Brontekst bekijken van Inbedding

In een aantal deelgebieden van de [[wiskunde]], zoals de [[abstracte algebra]], de [[topologie]] en de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]], verstaat men onder een '''inbedding''' van een  [[wiskundig object]] in een ander object, de opvatting van dat object als deel van het omvattende object. Een voorbeeld in de [[meetkunde]] is een [[cirkel]] als deel van de ruimte, of in de [[abstracte algebra]] een [[Ondergroep (wiskunde)|ondergroep]], die deel uitmaakt van een [[groep (wiskunde)|groep]]. 

==Definitie==
De ''inbedding'' van een wiskundig object <math>X</math> in een (ander) object <math>Y</math> wordt gegeven door een [[Injectie (wiskunde)|injectieve]] en structuur-bewarende afbeelding <math>f:X\to Y</math>. De precieze betekenis van "structuur-bewarend" hangt af van de soort [[wiskundige structuur]] die de objecten <math>X</math> en <math>Y</math> bezitten. In de terminologie van de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]] bijvoorbeeld wordt een structuur-bewarende afbeelding een [[morfisme]] genoemd. 

==Notatie==
Een inbedding wordt vaak aangeduid door het gebruik van een "gehaakte pijl": <math>f:X \hookrightarrow Y.</math>

==Gebruik==
Voor gegeven objecten <math>X</math> en <math>Y</math> zijn er verschillende inbeddingen van <math>X</math> in <math>Y</math> mogelijk. In veel interessante gevallen is er sprake van een standaard (of "kanonieke") inbedding, zoals die van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]]len in de [[geheel getal|gehele getal]]len, de gehele getallen in de [[rationaal getal|rationale getal]]len, de rationale getallen in de [[reëel getal|reële getal]]len en de reële getallen in de [[complex getal|complexe getal]]len. In dergelijke gevallen is het gebruikelijk het [[domein (wiskunde)|domein]] <math>X</math> te identificeren met haar [[beeld (wiskunde)|beeld]] <math>f(X)</math> als deel van <math>Y</math>, zodat vervolgens gezegd kan worden dat <math>X\subseteq Y.</math>

== Topologie en meetkunde ==
''Hoofdartikel over dit onderwerp: [[Topologische inbedding]]''

In de [[topologie|algemene topologie]] is een inbedding een [[homomorfisme]] op zijn [[Beeld (wiskunde)|beeld]]. Meer specifiek is een [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] <math>f:X\to Y</math> tussen de [[topologische ruimte]]n <math>X</math> en <math>Y</math> een inbedding als <math>f</math> een [[homeomorfisme]] tussen <math>X</math> en <math>f(X)</math> oplevert (waar <math>f(X)</math> voorzien is van de [[deelruimtetopologie]], die overgeërfd wordt van <math>Y</math>). Intuïtief gesproken maakt de inbedding <math>f(X)</math> het mogelijk <math>X</math> te behandelen als een [[deelruimtetopologie|topologische deelruimte]] van <math>Y</math>. Elke inbedding is [[Injectie (wiskunde)|injectief]] en [[continue functie (topologie)|continu]]. Van iedere afbeelding die injectief, continu en hetzij [[open afbeelding|open]] of [[gesloten afbeelding|gesloten]] is, zegt men dat het een inbedding is. Er zijn echter ook inbeddingen die noch open noch gesloten zijn. Van dit laatste is sprake als de afbeelding <math>f(X)</math> noch een [[open verzameling|open-]], noch een [[gesloten verzameling]] in <math>Y</math> is.

[[Categorie:Categorietheorie]]
[[Categorie:Differentiaalmeetkunde]]
[[Categorie:Differentiaaltopologie]]