Brontekst bekijken van Hermite-polynoom

[[Afbeelding:Hermite poly.svg|thumb|350px|De eerste zes hermite-polynomen]]
In de [[wiskunde]] zijn de '''hermite-polynomen''', genoemd naar [[Charles Hermite]], de [[polynoom|polynomen]] die de oplossing vormen van de [[differentiaalvergelijking]] van Hermite.

== Differentiaalvergelijking ==
De differentiaalvergelijking van Hermite is:
:<math>H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0</math>.

Daarin is <math>n</math> de orde van de vergelijking, een [[natuurlijk getal]].

Deze differentiaalvergelijking vindt toepassing in de [[kansrekening]].

Er is ook een alternatieve vorm, die meer gebruikelijk is in de [[natuurkunde]]. Deze vorm zal hieronder apart worden besproken.

De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}e^{-x^2/2}</math>

De hermite-polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de [[Laguerre-polynoom|laguerre-polynomen]].

=== Recursie ===
De hermite-polynomen staan in de volgende [[recursie]]ve relatie:
:<math>H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)</math>,

Zij voldoen ook aan:
:<math>H_n'(x)=nH_{n-1}(x)</math>,

=== Orthogonaliteit ===
De hermite-polynomen vormen een [[orthogonaal]] stelsel met betrekking tot het [[inproduct]]:
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,{\rm d}x</math>,

dus met [[gewichtsfunctie]]:
:<math>e^{-x^2/2}</math>,

op een factor na de [[kansdichtheid]] van de [[standaardnormale verdeling]].

Er geldt:
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,{\rm d}x=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}</math>

waarin <math>\delta_{nm}</math> de [[kronecker-delta]] is, dus gelijk aan 1 als <math>n=m</math> en anders 0.

== Alternatieve vorm ==
De alternatieve vorm van de [[differentiaalvergelijking]] van Hermite is:
:<math>H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0</math>.

De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}e^{-x^2}</math>

Deze tweede definitie is niet geheel [[equivalent (taalkundig)|equivalent]] met de eerste.

De eerste 6 hermite-polynomen zijn:
:<math>H_0(x)=1</math>
:<math>H_1(x)=2x</math>
:<math>H_2(x)=4x^2-2</math>
:<math>H_3(x)=8x^3-12x</math>
:<math>H_4(x)=16x^4-48x^2+12</math>
:<math>H_5(x)=32x^5-160x^3+120x</math>

=== Recursie ===
De hermite-polynomen staan in de volgende [[recursie]]ve relatie:
:<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).</math>

Zij voldoen ook aan:
:<math>H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),</math>

=== Orthogonaliteit ===
De hermite-polynomen vormen een [[orthogonaal]] stelsel met betrekking tot het [[inproduct]]:
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2}\,{\rm d}x</math>,

dus met [[gewichtsfunctie]]:
:<math>e^{-x^2}</math>.

Er geldt:
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,{\rm d}x={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{nm}</math>

[[Categorie:Veelterm]]
[[Categorie:Wiskundige functie]]