Brontekst bekijken van Koorde

[[Bestand:Supplementaire omtrekshoeken.svg|thumb|270px|'''Figuur 1'''. <math>\angle{APB}</math> en <math>\angle{AQB}</math> zijn supplementaire hoeken op koorde AB. Hun som is dus 180°.]]
[[Bestand:Thaleskreis.png|thumb|270px|'''Figuur 2'''. De stelling van Thales zegt dat de rode en de gele hoek gelijk zijn, namelijk exact 90°.]]
[[Bestand:Koorde in cirkel 1.png|thumb|270px|'''Figuur 3'''. Willekeurige koorde met bijbehorende middelpuntshoek]]

Een '''koorde''' is het [[lijnstuk]] dat twee [[Punt (wiskunde)|punten]] op een [[cirkel]] met elkaar verbindt. [[Middellijn]]en van een cirkel zijn dus ook koorden.

De [[Lijn (meetkunde)|lijn]] die men krijgt door een koorde aan beide kanten te verlengen wordt [[snijlijn]] of secantlijn genoemd, die bij de koorde hoort.

== Geschiedenis ==
De koorde werd vroeger veel gebruikt in de [[goniometrie]] of [[meetkunde]]. In tegenstelling tot de moderne goniometrie, die gebaseerd is op de sinus en de cosinus, was de goniometrie in de [[klassieke oudheid]] gebaseerd op de koorde. De koorde en de bijbehorende [[Hoek (meetkunde)|hoek]] werden bepaald via een tabel. De eerst bekende goniometrische tabel werd door [[Hipparchus (astronoom)|Hipparchus]] opgesteld. Uit deze tabel kon men de lengte van de koorde van een [[Middelpuntshoek en omtrekshoek|middelpuntshoek]] <math>\alpha</math> (Figuur 3) aflezen en vice versa. Hipparchus berekende de koorde voor elke 7,5 [[Booggraad|graad]]. Tabel 1 is een voorbeeld van een koordentabel voor een [[eenheidscirkel]], in stappen van 10 graden.<ref>bijvoorbeeld <math>d(\ (1,0) \ , \ (\cos\ 20^\circ,\sin\ 20^\circ\ ) \ ) = 0,3473</math>.</ref>

{| class="wikitable centered" style="text-align:center;"
|+ Tabel 1: Koordentabel
! α
| 0°
| 10°
| 20°
| 30°
| 40°
| 50°
| 60°
| 70°
| 80°
| 90°
| …
| 180°
|-
! koorde
| style="width:3em" | 0
| 0,1743
| 0,3473
| 0,5176
| 0,6840
| 0,8452
| style="width:3em" | 1
| 1,1472
| 1,2856
| 1,4142
| …
| style="width:3em" | 2
|}

De tabel van Hipparchus werd in de tweede eeuw n.Chr. door [[Claudius Ptolemaeus]] uit Alexandria verbeterd in zijn boek [[Almagest]]. Hij maakte een koordentabel met stappen van 1/2 graad. Hipparchus zou een twaalfdelig boek over koorden geschreven hebben dat verloren is gegaan. Vermoedelijk was er in die tijd veel bekend over koorden. De koorde is vervangen door de [[sinus en cosinus]]. Deze functies werden rond 450 n.Chr. in [[India]] opgesteld en via [[Geschiedenis van de wiskunde#Klassieke Arabische wiskunde (ca. 800 - 1500)|Arabische wiskunde]] in Europa geïntroduceerd.

== Eigenschappen ==
* Twee koorden van eenzelfde cirkel hebben dezelfde afstand tot het [[Middelpunt (meetkunde)|middelpunt]] dan en slechts dan als de koorden gelijke [[Lengte (meetkundig)|lengte]] hebben.
* De [[middelloodlijn]] van een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel.
* Een koorde <math>AB</math> verdeelt de omtrek van de cirkel in twee [[Boog (meetkunde)|cirkelbogen]] en de oppervlakte van de cirkel in twee [[cirkelsegment]]en. Als een punt <math>P</math> de ene, en een punt <math>Q</math> de andere cirkelboog doorloopt dan hebben de hoeken <math>\angle{APB}</math> en <math>\angle{AQB}</math> elk een vaste waarde. Bovendien zijn die twee hoeken supplementair, wat wil zeggen dat hun som 180 graden is. Is de koorde een middellijn, dan zijn volgens de [[Stelling van Thales (cirkels)|stelling van Thales]] beide hoeken recht.
* Gegeven twee koorden <math>AB</math> en <math>CD</math> die elkaar snijden in een punt <math>P</math>, eventueel in het verlengde van de koorden. Dan geldt:
:: <math>PA\cdot PB = PC \cdot PD</math> = de [[Macht (meetkunde)|macht van punt {{math|P}}]] ten opzichte van de cirkel.
* De lijn die vanaf het middelpunt van de cirkel [[Loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op de koorde valt wordt het [[apothema]] genoemd. De afstand van de koorde tot de cirkelrand heet de [[Pijl (meetkunde)|pijl]], in andere talen de sagitta. De gezamenlijke lengte van het apothema en de pijl is dus gelijk aan de [[Straal (wiskunde)|straal]] van de cirkel.
* In een willekeurige cirkel kan de lengte van de koorde <math>k</math> worden berekend uit de straal <math>R</math> en de [[Middelpuntshoek en omtrekshoek|middelpuntshoek]] <math>\alpha</math>:
:: <math>k = 2R \ \sin (\tfrac12 \alpha)</math>
* De vier koorden van een [[koordenvierhoek]] voldoen aan de [[stelling van Ptolemaeus]].

== Koordefunctie ==
Historisch werd de lengte van de koorde in de [[eenheidscirkel]] de koordefunctie <math>\mathrm{krd}</math> genoemd, die echter in onbruik is geraakt. Ze is dus gedefinieerd als
: <math>\mathrm{krd}(\alpha) = 2 \sin \left(\tfrac 12 \alpha\right)</math>

De lengte <math>k</math> van een koorde op een middelpuntshoek <math>\alpha</math> in een cirkel met straal <math>R</math> is dan:
: <math>k = R\ \mathrm{krd}(\alpha)</math>

Vanwege de relatie met de sinus van de halve hoek voldoet de koorde aan dezelfde soort [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijkingen]] als de [[sinus en cosinus]]. Zo leidt de [[stelling van Pythagoras]] tot de vergelijking:
: <math>\mathrm{krd}^2(\alpha) + \mathrm{krd}^2 (180^\circ - \alpha) = 4</math>,

wat in een [[rechthoekige driehoek]] is te zien met de beide koorden als rechthoekszijden en de middellijn als [[hypotenusa]].

== Koorden in andere figuren dan cirkels ==
Het verbindingslijnstuk van twee punten op een andere [[kromme]] dan een cirkel, bijvoorbeeld op de [[Grafiek (wiskunde)|grafiek]] van een functie, wordt ook een koorde genoemd.<ref>JP Daems en E Jennekens. Argument 4 ― Algebra - Meetkunde - Driehoeksmeting, 2003. blz 106, {{ISBN|9789045506593}}</ref>

Het begrip koorde wordt ook in de [[ruimtemeetkunde]] gebruikt. Een koorde is het [[lijnstuk]] dat twee punten van een [[ruimtekromme]] of van een [[Oppervlak (meetkunde)| oppervlak]] verbindt. De koorde maakt over het algemeen zelf geen deel uit van de ruimtekromme of van het oppervlak.

== Luchtvaarttechniek ==
* De [[vleugelkoorde]] van een vleugelprofiel is de lijn die het voorste punt van het profiel verbindt met het achterste punt van het profiel.

{{Appendix|Voetnoten}}

[[Categorie:Goniometrie]]
[[Categorie:Vlakke meetkunde]]