Brontekst bekijken van Inkomtijd

In de [[kansrekening]] is de '''inkomtijd''' van een [[stochastisch proces]] het toevallige tijdstip dat aangeeft vanaf wanneer het proces waarden aanneemt in een gegeven verzameling.
Onder bepaalde voorwaarden zijn inkomtijden belangrijke voorbeelden van [[stoptijd]]en.

==Motiverend voorbeeld==
Zij <math>\{X_n|n = 0,1,\ldots\}</math> een stochastisch proces met discrete tijdstippen (hier geïndexeerd met de natuurlijke getallen) dat waarden aanneemt in de reële getallen.

Definieer de [[stochastische variabele]] ''N''<sub>0</sub> als het eerste tijdstip waarop het proces de waarde 0 aanneemt:

:<math>N_0=\min\{n\in N|X_n=0\}</math>

Dan noemt men ''N''<sub>0</sub> de inkomtijd van het proces in het [[Singleton (wiskunde)|singleton]] <math>\{0\}.</math>

==Formele definitie==

Zij
:<math>\left((\Omega,\mathcal{A},P),(\mathcal{A}_t|t\geq0),(X_t|t\geq0),(E,\mathcal{E})\right)</math>
een stochastisch proces met waarden in een [[Poolse ruimte]] ''E.''
Zij ''A'' een willekeurige deelverzameling van ''E.''

De ''(eerste) inkomtijd'' van het proces in de verzameling ''A'' wordt gedefinieerd door
:<math>T_A^0=\inf\{t\geq 0|X_t\in A\}</math>

Hiermee nauw verwant is het begrip 'hitting time' (aanslagtijd):
:<math>T_A=\inf\{t>0|X_t\in A\}</math>

Hierbij wordt afgesproken dat het [[infimum]] van een lege verzameling niet-negatieve getallen gelijk is aan <math>+\infty.</math>

==Eigenschappen==

Als ''A'' een [[Maattheorie|meetbare verzameling]] is van de [[Borelstam]] <math>\mathcal{E},</math> dan zijn ''T<sub>A</sub><sup>0</sup>'' en ''T<sub>A</sub>''
[[stochastische veranderlijke]]n ten opzichte van <math>(\mathcal{A}_t|t\geq0).</math>

Als ''A'' een [[open verzameling|open deelverzameling]] is van ''E'', en de paden <math>t\mapsto X_t</math> van het proces zijn [[rechtscontinu]],
dan zijn ''T<sub>A</sub><sup>0</sup>'' en ''T<sub>A</sub>'' gelijk, en deze veranderlijke
vormt een [[stoptijd]] ten opzichte van <math>(\mathcal{A}_t|t\geq0).</math><ref name="Bauer">Bauer, Heinz, "Probability Theory," de Gruyter Studies in Mathematics '''23''', Walter de Gruyter 1996</ref>

==Bron==
<references/>

[[Categorie:Kansrekening]]