Brontekst bekijken van Hele-Shaw stroming

'''Hele-Shaw stroming''' is de stroming die plaatsvindt tussen twee evenwijdige vlakke platen, gescheiden door een smalle opening die aan bepaalde voorwaarden voldoet, genoemd naar [[Henry Selby Hele-Shaw]], die hier in 1898 onderzoek naar deed.<ref>{{Citeer boek |titel=Investigation of the nature of surface resistance of water and of stream-line motion under certain experimental conditions |achternaam=Shaw |voornaam=Henry S. H. |taal=en |datum=1898}}</ref><ref>{{Citeer journal |achternaam=Hele-Shaw |voornaam=H. S. |titel=The Flow of Water |journal=Nature |datum=1 May 1898 |volume=58 |issue=1489 |pagina's=34–36 |doi=10.1038/058034a0 |taal=en}}</ref> Verschillende problemen in de vloeistofmechanica kunnen worden benaderd als Hele-Shaw stromingen en daarom is het onderzoek naar deze stromingen van belang. Benadering van de Hele-Shaw stroming is vooral belangrijk voor microstroming. Dit komt door productietechnieken, die ondiepe vlakke configuraties creëren, en de doorgaans lage [[Reynoldsgetal|Reynoldsgetallen]] van microstromen.

De voorwaarden waaraan moet worden voldaan zijn

<math>\frac{h}{l} \ll 1, \qquad \frac{Uh}{\nu} \frac{h}{l} \ll 1</math>

Hierin is <math>h</math> de spleetbreedte tussen de platen, <math>U</math> is de karakteristieke snelheidsschaal, <math>l</math> is de karakteristieke lengteschaal in richtingen evenwijdig aan de plaat en <math>\nu</math> is de [[Viscositeit|kinematische viscositeit]]. In het bijzonder het [[Reynoldsgetal]] <math>Re=Uh/\nu</math> hoeft niet altijd klein te zijn, maar kan van dezelfde orde of groter zijn, zolang het maar voldoet aan de voorwaarde <math>Re(h/l) \ll 1.</math> In termen van het Reynoldsgetal <math>Re_l = Ul/\nu</math> gebaseerd op <math>l</math>, wordt de voorwaarde<math>Re_l (h/l)^2 \ll 1.</math>

De vergelijking van Hele-Shaw stroming is identiek aan die van niet-viskeuze [[potentiaalstroming]]  en aan de stroming van vloeistof door een poreus medium ([[Wet van Darcy|de wet van Darcy]]). Het maakt dus visualisatie van dit soort stroming in twee dimensies mogelijk. <ref>Hermann Schlichting,''Boundary Layer Theory'', 7th ed. New York: McGraw-Hill, 1979.</ref><ref>L. M. Milne-Thomson (1996). ''Theoretical Hydrodynamics''. Dover Publications, Inc.</ref><ref>Horace Lamb, Hydrodynamics (p582) (1934).</ref>

== Wiskundige formulering van Hele-Shaw-stromen ==
[[Bestand:Hele_Shaw_Geometry.jpg|miniatuur|Een schematische weergave van een Hele-Shaw-configuratie.]]
Als <math>x</math>, <math>y</math> de richtingen evenwijdig aan de vlakke platen zijn, en <math>z</math> de  richting loodrecht daarop, met <math>h</math> als de tussenruimte tussen de platen (bij <math>z=0, h</math> ) en <math>l</math> de relevante karakteristieke lengteschaal in de  <math>xy</math> -richting, dan geldt onder de hierboven genoemde grenzen  de onsamendrukbare [[Navier-Stokesvergelijkingen|Navier-Stokes-vergelijkingen]] in de eerste benadering<ref>Acheson, D. J. (1991). Elementary fluid dynamics</ref>

<math>\begin{align}
\frac{\partial p}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 v_x}{\partial z^2}, \quad \frac{\partial p}{\partial y} &= \mu \frac{\partial^2 v_y}{\partial z^2}, \quad\frac{\partial p}{\partial z} = 0,\\
\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} &= 0,\\
\end{align}
</math>

Hierin is <math>\mu</math> de [[viscositeit]] . Deze vergelijkingen zijn vergelijkbaar met [[Grenslaag|grenslaagvergelijkingen]], behalve dat er geen niet-lineaire termen zijn. In de eerste benadering hebben we dan, na het opleggen van de no-slip randvoorwaarden bij <math>z=0,h</math>:

<math>\begin{align} p &= p(x,y), \\
v_x &=-\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x} z(h-z),\\
v_y &=-\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial y} z(h-z)
\end{align}</math>

De vergelijking voor <math>p</math> wordt verkregen uit de continuïteitsvergelijking. Door de continuïteitsvergelijking dwars over de stroombaan te integreren en randvoorwaarden voor ondoorlatende wanden op te leggen, krijgt men

<math>\int_0^h\left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}\right)dz=0,</math>

wat leidt tot de [[Laplace-vergelijking]]:

<math> \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}=0.</math>

Deze vergelijking wordt aangevuld met passende randvoorwaarden. De randvoorwaarden voor ondoorlatende zijwanden worden bijvoorbeeld: <math> {\mathbf \nabla} p \cdot \mathbf n= 0,</math> waar <math>\mathbf n</math> een eenheidsvector loodrecht op de zijwand is (merk op dat op de zijwanden geen no-slip randvoorwaarden kunnen worden opgelegd). De grenzen kunnen ook gebieden zijn die aan constante druk zijn blootgesteld, in welk geval er sprake is van een [[Principe van Dirichlet|Dirichlet-randvoorwaarde]] <math>p</math> is gepast. Op soortgelijke wijze kunnen ook periodieke randvoorwaarden worden gebruikt. Er kan ook worden opgemerkt dat de verticale snelheidscomponent in de eerste benadering gelijk is aan

<math>v_z=0</math>

Dit volgt uit de continuïteitsvergelijking. Terwijl de snelheidsgrootte <math>\sqrt{v_x^2+v_y^2}</math> varieert in de <math>z</math> richting is de richting van de snelheidsvector <math>\tan^{-1}(v_y/v_x)</math> onafhankelijk van de <math>z</math> richting, dat wil zeggen dat stroomlijnpatronen op elk niveau vergelijkbaar zijn. De vorticiteitsvector <math>\boldsymbol\omega</math> heeft de componenten <ref name="acheson">Acheson, D. J. (1991). Elementary fluid dynamics.</ref>

<math>\omega_x = \frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial y}(h-2z), \quad \omega_y = -\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}(h-2z), \quad \omega_z=0.</math>

Omdat <math>\omega_z=0</math>, komen de stroomlijnpatronen in het <math>xy</math> -vlak dus overeen met [[potentiaalstroming]] (rotatievrije stroming). Maar tegenstelling tot  potentiaalstroming is hier de circulatie <math>\Gamma</math> rond elke gesloten contour <math>C</math> (parallel aan het <math>xy</math> -vlak) nul, ongeacht of het een vast object omsluit of niet.

<math> \Gamma = \oint_C v_xdx+v_ydy = -\frac{1}{2\mu} z(h-z) \oint_C \left(\frac{\partial p}{\partial x}dx + \frac{\partial p}{\partial y} dy\right) =0</math>

waarbij de laatste integraal op nul wordt gezet omdat <math>p</math> is een functie met één waarde en de integratie vindt plaats via een gesloten contour.

== Dieptegemiddelde vorm ==
In een Hele-Shaw-stroombaan kan men bijvoorbeeld de dieptegemiddelde versie van elke fysieke grootheid (bijvoorbeeld <math>\varphi</math>)definiëren  door

<math>\langle\varphi\rangle \equiv \frac{1}{h}\int_0^h \varphi dz.</math>

Dan voldoet de tweedimensionale dieptegemiddelde snelheidsvector <math>\mathbf u \equiv \langle \mathbf v_{xy} \rangle</math>, waarbij  <math>\mathbf v_{xy}=(v_x,v_y)</math>, aan de [[wet van Darcy]]

<math>-\frac{12\mu}{h^2}\mathbf u = \nabla p \quad \text{with} \quad \nabla\cdot\mathbf u=0.</math>

Verder geldt <math>\langle\boldsymbol\omega\rangle =0.</math>

== Hele-Shaw-cel ==
De term Hele-Shaw-cel wordt gebruikt voor die gevallen waarin een vloeistof van boven of onder de laag in de ondiepe geometrie wordt geïnjecteerd, en wanneer de vloeistof wordt begrensd door een andere vloeistof of gas. <ref>{{Citeer journal |achternaam=Saffman |voornaam=P. G. |titel=Viscous fingering in Hele-Shaw cells |url=https://authors.library.caltech.edu/10133/1/SAFjfm86.pdf |journal=Journal of Fluid Mechanics |datum=21 April 2006 |volume=173 |pagina's=73–94 |doi=10.1017/s0022112086001088}}</ref> Voor dit soort stromen worden de randvoorwaarden bepaald door drukken en oppervlaktespanningen.

In Nederland is hier veel werk aan gedaan door [[Emmericus Carel Willem Adriaan Geuze]], die deze techniek gebruikte om, voortbouwend op een concept van [[Albert Sybrandus Keverling Buisman|Keverling Buisman]], een model te maken voor de [[grondwaterstroming]] door dijken
{{Appendix|Referenties|* {{Bronvermelding anderstalige Wikipedia|taal=en|titel=Hele-Shaw flow|oldid=1221019911|datum=20240103}}
{{References}}}}

[[Categorie:Vloeistofdynamica]]