Brontekst bekijken van Kurtosis

In de [[kansrekening]] en de [[statistiek]] is '''kurtosis''' (Grieks: κύρτωσις, ''kurtosis'', welven, krommen) of '''welving''' ('''gewelfdheid'''), (ook wel ''platheid'' genoemd) een maat voor de 'staartvormigheid' van een [[kansverdeling]]. Zowel de parameter zelf als de [[schatter]] daarvan worden met kurtosis aangeduid. Een hoge kurtosis wijst op een verdeling met lage kans op extreme uitschieters, vanwege de staartvorm. Dit houdt in dat een relatief groot deel van de [[variantie]] veroorzaakt wordt door zeldzame extreme waarden. Een lage kurtosis wijst op een platte verdeling. Hier wordt de variantie voornamelijk veroorzaakt door een groter deel minder extreme waarden. Soms wordt er gezegd dat kurtosis gerelateerd is aan de 'piekvormigheid', maar dat is incorrect.<ref>{{Citeer tijdschrift|achternaam=Westfall|voornaam=Peter H.|medeauteurs=|taal=en|url=|titel=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.2014.917055|jaargang=2014|tijdschrift=The American Statistician|datum=11-08-2014|archiefurl=https://web.archive.org/web/20230210025907/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.2014.917055|archiefdatum=2023-02-10}}</ref>

==Definitie==
Voor kurtosis worden in de statistische literatuur twee verschillende definities gebruikt. Als eerste, wordt kurtosis gedefinieerd als het vierde gestandaardiseerde [[moment (wiskunde)|moment]]:
:<math>
\gamma'_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2}
</math>
waarin <math>\mu_4={\rm E}(X-\mu)^4</math> het vierde centrale [[Moment (wiskunde)|moment]] is, en <math>\sigma</math> de [[standaarddeviatie]].

Voor een [[normale verdeling]] is <math>\gamma'_2 = 3</math>. Om vergelijking met de normale verdeling te vergemakkelijken, wordt algemeen de volgende definitie van kurtosis gehanteerd, die ook wel ''exces kurtosis'' genoemd wordt.
:<math>\gamma_2 = \gamma'_2 - 3</math>

Een wiskundige theoretische reden voor deze aangepaste definitie is dat de kurtosis nu gelijk is aan het [[quotiënt]] van het vierde [[cumulant]] (<math>\kappa_4</math>) en het kwadraat van de tweede cumulant (<math>\kappa_2</math>, die gelijk is aan de variantie).
:<math>\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2}</math>

Een praktische reden is dat volgens deze formule de normale verdeling een kurtosis gelijk aan nul heeft.

* Een positieve kurtosis duidt op een stevige piekvorm van de kansverdeling, dit wordt ''leptokurtisch'' genoemd. Voorbeelden van leptokurtische verdelingen zijn de [[laplaceverdeling]] en de [[logistische verdeling]].
* Een negatieve kurtosis duidt op een platte vorm van de kansverdeling, dit wordt ''platykurtisch'' genoemd. Voorbeelden hiervan zijn de [[uniforme verdeling (continu)|uniforme verdeling]]. De meest platykurtische verdeling is de [[Bernoulli-verdeling]] met parameter <math>p=1/2</math>, deze heeft een kurtosis van –2.
* Verdelingen met kurtosis 0 worden ''mesokurtosisch'' genoemd. Voorbeelden hiervan zijn de normale verdelingen.

==Eigenschappen==
* Als <math>X</math> normaal verdeeld is, is <math>\gamma_2(X)=0</math>.
* Als <math>Y</math> de som is van <math>n</math> onafhankelijke, identiek als <math>X</math> verdeelde stochastische variabelen, dan is <math>\gamma_2(Y)=\gamma_2(X)/n</math>.
* Als <math>X_1,\ldots,X_n</math> onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, alle met dezelfde variantie, geldt:
::<math>\gamma_2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \gamma_2(X_i)</math>.

NB: deze drie eigenschappen gelden voor <math>\gamma_2</math> en niet voor <math>\gamma'_2</math>.

==Steekproefkurtosis==
De kurtosis van een verdeling kan geschat worden op basis van de uitkomst <math>x_1,\ldots,x_n</math> van een aselecte [[steekproef]] uit de verdeling. De ''steekproefkurtosis'' is de [[momentschatter]] van de kurtosis:
:<math>
g_2 = \frac{n\,\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3
</math>

waarin <math>\overline{x}</math> het steekproef[[gemiddelde]] is.

Omdat dit geen [[zuivere schatter]] voor de populatiekurtosis is, wat wil zeggen dat <math>{\rm E}g_2 \neq \gamma_2</math>, wordt in praktijk, en in de meeste softwarepakketten, meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt
:<math>G_2 = \frac{n-1}{(n-2)(n-3)}((n+1)\,g_2 + 6)</math>

{{Appendix}}
{{Navigatie beschrijvende statistiek}}

[[Categorie:Kansrekening]]
[[Categorie:Statistiek]]