Brontekst bekijken van Kansgenererende functie

In de [[kansrekening]] is de '''kansgenererende functie''' van een [[discrete stochastische variabele]] met [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] als waarden, een [[machtreeks]] met de verschillende [[Kans (kansrekening)|kansen]] als [[coëfficiënt]]en. De kansgenerende functie is onder andere nuttig voor het berekenen van de [[Verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]] en de [[variantie]] van een stochastische variabele.

== Definitie ==
Als <math>N</math> een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van <math>N</math> gedefinieerd als:

: <math>G_N(z) = \operatorname{E}(z^N) = \sum_{n=0}^\infty P(N=n)z^n</math>

== Eigenschappen ==
=== Genereren van kansen ===
Deze functie genereert inderdaad de kansen:

: <math>P(N=n) = \frac{G_N^{(n)}(0)}{n!}</math>

=== Verwachtingswaarde en variantie ===
Als <math>E(N) < \infty</math>, is:
: <math>E(N) = \lim_{z\uparrow 1} G_N'(z)</math>

en
: <math>\operatorname{var}(N) = E(N^2) - E(N)^2 = \lim_{z\uparrow 1}\big (G_N''(z) + G_N'(z) - G_N'(z)^2\big )</math>

=== Gelijke verdeling ===
Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen is verbonden, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

=== Momentgenererende functie ===
Tussen de kansgenererende functie en de [[momentgenererende functie]] bestaat de volgende relatie:

: <math>G_N(e^t) = M_N(t)</math>

=== Som van twee stochastische variabelen ===
De kansgenererende functie van de som <math>X + Y</math> van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

: <math>G_{X+Y}(z) = \operatorname{E}(z^{X+Y}) = \operatorname{E}(z^X)\operatorname{E}(z^Y)=G_X(z) G_Y(z)</math>

== Voorbeelden ==
=== Ontaarde verdeling ===
De kansgenererende functie van een in het punt <math>k</math> [[gedegenereerde verdeling]], waarvoor dus <math>P(N = k) = 1</math>, is

: <math>G(x) = z^k</math>

=== Bernoulli-verdeling===
De kansgenererende functie van de [[bernoulli-verdeling]] met parameter <math>p</math>,  is

: <math>G(z) = (1-p) + pz</math>

=== Binomiale verdeling===
De kansgenererende functie van de [[binomiale verdeling]] met parameters <math>n</math> en <math>p</math>, is

: <math>G(z) = \left((1-p) + pz\right)^n</math>

Merk op dat dit de <math>n</math>-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

=== Geometrische verdeling ===
De kansgenererende functie van de [[geometrische verdeling]] met parameter <math>p</math>,  is

: <math>G(z) = \frac{pz}{1-(1-p)z}</math>

=== Negatief-binomiale verdeling ===
De kansgenererende functie van de [[negatief-binomiale verdeling]] met parameters <math>m</math> en <math>p</math>,  is

: <math>G(z) = \left(\frac{pz}{1-(1-p)z}\right)^m</math>

Merk op dat dit de <math>m</math>-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen. 

=== Poisson-verdeling ===
De kansgenererende functie van de [[poissonverdeling]] met parameter <math>\mu</math>, is

: <math>G(z) = e^{\mu(z - 1)}</math>

[[Categorie:Kansrekening]]