Brontekst bekijken van Kogelbaan

[[Bestand:Inclinedthrow.gif|thumb|300px|upright=2.0|Verschillende kogelbanen onder een [[Elevatie (ballistiek)|elevatie]] (afvuurhoek) van 70°, zonder en met [[laminaire stroming]]sweerstanden:<br />'''zwarte lijn''': paraboolbaan zonder weerstand,<br /><b style="color:#00f">blauwe lijn</b>: weerstand volgens de [[Wet van Stokes]],<br /><b style="color:#090">groene lijn</b>: weerstand in een [[Newtoniaans fluïdum|newtoniaanse vloeistof]].]]
[[Bestand:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|300px|right|Een kleine bal stuitert op een harde ondergrond. De foto is gemaakt met een [[stroboscoop]] bij 25 flitsen per seconde. Bij elke [[Botsing (natuurkunde)|botsing]] wordt de bal kortstondig afgeplat. Afplatting, [[luchtweerstand]] en draaiing zorgen ervoor dat de baan niet exact een parabool is. Draaiing maakt ook de hoek met de bodem na de eerste keer stuiteren scherper dan verwacht. Door inelastische vervorming van de bal bij contact met de grond en door luchtweerstand verliest de bal energie, zodat hij telkens minder hoog komt en op den duur blijft liggen.]]
Een '''kogelbaan''' is de [[kromme]] die een voorwerp of [[projectiel]], bijvoorbeeld een [[Kanon (geschut)|kanon]]s[[kogel (munitie)|kogel]], [[Mortier (wapen)|mortiergranaat]] of [[Golf (sport)|golf]][[Bal (voorwerp)|bal]], beschrijft na het afschieten of wegslaan.

==Paraboolbaan==
In de Nederlandse natuurkundetraditie wordt het woord ''kogelbaan'' vaak gebruikt als synoniem met een wiskundige figuur, de [[Parabool (wiskunde)|parabool]]. Daar zijn echter wel een paar kanttekeningen bij te maken. Een kogel beschrijft een echte parabool als aan de volgende eisen voldaan is.
# De ''horizontale'' beweging  van de kogel moet ''[[Eenparige beweging|eenparig]]'' zijn, oftewel de horizontale snelheid <math>v_x</math> moet constant zijn in de tijd.
# De ''verticale'' beweging moet ''[[Versnelling (natuurkunde)|eenparig versneld]]'' of ''[[Vertraging|vertraagd]]''  zijn, oftewel de verticale snelheid <math>v_y</math> moet evenredig met de tijd toe- of afnemen. 
Als de luchtweerstand en de kromming van de Aarde verwaarloosd kunnen worden, wordt aan beide eisen voldaan. De kromming van het [[traject]] van het projectiel wordt in de [[ballistiek]] de [[kogelval]] genoemd.

==Geschiedenis==
De paraboolbaan van kanonskogels werd voor het eerst geopperd door [[Galileo Galilei|Galilei]] in de eerste helft van de [[17e eeuw]]. Hij deed dit na proeven of gedachte-experimenten waarbij kogels van een helling rolden. De paraboolbaan voor kogels werd later wiskundig bewezen door [[Isaac Newton]]. Voorwerpen die afwijken van een ronde kogelvorm, zoals een duiker die van een duikplank springt, kunnen ingewikkelde bewegingen maken tijdens de sprong, maar het [[Zwaartepunt (hoofdbetekenis)|zwaartepunt]] kan vrijwel niet anders dan een paraboolbaan beschrijven.

==Afwijking van de paraboolbaan== 
[[Bestand:Mplwp ballistic trajectories velocities.svg|thumb|[[Traject]]en met [[luchtweerstand]] van een [[projectiel]] met verschillende [[Mondingssnelheid|mondingssnelheden]].]]
De volgende effecten zijn van invloed op de [[uitwendige ballistiek]] van een bal of projectiel:
* Door [[Wind (meteorologie)|wind]] en [[luchtweerstand]] wordt de kogelbaan asymmetrisch en wijkt af van een parabool, zoals de animatie en de afbeelding rechts laten zien.
* Een ronddraaiende kogel of bal kan afwijken van de paraboolbaan vanwege het [[magnuseffect]].
* De [[aardrotatie]] en het [[corioliseffect]] kunnen een afwijking veroorzaken als projectielen over een flinke afstand afgeschoten worden.
* Een eenparige verticale versnelling veronderstelt een uniform [[gravitatie]]veld: voor projectielen die zeer grote afstanden afleggen moet soms rekening gehouden worden met de kromming van het aardoppervlak.
De luchtweerstand is voor [[krombaangeschut]] doorgaans de belangrijkste oorzaak voor afwijkingen van de paraboolbaan. De luchtweerstand <math>F_w</math> wordt voor het grootste deel bepaald door een [[weerstandscoëfficiënt]] <math>C_w</math> en de snelheid <math>v</math> van het projectiel:
:<math>F_w = \tfrac{1}{2}A \cdot C_w \cdot \rho \cdot v^2</math>
waarin <math>A</math> de [[oppervlakte|relatieve oppervlakte]] van het projectiel is en <math>\rho</math> de [[luchtdichtheid]]. [[Weer (meteorologie)|Weersomstandigheden]] als [[luchtdruk]], [[luchtvochtigheid]], regen, [[windkracht]] en windrichting kunnen invloed hebben op de kogelbaan. Bij snelheden hoger dan de [[geluidssnelheid]] verandert de weerstandscoëfficiënt. Als uitdrukkingen voor de luchtweerstand en het magnuseffect worden toegevoegd aan de [[bewegingsvergelijking]]en voor een projectiel dan krijgt men [[Niet-lineair systeem|niet-lineaire]] [[Dynamisch systeem|dynamische systemen]] waarvan de vergelijkingen niet eenvoudig oplosbaar zijn. De invloed van verschillende atmosferische omstandigheden op kogelbanen kan alleen door [[veldonderzoek]] bepaald worden.

Door [[balsport]]ers wordt vaak handig gebruik gemaakt van de effecten die afwijkingen van de paraboolbaan veroorzaken.

Voorbeelden:
* In het oppervlak van [[golfbal]]len zitten putjes, de zogenaamde ''dimples''. De putjes veroorzaken wervelingen die de luchtweerstand en het magnuseffect beïnvloeden.
* Voetballers gebruiken de [[Spin (bal)|spin]] en het magnuseffect om de baan van een [[Voetbal (voorwerp)|voetbal]] in de gewenste richting te sturen.
* De zware [[pijlpunt]]en van de pijlen die met een [[longbow]] werden afgeschoten stabiliseerden de vlucht van een pijl.
* Het corioliseffect heeft invloed op de baan van projectielen die door groot krombaangeschut, zoals [[houwitser]]s en [[Mortier (wapen)|mortieren]], worden afgeschoten.
* Geschut met een groot bereik moet rekening houden met de kromming van het aardoppervlak omdat doelen zich meestal achter de [[Horizon (lijn)|horizon]] bevinden.
* De banen van [[ballistische raket]]ten die een [[suborbitale ruimtevlucht]] maken wijken sterk af van de paraboolbaan maar ze worden amper beïnvloed door atmosferische omstandigheden.

==Formules==
Voor een ''horizontaal'' afgeschoten projectiel waarvoor de luchtweerstand verwaarloosbaar is, wordt het [[traject]] gegeven door:

:<math>S_x(t) = v\cdot t</math>
:<math>S_y(t) = - \tfrac{1}{2} g\cdot t^2</math>

[[Afbeelding:Kogelbaan.jpg|300px|right|Kogelbaan]] 
[[Afbeelding:PzH2000_houwitser.png|thumb|[[Pantserhouwitser]]]]
[[Afbeelding:W2 lepzmrs.jpg|thumb|Grote [[mortier (wapen)|mortier]]]]
[[Afbeelding:305mm howitzer M1915 left side view.JPG|thumb|305mm houwitser]]
Daarin is:
:<math>S_x</math> de horizontaal afgelegde afstand (m);
:<math>S_y</math> de verticaal afgelegde afstand of [[kogelval]] (m); 
:<math>v</math> de [[mondingssnelheid]] (m/s), de kogelsnelheid bij het afschieten;
:<math>t</math> de tijd (s);
:<math>g</math> de [[valversnelling]] (m/s<sup>2</sup>)

Als het projectiel afgeschoten wordt met een [[Elevatie (ballistiek)|elevatie]] α en een mondingssnelheid <math>v</math> dan wordt dit:

:<math>S_x(t) = v\cdot\cos (\alpha) \cdot t</math>
:<math>S_y(t) = v\cdot\sin (\alpha) \cdot t - \tfrac 12 g\cdot t^2</math>

Bij het afschieten van een projectiel kent men de positie van [[Doel (sport)|het doel]] <math>(S_x, S_y)</math> en de mondingssnelheid <math>v</math> zodat de elevaties direct berekend kunnen worden door middel van:
:<math>\alpha_{1,2} = 
\tfrac{1}{2} \arccos\left(
\frac{\left(\frac{gS_x^2}{v^2}\right)S_y \pm \sqrt{ S_x^2S_y^2 + S_x^4 -\left(\frac{gS_x^2}{v^2}\right)^2S_x^2}}{S_x^2+S_y^2}
\right)</math>
:of
:<math>a_{1,2}=
\arctan\left(\frac
{v^2 \plusmn\sqrt{v^4-g(gS_x^2+2 S_y v^2)}}
{gS_x}
\right)</math>

Er zijn, afhankelijk van de waarde van de [[discriminant]], twee, een of geen oplossingen die een waarde voor de elevatie opleveren.

=== Schootsbereik ===
Voor het schootsbereik geldt <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_{max}</math>, dat wil zeggen als voor de discriminant geldt:
:<math>D = S_x^2S_y^2 + S_x^4 -\left(\frac{gS_x^2}{v^2}\right)^2 S_x^2 = 0</math>

zodat:
:<math>\alpha_\text{max} = \tfrac{1}{2} \arccos\left(\frac{gS_x^2 S_y}{v^2 (S_x^2+S_y^2)}\right)</math>

=== Hellend terrein ===
Voor hellend terrein geldt voor de hellingshoek <math>\beta</math>:
:<math>\beta = \arcsin(S_y / S_x)</math>
zodat de discriminant geschreven kan worden als:
:<math>D = \sin^2\beta + 1 - \left(\frac{g}{v^2}\right)^2 S_x^2</math>
en de elevatie als:
:<math>\alpha_{1,2} = \tfrac 12 \arccos\left(\frac{(\frac{g}{v^2})S_x\sin \beta \pm \sqrt{D}}{1+\sin^2\beta}\right)</math>

Het schootsbereik wordt gegeven door:
:<math>S_x = \frac{v^2}{g}\sqrt{\sin^2\beta + 1}</math>
met een elevatie:
:<math>\alpha_{max} = \tfrac{1}{2} \arccos\left(\frac{\sin \beta}{\sqrt{1+\sin^2\beta}}\right)</math>

=== Vlak terrein ===
In vlak terrein geldt <math>S_y=0</math> zodat:

:<math>\alpha_{1,2} = \tfrac{1}{2} \arccos\left(\pm \sqrt{ 1 -\left(\frac{gS_x}{v^2}\right)^2}\right)</math>
Voor het schootsbereik in vlak terrein geldt <math>\alpha_{max}=45^\circ</math> en <math>S_x=v^2/g</math>.

== Zie ook ==
* [[Baan (hemellichaam)]]
* [[Eenparig versnelde beweging]]
* [[Kogelval]]
* [[Paraboolvlucht]]
* [[Traject]]
* [[Vergelijkingen voor een vallend voorwerp]]

[[Categorie:Ballistiek]]
[[Categorie:Aerodynamica]]
[[Categorie:Mechanica]]