Brontekst bekijken van Kegel (categorietheorie)

In de [[Categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]], een abstract deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''kegel van een functor''' een abstracte notie die wordt gebruikt om de [[Limiet (categorietheorie)|limiet]] van deze [[functor]] te definiëren. Kegels komen ook op andere plaatsen binnen de categorietheorie voor.

== Definitie ==
Laat <math>F : J \rightarrow C</math> een [[Diagram (categorietheorie)|diagram]] in <math>C</math> zijn. Formeel is een diagram niets meer dan een [[functor]] van <math>J</math> naar <math>C</math>. De verandering in terminologie geeft het feit weer dat wij over <math>F</math> denken als alsof <math>F</math> een familie van objecten en [[morfisme]]n in <math>C</math> indexeert. De [[Categorie (wiskunde)|categorie]] <math>J</math> wordt als een indexcategorie gezien. Het is zoiets als een [[geïndexeerde familie]] van objecten in de [[verzamelingenleer]]. Het verschil is dat hier ook [[morfisme]]n zijn gedefinieerd.

Laat <math>N</math> een object van <math>C</math> zijn. Een kegel van <math>N</math> naar <math>F</math> is een familie van morfismen
: <math>\psi_X\colon N \to F(X)</math>
voor elk object <math>X</math> van <math>J</math>, zodat voor elk morfisme <math>f : X \rightarrow Y</math> in <math>J</math> het onderstaande [[Commutatief diagram|diagram commutatief]] is:

[[Afbeelding:Functor cone.svg|175px|center|Deel van een kegel van N naar F]]

De meestal [[Oneindige verzameling|oneindige]] [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van al deze driehoeken kan, gedeeltelijk, worden afgebeeld in de vorm van een [[Kegel (ruimtelijke figuur)|kegel]] met top <math>N</math>. Van deze kegel <math>\psi</math> zegt men soms dat deze vertex <math>N</math> en basis <math>F</math> heeft.

Men kan de [[Duale (categorietheorie)|duale]] notie van een kegel van <math>F</math> naar <math>N</math> ook definiëren door alle bovenstaande pijlen in richting om te draaien. Deze duale wordt ook wel een cokegel genoemd. Een kegel van <math>F</math> naar <math>N</math> is een familie van morfismen
: <math>\psi_X \colon F(X) \to N</math>
voor elk object <math>X</math> van <math>J</math>, zodat voor elk morfisme <math>f : X \rightarrow Y</math> in <math>J</math> het onderstaande [[Commutatief diagram|diagram commutatief]] is:

[[Afbeelding:Functor co-cone.svg|175px|center|Deel van een kegel van F naar N]]

[[Categorie:Categorietheorie]]