Brontekst bekijken van Identiteit van Vandermonde

De '''identiteit van Vandermonde''', ook '''[[convolutie]] van Vandermonde''' geheten, is een [[identiteit (wiskunde)|identiteit]] uit de [[combinatoriek]], die een betrekking tussen [[binomiaalcoëfficiënt]]en geeft:

:<math>{n+m \choose r}=\sum_{k=0}^r{n \choose k}{m \choose r-k}</math>.

De identiteit is vernoemd naar de Franse wiskundige [[Alexandre-Théophile Vandermonde]], maar werd al in 1303 vermeld door de [[China|Chinese]] [[wiskundige]] Zhu Shijie (Chu Shi-Chieh).

==Bewijs==
De identiteit van Vandermonde kan bewezen worden op meerdere manieren. 

===Combinatorisch bewijs===
Het aantal mogelijkheden om <math>r</math> elementen te kiezen uit een verzameling van <math>n</math> elementen van de ene soort en <math>m</math> elementen van een andere soort, is

:<math>n + m \choose r</math>.

Deze mogelijkheden kunnen ook gerealiseerd worden door eerst <math>k</math> elementen te kiezen uit de eerste soort, wat kan op  

:<math>n \choose k</math>

verschillende manieren, en vervolgens <math>r-k</math> uit de andere soort, wat kan op 

:<math>m \choose {r - k}</math>

verschillende manieren. Dat betekent 

:<math>{n \choose k}{m \choose {r - k}}</math> 

mogelijkheden met <math>k</math> elementen van de eerste soort. Sommeren over <math>k</math> levert alle mogelijkheden, wat de identiteit van Vandermonde oplevert.

===Algebraïsch bewijs===
Er is een sterke relatie tussen combinatoriek en het [[binomium van Newton]]. Daarom is er ook een overeenkomstig algebraïsch bewijs. Enerzijds geldt:

:<math>(1+x)^{n+m} = \sum_{r=0}^{n+m} {n+m \choose r}x^r</math>

en anderzijds:

:<math>(1+x)^{n+m} = (1+x)^n (1+x)^m = \left(\sum_{i=0}^n {n\choose i}x^i\right)\left( \sum_{j=0}^m {m\choose j}x^j\right)= \sum_{r=0}^{n+m} \sum_{i+j=r}{n\choose i}{m\choose j}x^{i+j}</math>.

Gelijkstellen van de coëfficiënten van <math>x^r</math> levert de identiteit van Vandermonde.

[[Categorie:Wiskundige identiteit|Vandermonde]]
[[Categorie:Combinatoriek]]