Brontekst bekijken van Hasse-Weil-zèta-functie

In de [[algebraïsche getaltheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''Hasse-Weil-zèta-functie''' verbonden aan een [[algebraïsche variëteit]] <math>V</math>,  gedefinieerd over een [[algebraïsch getallenlichaam]] <math>K</math>, een van de twee belangrijkste typen van [[L-functie]]s, Zulke <math>L</math>-functies worden in die zin 'globaal' genoemd, dat zij worden gedefinieerd als [[Euler-product]]en in termen van [[lokale zèta-functie]]s. Zij vormen een van de twee belangrijkste klassen van globale <math>L</math>-functies. De andere klasse zijn de <math>L</math>-functies die met [[Automorfe vorm|automorfe representaties]] worden geassocieerd.

Men [[Vermoeden|vermoedt]] dat er in essentie slechts een type globale <math>L</math>-functie bestaat, met twee beschrijvingen. Een komt er van een algebraïsche variëteit en de andere van een automorfe representatie. [[Wiskundig bewijs|Bewijs]] van dit vermoeden zou een algemene vorm van de [[stelling van Shimura-Taniyama]], de modulariteitsstelling betekenen, zelf een recent resultaat uit de [[getaltheorie]].

De beschrijving van de Hasse-Weil-zètafunctie op een eindig aantal factoren na van de euler-product ervan is relatief eenvoudig. Die volgt de eerste suggesties van [[Helmut Hasse]] en [[André Weil]], is op het geval gemotiveerd waarin de algebraïsche variëteit <math>V</math> een enkel [[Punt (wiskunde)|punt]] is en waarvan de [[Riemann-zèta-functie]] het resultaat is.

In het geval dat <math>K</math> het [[Rationaal getal|rationale getallenlichaam]] <math>\Q</math> en <math>V</math> een niet-singuliere [[Algebraïsche variëteit|projectieve variëteit]] is, kunnen wij voor bijna alle [[priemgetal]]len <math>p</math> de reductie van <math>V</math> modulo <math>p</math>, een algebraïsche variëteit <math>V_p</math> over het [[Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)|eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be)]] <math>F(p)</math> met <math>p</math> elementen, in beschouwing nemen, door de vergelijkingen voor <math>V</math> te reduceren. Voor bijna alle <math>p</math> zal dit niet-singulier zijn. Wij definiëren
: <math>Z_{V,Q}(s)</math>

als de [[dirichletreeks]] van de complexe variabele<math>s</math>, wat het [[Oneindig product|oneindige product]] van de [[lokale zèta-functie]]s is. 
: <math>\zeta_{V,p}\left(p^{-s}\right)</math>

Dan is volgens onze definitie <math>Z(s)</math> slechts "up to" vermenigvuldiging door [[rationale functie]]s op een eindig aantal manieren <math>p^{-s}</math> [[Welgedefinieerdheid|welgedefinieerd]].

Aangezien de onbepaaldheid relatief onschuldig is en overal een [[Analytische voortzetting|meromorfe voortzetting]] heeft, is er een zin waarin de eigenschappen van <math>Z(s)</math> er niet wezenlijk van afhankelijk zijn. Hoewel de precieze vorm van de [[functionaalvergelijking (L-functie)|functionaalvergelijking]] voor <math>Z(s)</math>, die zich weerspiegelt in een verticale lijn in het complexe vlak, zeker zal afhangen van de 'ontbrekende' factoren, doet het bestaan van een dergelijke functionaalvergelijking dit niet.

Een meer verfijnde definitie werd mogelijk als gevolg van de ontwikkeling van de [[étale cohomologie]]. Dit beschrijft duidelijk wat er met de ontbrekende, 'slechte reductie'-factoren moet gebeuren. Volgens de algemene beginselen zichtbaar in de vertakkingstheorie, geven 'slechte' priemgetallen goede informatie, dat is theorie van de conductor. Dit manifesteert zich in de étale-theorie in het citerium van Ogg-Néron-Shafarevich voor een 'goede reductie', namelijk dat er in een bepaalde zin voor alle priemgetallen <math>p</math> waarvoor de galois-representatie <math>\rho</math> op de étale cohomologiegroepen van <math>V</math> onvertakt is, een goede reductie bestaat. Daar kan de definitie van lokale zèta-functie in termen van het [[Karakteristiek polynoom|karakteristieke polynoom]] voor worden opgesteld van
: <math>\rho(\operatorname{Frob}(p))</math>,

waarin <math>\operatorname{Frob}(p)</math> een [[Frobenius-endomorfisme|Frobenius-element]] voor <math>p</math> is. Wat er gebeurt op de vertakte <math>p</math> is dat <math>\rho</math> niet-triviaal is op de inertiegroep <math>I(p)</math> voor <math>p</math>. Op die [[priemgetal]]len moet de definitie worden 'gecorrigeerd', door het nemen van de grootste quotiënt van de representatie <math>\rho</math> waarop de inertiegroep werkt door de triviale representatie. Met deze verfijning kan de definitie van <math>Z(s)</math> succesvol worden opgewaardeerd van 'vrijwel alle' <math>p</math> tot alle <math>p</math> die deelnemen aan het Euler-product. De gevolgen voor de functionaalvergelijking werden in de late jaren zestig van de twintigste eeuw door [[Jean-Pierre Serre|Serre]] en [[Pierre Deligne|Deligne]] uitgewerkt. De functionaalvergelijking is zelf niet voor het algemene geval bewezen.

== Voorbeeld: elliptische kromme over de rationale getallen ==
Laat <math>E</math> een [[elliptische kromme]] over <math>\Q</math> van conductor <math>N</math> zijn. Dan heeft <math>E</math> een goede reductie op alle priemgetallen <math>p</math> die niet delen op <math>N</math>, het heeft multiplicatieve reductie op de priemgetallen <math>p</math> die <math>N</math> exact delen, dat wil zeggen dat <math>p</math> deelt op <math>N</math>, maar <math>p^2</math> dit niet doet, dit wordt geschreven als <math>p\|N</math>, en het heeft elders additieve reductie, dat wil zeggen dat de priemgetallen waar <math>p^2</math> delen op <math>N</math>. De Hasse-Weil-zètafunctie van <math>E</math> krijgt dan de vorm
: <math>Z_{E,Q}(s) = \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{L(s,E)}</math>

Hier is <math>\zeta(s)</math> de gebruikelijke [[Riemann-zèta-functie]] en wordt <math>L(s,E)</math> de <math>L</math>-functie van  <math>E/\Q</math> genoemd. <math>L</math> krijgt de vorm<ref>{{aut|JH Silverman}}. The arithmetic of elliptic curves, 1992. 106, C.16 ISBN 978-0-387-96203-0</ref>
: <math>L(s,E) = \prod_pL_p(s,E)^{-1}</math>

waar voor een gegeven priemgetal <math>p</math>,
: <math>L_p(s,E) =
\begin{cases}
  (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \text{als }p\nmid N \\
  (1-a_pp^{-s}),          & \text{als }p\|N \\
  1,                      & \text{als }p^2|N
\end{cases}</math>

waar, in het geval van een goede reductie <math>a_p</math> is {{nowrap|(<math>p+1-</math> aantal punten van <math>E \text{ mod } p</math>)}}, en in het geval van multiplicatieve reductie <math>a_p</math> is ± 1, afhankelijk van de vraag of <math>E</math> een gesplitste of niet-gesplitste multiplicatieve reductie op <math>p</math> heeft.

== Vermoedens van Hasse-Weil ==
De Hasse-Weil-zèta-functie is volgens het vermoeden van Hasse-Weil een [[meromorfe functie]] voor alle [[Complex getal|complexe getallen]] <math>s</math> en voldoet aan een [[functionaalvergelijking]] die met die van de [[Riemann-zèta-functie]] kan worden vergeleken. Voor [[elliptische kromme]]n over de [[Rationaal getal|rationale getallen]] volgt het vermoeden van Hasse-Weil uit de [[stelling van Shimura-Taniyama]], de modulariteitsstelling.

{{Appendix||2=
; voetnoten
{{References}}
; literatuur
* {{aut|[[Jean-Pierre Serre|J-P Serre]]}}. Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures), 1969/1970. Sém. Delange–Pisot–Poitou, exposé 19
; bronvermelding
* {{Bronvermelding anderstalige Wikipedia|taal=en|titel=Hasse–Weil zeta function|datum=20141207}}
}}

[[Categorie:Algebraïsche meetkunde|Hasse-Weil-zeta-functie]]