschreven, waardoor de leden van de academie een lichte onderwijstaak hadden. Mede daarom bleef er genoeg tijd over om fundamenteel wetenschappelijk onderzoek te doen.<ref name="prijs">{{en}} {{Citeer journal| author = R Calinger | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) (Leonhard Euler: De eerste periode in St. Petersburg (1727–1741))| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2}}</ref>

Precies op de dag van Eulers aankomst in mei 1727 in Sint-Petersburg overleed de beschermvrouwe van de Academie, [[Catharina I van Rusland|Catherina I]]. Zij had vastgehouden aan het progressieve beleid van haar ruim twee jaar eerder overleden echtgenoot. Na haar dood nam de macht van de nog grotendeels conservatieve Russische adel, die als regent optrad voor de twaalfjarige [[Peter II van Rusland|Peter II]], sterk toe. Deze adel vond de buitenlandse geleerden van de academie maar verdacht. De beschikbare gelden werden sterk verminderd. Ook op andere manieren maakte men de academieleden het leven zuur.

Na de dood van Peter II in 1730 verbeterde de situatie iets. In deze periode steeg Eulers ster snel en reeds in 1731 werd hij tot hoogleraar in de natuurkunde benoemd. Twee jaar later had zijn vriend Daniël Bernoulli genoeg van de censuur en de vijandigheid die hij in Sint-Petersburg moest verdragen en hij keerde terug naar Bazel. Euler volgde hem op als het hoofd van afdeling wiskunde.<ref name="promotie">{{en}} {{Citeer journal| author = R Calinger | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2| pages = 128–129}}</ref>

Op 7 januari 1734 trad Leonhard in het huwelijk met Katharina Gsell, de dochter van de Zwitserse [[Barok (stijlperiode)|barok]]schilder, [[Georg Gsell]], die door Peter de Grote naar Rusland was gehaald en die in Sint-Petersburg aan het Academiegymnasium werkzaam was. Het jonge paar kocht een huis aan de rivier [[Neva]]. Zij kregen dertien kinderen, van wie er echter slechts vijf de jeugd overleefden.<ref name="wife">{{en}} {{Citeer web| url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|title = Eulogy of Euler by Fuss (Grafrede over Euler) door Fuss| dateformat =dmy|last = Fuss| first = Nicolas|archiefurl=https://web.archive.org/web/20191026010904/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk:80/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|archiefdatum=2019-10-26|dodeurl=nee}}</ref>

Vanaf [[1735]] begon Eulers gezondheid hem parten te spelen. Dat jaar bezweek hij bijna aan de koorts. Ook werd hij bijna [[blindheid|blind]] aan zijn rechteroog, waarschijnlijk als gevolg van [[koningszeer|scrofulose]]. Dit kon door een chirurgische ingreep tijdelijk worden verholpen. Als oorzaak van dit probleem zag Euler zelf het voor zijn ogen vermoeiende cartografische werk dat hij toen voor de Academie van Sint-Petersburg uitvoerde om een kaart van Rusland samen te stellen.

=== Berlijn (1741–1766) ===
Bezorgd over de hernieuwde politieke onrust in Rusland, waar de regente Anna Leopoldovna aan de kant was geschoven door de nieuwe tsarina [[Elisabeth van Rusland]], verliet Euler op 19 juni 1741 Sint-Petersburg om op uitnodiging van [[Frederik II van Pruisen|Frederik de Grote]] een benoeming aan de ''[[Pruisische Academie van Wetenschappen|Berlijnse Academie]]'' te aanvaarden. De daaropvolgende vijfentwintig jaar leefde hij in [[Berlijn]], waar hij meer dan 380 artikelen schreef. In Berlijn publiceerde hij de twee werken waar hij zijn grootste bekendheid aan zou ontlenen: de ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', een tekst over [[functie (wiskunde)|functies]], die hij in 1748 publiceerde, en de ''Institutiones Calculi differentialis'',<ref>{{la}} {{Citeer web| title = E212 -- Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|publisher=Dartmouth|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html|archiefurl=https://web.archive.org/web/20141022110539/https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html|archiefdatum=2014-10-22|dodeurl=nee}}</ref> een boek over [[differentiaalrekening]], dat in 1755 werd gepubliceerd.<ref name="Friedrich">{{en}} {{Citeer boek| last = Dunham| first = William | title = Euler: The Master of Us All (Euler, de meester van ons allemaal) | year = 1999| publisher =The Mathematical Association of America | pages = xxiv–xxv| nopp = true}}</ref>

Euler werd gevraagd om privéleraar te worden van Frederiks nichtje, de prinses van Anhalt-Dessau. Hij schreef haar meer dan 200 brieven, die later werden verzameld in een goedverkopend brievenboek met de titel ''Brieven van Euler gericht aan een Duitse prinses over verschillende onderwerpen in de natuurlijke filosofie''. Dit werk bevatte Eulers uitleg over diverse natuurkundige en wiskundige onderwerpen en gaf ook waardevolle inzichten in Eulers persoonlijkheid en religieuze overtuigingen. Dit boek bereikte een veel groter publiek dan zijn wetenschappelijke wiskundige werken. Het werd in heel Europa en later ook in de [[Verenigde Staten]] uitgegeven. De populariteit van dit 'brievenboek' getuigt van Eulers vermogen om wetenschappelijke vraagstukken doeltreffend aan een lekenpubliek uit te leggen<ref name="Friedrich" /> en daarom kan Euler als een van de eerste [[Populaire wetenschap|wetenschapspopularisators]] worden beschouwd.

Ondanks zijn immense bijdrage aan het prestige van de Berlijnse Academie werd Euler uiteindelijk toch gedwongen Berlijn te verlaten. Dit was deels te wijten aan een persoonlijke botsing met Frederik. Deze ontstond toen Euler na het vertrek van de voorzitter van de Berlijnse Academie, [[Pierre Louis de Maupertuis]], in 1756 steeds meer de rol van waarnemend voorzitter van de Berlijnse academie op zich moest nemen. Frederik de Grote had geen vertrouwen in Euler, die hij steeds meer als te weinig verfijnd beschouwde, zeker in vergelijking met de kring van filosofen die de Pruisische koning in zijn Academie had verzameld, onder wie [[Voltaire]] die een prominente positie aan het hof van de koning genoot. Euler, een orthodox [[calvinisme|calvinist]] en een harde werker, was zeer conventioneel in zijn overtuigingen en smaak. Hij was in veel opzichten de directe tegenpool van Voltaire. Euler had slechts een beperkte opleiding in de [[retorica]] genoten en had de neiging te discussiëren over zaken waar hij weinig van wist, daarmee de spot van Voltaire over zich afroepend. Ook op de praktische ingenieurskwaliteiten van Euler viel het een en ander aan te merken. Frederik de Grote uitte zich in een brief aan Voltaire hierover zeer teleurgesteld:<ref name="Friedrich" />

{{cquote|Ik wilde een fontein in mijn tuin hebben: Euler berekende de benodigde kracht van de waterwielen om het water uit het reservoir op te tillen, door pijpen te laten lopen en in [[Sanssouci]] uit de fontein te laten spuiten. Mijn watermolen werd meetkundig uitgevoerd maar bleek op een afstand van minder van vijftig passen niet in staat om een handjevol water te verplaatsen. IJdelheid der ijdelheden! IJdelheid van de meetkunde!<ref>{{Citeer boek | title=Letters of Voltaire and Frederick the Great (Brieven van Voltaire en Frederik de Grote), Brief H 7434, 25 January 1778 | author=[[Frederik II van Pruisen|Frederik de Grote]] | translator=[[Richard Aldington]] | publisher=Brentano’s | location=New York | year=1927}}</ref>}}

Toen Frederik de Grote ten slotte Euler passeerde en het voorzitterschap tevergeefs aanbood aan [[Jean le Rond d'Alembert]], keerde Euler, die zich dan ook gepasseerd voelde, terug naar Sint-Petersburg. Gedurende het eind van zijn verblijf in Pruisen verslechterde langzamerhand ook Eulers gezichtsvermogen aan zijn rechteroog. Frederik de Grote was zo onbeleefd om aan Euler als een “[[cycloop]]” te refereren.

=== Sint-Petersburg (1766–1783) ===
Sinds de troonsbestijging in 1762 van [[Catharina II van Rusland|Catharina de Grote]], een van oorsprong Noord-Duitse prinses met meer sympathie voor de ideeën van [[de Verlichting]] dan de conservatieve Russische adel, was de situatie in Rusland sterk verbeterd en in 1766 aanvaardde Euler een uitnodiging om terug te keren naar de Academie van Sint-Petersburg, Daar bracht hij de resterende zeventien jaar van zijn leven door. Zijn tweede verblijf in het land werd echter getekend door tragedie. In 1766 ontwikkelde Euler in zijn nog goede linkeroog [[Cataract (oogaandoening)|grijze staar]]. In die tijd kon daar niets aan gedaan worden en binnen een paar weken was Euler, mede als gevolg van een mislukte operatie, volkomen blind. Vijf jaar later, in 1771 brandde zijn huis af. Hij kon ternauwernood ontsnappen. Tot overmaat van ramp overleed in 1773, na een huwelijk van bijna veertig jaar, zijn vrouw Katharina Gsell. Drie jaar later hertrouwde Euler met haar halfzus, Salome Abigail Gsell. Dit huwelijk zou tot aan zijn dood blijven duren.

[[Bestand:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|thumb|left|Tombe van Leonhard Euler in het
Alexander Nevski-klooster.]]

Zijn blindheid had wonderlijk genoeg weinig effect op zijn productiviteit. Hij kon deze handicap compenseren door zijn vaardigheden om in zijn hoofd ingewikkelde berekeningen uit te voeren. Bovendien kon hij een beroep doen op zijn [[fotografisch geheugen]]. Euler was bijvoorbeeld in staat de [[Aeneis]] van [[Vergilius]] van het begin tot het einde te reciteren. Met steun van familieleden, met name zijn oudste zoon, de wiskundige [[Johann Euler]], die precies opschreven wat hij hen dicteerde, slaagde Euler er volgens sommigen in zijn productiviteit nog te verhogen. In het jaar 1775 produceerde hij gemiddeld één wiskundig artikel per week.<ref name="volumes">{{en}} {{Citeer journal|last = Finkel|first = B.F.|year = 1897|title = Biography-Leonard Euler (Biografie – Leonhard Euler)|url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1897-12_4_12/page/300|journal = The American Mathematical Monthly| volume = 4| issue = 12| pages = 300}}</ref>

Op 18 september 1783 overleed Euler in Sint-Petersburg op 76-jarige leeftijd aan de gevolgen van een [[hersenbloeding]]. Hij werd naast zijn eerste vrouw begraven op de Smolensk Lutherse Begraafplaats op Vasilevski-eiland. Later werd deze begraafplaats door de Sovjet-autoriteiten geruimd, overigens wel nadat zij het gebeente van Euler hadden laten overbrengen naar het orthodoxe [[Alexander Nevski-klooster]]. Zijn grafrede voor de Franse [[Académie des sciences]] werd geschreven door de Franse wiskundige en filosoof markies [[Nicolas de Condorcet]]. Die merkte op:

{{cquote|''…il cessa de calculer et de vivre'' – … Hij stopte met rekenen en leven.<ref name="condorcet">{{en}} {{aut|[[Marquis de Condorcet]]}}. [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html Eulogy to Euler], 1786.</ref>}}

Een overzicht van zijn leven, inclusief een lijst van zijn werken, werd opgesteld door Eulers schoonzoon Nikolaus von Fuss, die secretaris was van de [[Russische Academie van Wetenschappen|Keizerlijke Academie van Sint-Petersburg]].

== Betekenis ==
[[Bestand:Acta Eruditorum - II geometria, 1744 – BEIC 13411238.jpg|thumb|Illustratie uit ''Solutio problematis... a. 1743 propositi'' (Acta eruditorum, 1744)]]
Euler leverde belangrijke bijdragen aan bijna alle takken van de wiskunde: [[meetkunde]], [[differentiaalrekening|differentiaal-]] en [[integraalrekening]], analyse, [[algebra]], [[goniometrie]], [[getaltheorie]] en nog veel meer. Maar hij hield zich niet alleen bezig met wis- en [[natuurkunde]]. Hij leverde ook belangrijk werk op het gebied van de [[geneeskunde]], [[plantkunde|plant-]] en [[scheikunde]]. Daarnaast was hij een uitstekend historicus en las hij veel literatuur.

Euler heeft zoveel geschreven, dat het met de hand overschrijven van al zijn werken naar schatting vijftig jaar zou duren bij acht uur schrijven per dag. Een door de [[Zwitserse Academie van Wetenschappen]] begonnen project om al zijn werken uit te geven, loopt al honderd jaar. Zijn gepubliceerde werk is opnieuw uitgegeven, en een deel van zijn brieven ook, maar het bezorgen van zijn aantekeningenboeken en [[dagboek (persoonlijk)|dagboeken]] zal nog ongeveer twintig jaar in beslag nemen.

== Ontdekkingen ==
[[Bestand:Leonhard Euler.jpg|thumb|Euler <br> Emanuel Handmann <br> 1753, olieverf]]

Euler heeft over zoveel onderwerpen geschreven, dat wis- en natuurkundigen weleens voor de grap zeggen dat een ontdekking of stelling genoemd wordt naar de tweede persoon die hem 'ontdekt' heeft omdat de eerste persoon waarschijnlijk Euler was. Een opsomming van zijn bijdragen is dan ook altijd onvolledig. De navolgende opsomming is dat dus ook.

=== Wiskundige notatie ===
Euler introduceerde en populariseerde in zijn talrijke en wijd verspreide leerboeken verschillende notatieconventies. De meest opvallende was zijn introductie van het concept van een [[functie (wiskunde)|functie]]. Hij was de eerste die ''f''(''x'') schreef om een functie ''f'' aan te duiden, die op het argument ''x'' toegepast wordt. Hij introduceerde ook de moderne notatie voor de [[goniometrische functie]]s, de letter ''e'' voor de basis van de [[natuurlijke logaritme]] (''e'' staat nu ook bekend als het [[e (wiskunde)|getal van Euler]]), de Griekse letter [[Sigma (letter)|Σ]] voor sommaties en de letter ''i'' voor de [[imaginaire eenheid]].<ref name="Boyer" /> Het gebruik van de Griekse letter ''[[pi (letter)|π]]'' om de [[Pi (wiskunde)|ratio van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter]] aan te duiden werd ook door Euler gepopulariseerd, hoewel dit begrip niet van hem afkomstig was.

=== Analyse ===
Hij voerde de [[gammafunctie]] in en ontwikkelde een nieuwe methode om vierdegraads polynomen op te lossen. Hij bewees de [[kleine stelling van Fermat]], Fermats stelling over de som van twee kwadraten en leverde belangrijke bijdragen aan de vierkwadratenstelling van [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]. Verder leverde hij bijdragen op het gebied van de [[variatierekening]] (de [[Euler-Lagrange-vergelijking]] is er het bekendste resultaat van), de [[combinatoriek]] en [[differentievergelijking]]en.

De ontwikkeling van de [[infinitesimaal]]rekening stond in de 18e eeuw in het brandpunt van de belangstelling van wiskundig onderzoekers, en leden van de familie [[Bernoulli]] speelden al in de decennia rondom 1700 een leidende rol in de vorderingen die op dit onderzoeksgebied werden gemaakt. Onder hun invloed werd de bestudering van de [[differentiaalrekening|differentiaal-]] en [[integraalrekening]] ook het belangrijkste onderdeel van Eulers werk. Hoewel sommige van Eulers bewijzen volgens moderne normen van wiskundige striktheid niet aanvaardbaar zijn<ref name="Basel" /> hebben zijn ideeën tot grote vooruitgang op vele gebieden geleid.
Euler staat in de [[analyse (wiskunde)|analyse]] bekend voor zijn veelvuldig gebruik en de ontwikkeling van [[machtreeks]]en, de [[uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] van [[functie (wiskunde)|functies]] als [[Optellen|som]]men van [[oneindige verzameling|oneindig]] veel termen, zoals
:<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)</math>.

Met name gaf Euler een direct [[Wiskundig bewijs|bewijs]] voor de machtreeksexpansies voor ''e'' en de [[arctangens]]-functie. Het indirecte bewijs was tussen 1670 en 1680 al door Newton en Leibniz gegeven, die daarbij gebruik maakten van de inversemachtreekstechniek. Zijn gedurfde gebruik van machtreeksen stelde Euler in 1735 in staat om het beroemde [[Bazel-probleem]] op te lossen, dat de familie [[Bernoulli]] lang had beziggehouden. Het gaat daar om de som van de oneindige reeks
:<math>\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}</math>.

[[Bestand:Euler's formula.svg|thumb|meetkunde van de formule van Euler]]

Euler wist eerst met dubieuze middelen de som te bepalen, namelijk <math>\frac{\pi^2}{6} </math>. In 1741 gaf hij een correct uitgewerkt bewijs:<ref name="Basel">{{Citeer boek| last = Wanner| first = Gerhard| coauthors = Harrier, Ernst | title = Analysis by its history| edition = 1st| year = 2005| month = March| publisher = Springer| page = 62}}</ref>

Euler introduceerde het gebruik van de [[exponentiële functie]] en [[logaritme]]n in analytische bewijzen. Hij ontdekte verschillende manieren om logaritmische functies uit te drukken door gebruik te maken van machtreeksen en hij slaagde erin negatieve en [[Complex getal|complexe]] logaritmen te definiëren, waarmee hij de reikwijdte van wiskundige toepassingen van logaritmen enorm wist uit te breiden<ref name="Boyer" />

=== Complexe functietheorie ===
Euler leverde belangrijke bijdragen aan de [[Functietheorie|complexe functietheorie]]. Hij ontdekte wat nu de [[formule van Euler]] wordt genoemd:
:<math>e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \,</math>

waarin een verband wordt gelegd tussen de exponentiële functie en de goniometrische functies. De [[identiteit van Euler]], een speciaal geval van de formule van Euler (met <math>\phi = \pi</math>),
:<math>e^{i\pi} + 1 = 0\,</math>
drukt vijf belangrijke getallen: ''[[e (wiskunde)|e]]'',''[[pi (wiskunde)|π]]'', ''[[imaginaire eenheid|i]]'', [[1 (getal)|1]] en [[0 (getal)|0]] op harmonieuze wijze in een formule uit. Deze formule is door [[Richard Feynman]] 'de opmerkelijkste formule in de wiskunde' genoemd (Lectures on Physics, p.&nbsp;I-22-10).

=== Getaltheorie ===
Eulers interesse in de [[getaltheorie]] kan worden teruggevoerd naar de invloed van [[Christian Goldbach]], zijn vriend in de [[Russische Academie van Wetenschappen|Academie van Sint-Petersburg]]. Veel van het vroege werk van Euler over de getaltheorie was gebaseerd op de werken van [[Pierre de Fermat]]. Euler ontwikkelde een aantal van Fermats ideeën en weerlegde enkele van diens [[vermoeden]]s.

Euler legde een verband tussen de aard van de verdeling van [[priemgetal]]len en ideeën in de [[Analyse (wiskunde)|analyse]]. Hij bewees dat de som van de omgekeerden van priemgetallen divergeren. Daarbij ontdekte hij het verband tussen de [[Riemann-zèta-functie]] en de [[priemgetal]]len, dat bekendstaat als het bewijs van de Euler-productformule voor de Riemann-zèta-functie.

Euler ontdekte de [[kwadratische reciprociteit]]swet en bewees dat alle even [[perfect getal|volmaakte getallen]] de door [[Euclides van Alexandrië|Euclides]] gegeven vorm hebben. Hij deed onderzoek naar primitieve wortels, ontdekte nieuwe grote [[priemgetal]]len en leidde de oneindigheid van het aantal priemgetallen af uit de divergentie van de [[Reeks (wiskunde)#harmonische reeks|harmonische reeks]]. Dit was de eerste doorbraak op dat gebied in tweeduizend jaar en het luidde de geboorte van de analytische getaltheorie in.

Zijn werk over het [[Priemfactor#Ontbinding in factoren|ontbinden]] van hele getallen met [[Complex getal|complexe getallen]] betekent het begin van de [[Algebraïsch getal|algebraïsche getaltheorie]]. Al tweeduizend jaar voor Euler waren [[bevriende getallen]] bekend en in al die tijd waren er drie paar gevonden. Euler vond er nog eens 59.

=== Grafentheorie ===
[[Bestand:Konigsberg bridges.png|thumb|Een kaart van Königsberg met de nadruk op de zeven bruggen]]

In [[1736]] loste Euler het wiskundige probleem op dat bekendstaat als 'de [[Zeven bruggen van Koningsbergen|zeven bruggen van Königsberg]]'. De stad [[Koningsbergen]] (nu [[Kaliningrad]]) wordt doorkruist door de rivier de [[Pregolja|Pregel]] en haar zijrivieren. Twee verlengde eilanden in de rivier zijn onderling en met de noord- en de zuidoever verbonden door in totaal zeven bruggen. Er is geen directe verbinding tussen noord- en zuidoever van de rivier. Het ene eiland is door twee bruggen, het andere eiland door een enkele brug met zowel noord- als zuidoever verbonden. Tussen de twee eilanden ligt ook een brug. De vraag die men zich stelde was of het mogelijk is om een wandeling door de stad te maken, waarin men alle zeven bruggen precies een keer oversteekt en toch weer uitkomt bij het startpunt van de wandeling.

Euler toonde aan dat dit niet mogelijk was. De oplossing van Euler was het begin van de [[grafentheorie]], op haar beurt weer het begin van de [[topologie]].<ref name="bridge">{{Citeer journal| last = Alexanderson| first = Gerald| year = 2006| month = juli| title = Euler and Königsberg's bridges: a historical view (Euler en de bruggen van Königsberg: een historisch gezichtspunt| journal = Bulletin of the American Mathematical Society| url = http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-04/S0273-0979-06-01130-X/S0273-0979-06-01130-X.pdf}}</ref>

Euler introduceerde naar aanleiding van dit probleem een formule voor [[veelvlak|convexe veelvlakken]], die het aantal [[hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]], H, [[ribbe]]n, R en [[zijde (meetkunde)|zijden]], Z, aan elkaar relateert in de zogenaamde [[formule van Euler voor veelvlakken]]:

:<math>H-R+Z = 2</math>

=== Toegepaste wiskunde ===
Sommige van Eulers grootste successen waren in het analytisch oplossen van praktische technische problemen en in het beschrijven van talrijke toepassingen van de [[Bernoulligetal|Bernoulli-getal]]len, [[Fourierreeks]]en, [[Euler-diagram]]men, [[Eulergetal (getaltheorie)|Eulergetallen]], de constanten ''[[E (wiskunde)|e]]'' en [[Pi (wiskunde)|π]], [[kettingbreuk]]en en [[Integraalrekening|integralen]]. Hij combineerde [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz']] [[differentiaalrekening]] met Newtons 'fluxie'-methode en ontwikkelde procedures om de differentiaal- en integraalrekening op [[natuurkunde|natuurkundige]] problemen toe te passen. Hij boekte in dit verband grote vooruitgang bij het verbeteren van de [[numerieke wiskunde]] ten behoeve van de [[integraalrekening]]. Hij ontwikkelde hiervoor de eerste-orde-Euler-methode en de [[formule van Euler-Maclaurin]]. Een andere bijdrage aan de [[Analyse (wiskunde)|analyse]] was de introductie in 1735 van de [[constante van Euler-Mascheroni]], die samenhangt met de manier waarop de harmonische reeks divergeert:<ref>{{aut|[[Dirk Jan Struik|DJ Struik]]}}, Geschiedenis van de wiskunde, 2001.</ref>
:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)</math>.

=== Muziektheorie ===
Onder de minder bekende werken van Euler bevinden zich ook pogingen om de [[muziektheorie]] op een volledige [[wiskunde|wiskundige]] leest te schoeien. Zijn verhandeling ''Tentamen Novae theoriae musicae'', Nieuw werk over de muziektheorie, uit [[1739]]<ref>{{en}}[http://eulerarchive.maa.org//pages/E033.html E33 -- Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae.]</ref> is daarbij zijn belangrijkste werk, maar er zijn ook andere werken. Eulers was niet de enige wiskundige die over muziektheorie schreef. Hij werd voorafgegaan door [[Marin Mersenne]] en [[René Descartes|Descartes]] en nagevolgd door onder andere [[Jean Le Rond d'Alembert]], [[Hermann von Helmholtz]]. In zijn ''Grafrede voor Leonhard Euler'' uit [[1783]] typeert zijn assistent Nikolaus Fuss Eulers werk, ''Tentamen Novae theoriae musicae'' als volgt

{{cquote|Een diepzinnig werk, vol van nieuwe, op originele wijze gepresenteerde ideeën; desondanks geniet het werk geen grote populariteit, want het bevat te veel meetkunde voor musici en te veel muziek voor wiskundigen.}}

=== Natuur- en sterrenkunde ===
Euler hielp mee bij de ontwikkeling van de [[balkvergelijking van Euler-Bernoulli]], die ruim een honderd jaar na zijn dood vanaf de tweede helft van de 19e eeuw een hoeksteen van de [[techniek]] werd. Naast succesvol toepassen van zijn analytische gereedschappen op problemen in de [[klassieke mechanica]], paste Euler deze technieken ook toe op problemen uit de [[hemelmechanica]]. Zijn werk in de [[astronomie]] werd in de loop van zijn carrière erkend door een aantal prijzen van de [[Académie des sciences]] in Parijs. Zijn prestaties omvatten het met grote nauwkeurigheid bepalen van de [[Baan (hemellichaam)|banen]] van [[Komeet|kometen]] en andere [[Hemellichaam|hemellichamen]], het begrijpen van de aard van kometen, en het berekenen van de [[parallax]] van de [[zon]]. Zijn berekeningen hebben ook bijgedragen aan de ontwikkeling van nauwkeurige [[Geschiedenis van de lengtegraad|lengtegraadtabellen]].<ref>Youschkevitch, A.P.;Biography in ''Dictionary of Scientific Biography'' (New York 1970-1990).</ref>

In aanvulling hierop leverde Euler ook belangrijke bijdragen aan de [[optica]]. Hij was het niet eens met Newtons [[Licht#Deeltje of golf|deeltjestheorie]] van het licht uit diens boek de ''Opticks'', in zijn tijd de heersende theorie. Door zijn artikelen uit 1740 over [[optica]] zorgde hij er mede voor dat de [[Licht#Deeltje of golf|golftheorie van het licht]], zoals deze door [[Christiaan Huygens]] was voorgesteld, de dominante manier van denken werd, dit ten minste tot de ontwikkeling van de [[Dualiteit van golven en deeltjes|kwantumtheorie van licht]].<ref name="optics">{{Citeer journal
| author = Home, R.W.
| year = 1988
| title = Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light
| url = https://archive.org/details/sim_annals-of-science_1988-09_45_5/page/521
| journal = Annals of Science
| volume = 45
| issue = 5
| pages = 521–533
}}</ref>

=== Logica ===
Euler heeft ook aan het gebruik van [[Kromme|gesloten kromme]]n bijgedragen om [[Syllogisme|syllogistische]] redeneringen te illustreren (1768). Deze diagrammen zijn bekend geworden als [[Euler-diagram]]men.<ref name="logic">Baron, M. E.; A Note on The Historical Development of Logic Diagrams. The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association. Vol LIII, no. 383 May 1969.</ref>

== Persoonlijke filosofie en religieuze overtuigingen ==
Euler en zijn vriend [[Daniel Bernoulli]] waren tegenstanders van de [[monadologie]] van [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] en ook van de filosofie van [[Christian Wolff (filosoof)|Christian Wolff]]. Euler vond dat kennis ten minste gedeeltelijk gegrond moest zijn in precieze, [[kwantitatief|kwantitatieve]] wetten, iets waar binnen de filosofie van Leibniz en de wetenschapsopvatting van Wolff geen ruimte voor was. Eulers religieuze neigingen waren van invloed op zijn afkeer van de leer van Wolff. Hij ging zo ver om de ideeën van Wolff "heidens en atheïstisch" te noemen.<ref name="promotie" />

Veel van wat bekend is over de religieuze overtuigingen van Euler kan worden afgeleid uit zijn ''Brieven aan een Duitse prinses'', en uit een vroeger werk, ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister'' ("Redding van de goddelijke openbaring tegen de bezwaren van de [[Vrijdenkerij|vrijdenkers]]"). Deze werken laten zien dat Euler een vroom [[christen]] was, die geloofde dat de [[Bijbel (christendom)|Bijbel]] goddelijk geïnspireerd is. De ''Redding'' was vooral een argument voor de [[Inspiratie van de Bijbel|goddelijke inspiratie van de Schrift]].

== Werken ==
Door Euler afzonderlijk gepubliceerde werken:
* Dissertatio physica de sono (Dissertatie over de fysica van geluid) (Bazel, 1727, in [[Quarto (papierformaat)|quarto]])
* Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (St. Petersburg, 1736, in 2 vols. quarto)
* Einleitung in die Arithmetik (ibid., 1738, in 2 vols. [[octavo (boekformaat)|octavo]]), in het Duits en het Russisch
* Tentamen novae theoriae musicae (ibid. 1739, in quarto)
* Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes (Lausanne, 1744, in quarto)
* Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlijn, 1744, in quarto)
* Beantwortung, &c., Antwoorden op Verschillende Vragen aangaande Kometen (ibid., 1744, in octavo)
* Neue Grundsätze, c., of Nieuwe Principes van de Artillerie, vertaald uit het Engels van Benjamin Robins, met noten en illustraties (ibid., 1745, in octavo)
* Opuscula varii argumenti (ibid., 1746-1751, in 3 vols. quarto)
* Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (ibid., 1746, in quarto)
* Tabulae astronomicae solis et lunae (ibid., quarto)
* Gedanken, &c., of Gedachten over de Elementen van Lichamen (ibid. quarto)
* Rettung der gall-lichen Offenbarung, &c., Verdediging van de Goddelijke Openbaring tegen Vrijdenkers (ibid., 1747, in quarto)
* Introductio in analysin infinitorum (Inleiding in de analyse van infinitesimalen)(Lausanne, 1748, in 2 vols. quarto)
* Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus (St Petersburg, 1749, in 2 vols. quarto)
* Theoria motus lunae (Berlijn, 1753, in quarto)
* Dissertatio de principio mininiae actionis, ' una cum examine objectionum cl. prof. Koenigii (ibid., 1753, in octavo)
* Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum (ibid., 1755, in quarto)
* Constructio lentium objectivarum, &c. (St Petersburg, 1762, in quarto)
* Theoria motus corporum solidoruni seu rigidorum (Rostock, 1765, in quarto)
* Institutiones, calculi integralis (St Petersburg, 1768-1770, in 3 vols. quarto)
* Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (St Petersburg, 1768-1772, in 3 vols. octavo)
* Anleitung zur Algebra<ref>{{en}} [https://web.archive.org/web/20060925132713/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/index.html Elements of Algebra]</ref> (ibid., 1770, in octavo); Dioptrica (ibid., 1767-1771, in 3 vols. quarto)
* Theoria motuum lunge nova methodo pertr.arctata (ibid., 1772, in quarto)
* Novae tabulae lunares (ibid., in octavo); La théorie complete de la construction et de la manteuvre des vaisseaux (ibid., .1773, in octavo)
* Eclaircissements svr etablissements en favour taut des veuves que des marts, zonder datum
* Opuscula analytica (St Petersburg, 1783-1785, in 2 vols. quarto). Zie Rudio, Leonhard Euler (Bazel, 1884).

== Trivia ==
Euler werd op een serie van Zwitserse 10 [[Zwitserse frank|Frank-biljetten]] afgebeeld en op verschillende Zwitserse, Duitse en Russische [[postzegel]]s.

== Naar Euler genoemd ==
* [[Stelling van Euler]]
* [[Formule van Euler]]
* [[Identiteit van Euler]]
* [[Formule van Euler-Maclaurin]]
* [[e (wiskunde)|Getal van Euler]] (e)
* [[Grafentheorie#Euler en Hamilton|Eulergraaf]]
* [[Eulerknik]]
* [[Eulerschijf]]
* [[Hoeken van Euler]]
* [[Rechte van Euler]]
* [[Stromingsvergelijkingen van Euler]]
* [[Driehoeksformule van Euler]]
* [[Formule van Euler voor veelvlakken]]
* [[Eulerkarakteristiek]]
* een planetoïde

{{Appendix}}
{{Commons|Leonhard Euler}}
{{Bibliografische informatie}}

{{DEFAULTSORT:Euler, Leonhard}}
[[Categorie:Zwitsers wiskundige]]
[[Categorie:Zwitsers natuurkundige]]
[[Categorie:18e-eeuws wiskundige]]
[[Categorie:18e-eeuws natuurkundige]]
[[Categorie:Muziektheoreticus]]