Brontekst bekijken van Geschiedenis van de wiskunde

{{Zijbalk wetenschapsgeschiedenis}}

De '''geschiedenis van de wiskunde''' bestudeert en beschrijft de oorsprong van ontdekkingen in de [[wiskunde]] en de ontwikkeling van [[Wetenschappelijke methode|methode]]n en [[notatie]]s. De wiskunde is een [[formele wetenschap]] waarvan de gebruikelijke definitie is: het bestuderen van [[Patroon (vorm)|patronen]] en [[Structuur|structuren]] in getallen, ruimte en vorm.

De wiskunde heeft een [[geschiedenis]] die teruggaat tot in de [[prehistorie]]. [[Kerfstok]]ken uit de prehistorie wijzen erop dat men toen al [[Tellen|telde]].<ref>[https://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/stru008gesc01_01_0003.htm {{aut|D.J. Struik}} - ''De geschiedenis van de wiskunde'', 1988, pp. 15-16]</ref> Dit is de oorsprong van het begrip van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]. De [[Babylonië]]rs waren het eerste volk dat zich met wiskunde bezighield door praktische problemen op te lossen in de landbouw, handel, sterrenkunde en scheepvaart. Zij kenden reeds een soort [[stelling van Pythagoras]]<ref>{{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics'', december 2000, publicatie van de ''University of St Andrews'' (Schotland)]</ref> en waren in staat om [[vierkantsvergelijking]]en op te lossen.<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_mathematics.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''An overview of Babylonian mathematics'', december 2000, publicatie van de ''University of St Andrews'' (Schotland)]</ref>

In de loop van de geschiedenis hebben verschillende culturen en volkeren overeenkomstige ontdekkingen gedaan: de bepaling van [[Pi (wiskunde)|pi]], de [[Wortel 2|wortel van 2]], [[goniometrische functie]]s en allerlei [[Oplossen van vergelijkingen|oplossingsmethoden voor wiskundige vergelijkingen]].

== Wiskunde in de prehistorie ==
De mens moet begrip hebben gehad, hoe vaag dan ook, van aantal, [[Oppervlakte|afmeting]] en [[vorm (fysiek)|vorm]]. [[Paleontologie|Paleontologen]] hebben in een [[grot]] in [[Zuid-Afrika]] ruim 70.000 jaar oude [[gele oker|okerstenen]] gevonden met [[Meetkunde|meetkundige]] figuren.<ref>{{en}}[http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html {{aut|Sean Henahan}} - ''Art Prehistory'', The National Health Museum, 2006]. [https://web.archive.org/web/20211030000357/http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html Gearchiveerd] op 30 oktober 2021.</ref> Ook vondsten van [[Artefact (archeologie)|artefacten]] in [[Afrika]] en [[Frankrijk]] tonen aan dat de [[Prehistorie|prehistorische]] [[mens]] besef had van tellen, aantallen aanduiden en vormen tekenen en herkennen.

In de loop der millennia nam het scheppend vermogen van de prehistorische mens toe. Een groot aantal kunstzinnige holschilderingen is bewaard gebleven. Die schilderingen van dieren en jagers, die voornamelijk in [[Spanje]] en Frankrijk te vinden zijn en die ongeveer 15.000 jaar oud zijn, hadden vermoedelijk een rituele betekenis en tonen aan dat er een uitstekend begrip was voor een tweedimensionale afbeelding van ruimtevormen.<ref>[https://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/stru008gesc01_01_0003.htm {{aut|D.J. Struik}} - ''De geschiedenis van de wiskunde'', 1988, p. 15]</ref>

Er is bewijs gevonden dat de vrouwen in de prehistorie hun [[menstruatiecyclus]] bijhielden: 28 of 30 [[Turven|turfjes]] op een steen of in een bot, gevolgd door een onderscheidend merkteken.<ref>{{en}}[https://web.archive.org/web/20060505175220/http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/papers/menses/menses.htm {{aut|John Kellermeier}} - ''How Menstruation Created Mathematics'', Tacoma Community College, 2003]</ref> Daarenboven kenden mogelijk [[Schaapherder|herders]] en [[jager-verzamelaar]]s het systeem van ‘geen’ (een primitieve [[0 (getal)|nul]]), ‘één’, ‘een aantal’ en ‘veel’.<ref>{{en}}[http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/lebombo.html {{aut|Scott W. Williams}} - ''The Oledet Mathematical Object is in Swaziland'', Suny Buffalo mathematics department, 2005]. [https://web.archive.org/web/20230605072254/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/lebombo.html Gearchiveerd] op 5 juni 2023.</ref> Ze gebruikten zogenaamde kerfstokken om aantallen bij te houden. Een van de oudste vondsten van [[kerfstok]]ken is het [[Lebombo-beentje]] uit [[Swaziland]], dat dateert van 35.000 v.Chr.<ref>{{en}}[http://mathworld.wolfram.com/LebomboBone.html {{aut|MathWorld-Team}} - Lebombo Bone]</ref>

=== Het Ishango-beentje ===
[[Bestand:Huesos de ishango.jpg|thumb|Het Ishango-beentje]]
{{Zie hoofdartikel|Ishango-beentje}}

Het [[Ishango-beentje]]<ref>[https://web.archive.org/web/20081228021628/http://www.ishango.be/nl2008/?page=baton2 Het Ishango-beentje: geschiedenis en hypothese]</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20131005112840/http://www.sciencesnaturelles.be/expo/old_ishango/nl/exhibition/qtvr.html Het Ishango-beentje in 3D]</ref>
geldt als de oudste echte wiskundige vondst. Men schat de ouderdom op 22.000 jaar. Het beentje werd in 1960 ontdekt door [[Jean de Heinzelin de Braucourt]], in dienst van het [[Museum voor Natuurwetenschappen|Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen]]. Het beentje werd genoemd naar de vindplaats Ishango, in [[Congo-Kinshasa|Congo]], op 15 kilometer van de [[evenaar]], aan de oever van het [[Edwardmeer]].

Op zijn sterfbed, in 1998, heeft De Heinzelin onthuld dat er nog een tweede staafje bestaat, ontdekt vlak bij het eerste staafje. Onderzoek door [[Archeoloog|archeologen]], wiskundigen en ingenieurs heeft aangetoond dat het telstokjes betreffen. Ze zijn waarschijnlijk opgesteld met bases 6 en 10, zoals gebruikelijk in verschillende Afrikaanse gebieden. De twee botjes zijn de oudste getuigenissen van logisch redeneren door de mens en de bakermat van de wiskunde.<ref>[https://web.archive.org/web/20070228074712/http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Ishango_meeting.htm Ishango, 22000 and 50 years later: the cradle of mathematics?]</ref>

De voorkant van het beentje heeft drie inkervingen, dan zes. Vervolgens staan er vier inkervingen, dan acht. Dat is dus telkens maal twee. De som van alle inkervingen per kolom bedraagt respectievelijk 60, 48 en 60, allemaal veelvouden van zes. Dit kan er op wijzen dat men met een 6-delig of 60-delig talstelsel werkte<ref>[https://web.archive.org/web/20131005002231/http://www.sciencesnaturelles.be/expo/old_ishango/nl/ishango/riddle.html Het raadsel van Ishango, ''Koninklijk Museum voor Natuurwetenschappen'']</ref> hoewel er ook kritiek is op die veronderstelling.<ref>Olivier Keller, The fables of Ishango, or the irresistible temptation of mathematical fiction, EHESS, {{en}}[https://web.archive.org/web/20150206200834/https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/ishango-analysis.pdf vertaald] of {{fr}}[https://web.archive.org/web/20140515035925/http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/Ishango-analyse.pdf origineel]</ref>

== Wiskunde in het oude Nabije Oosten ca. 3000 - 500 v.Chr. ==
=== Babylonische wiskunde ca. 3000 - 1600 v.Chr. ===
[[Bestand:Ybc7289-bw.jpg|thumb|Het Babylonische kleitablet [[YBC 7289]] in [[spijkerschrift]] (1900 - 1600 v.Chr.)]]

Babylonische wiskunde verwijst naar de wiskunde die bedreven werd door de volkeren uit [[Mesopotamië]], het tegenwoordige [[Irak]]. Die periode begint met de [[Soemer]]iërs. Men noemt dit de Babylonische wiskunde vanwege de rol van [[Babylon (stad)|Babylon]] als centrum van studie en wetenschappelijk onderzoek. Dit hield op met de [[hellenistische periode]].

In tegenstelling tot de [[Egyptische wiskunde]], die wij al lang kenden door de [[hiëroglief]]en, kennen wij de Babylonische wiskunde van de meer dan 400 [[kleitablet]]ten, die werden opgegraven vanaf de [[1850-1859|jaren 50 van de 19e eeuw]]. Die kleitabletten bevatten tekens in [[spijkerschrift]], die in de vochtige klei werden gekrast en dan te drogen gelegd in de zon of in een oven.

Het vroegste bewijsmateriaal van geschreven wiskunde, gaat terug naar de oude Sumeriërs. Zij ontwikkelden een complex systeem van [[metrologie]] vanaf 3000 v.Chr.<ref>{{en}}[http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/history.html {{aut|Duncan J. Melville}} - ''Brief History of Mesopotamia'', mei 2001]. [https://web.archive.org/web/20201114002711/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/history.html Gearchiveerd] op 14 november 2020.</ref><ref>{{en}}[http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/sumerian.html {{aut|Duncan J. Melville}} - ''Sumerian metrological numeration systems'', oktober 2002]</ref> Vanaf ongeveer 2500 v.Chr. schreven de Sumeriërs [[tafels van vermenigvuldiging]] op kleitabletten<ref>{{en}}[http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tokens.html {{aut|Duncan J. Melville}} - ''Tokens: the origin of mathematics'', augustus 2001]</ref> en behandelden geometrische oefeningen en wiskundige problemen, zoals de [[delen|deling]]. De vroegste sporen van de Babylonische cijfers dateren ook van deze periode.<ref>{{en}}[https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html {{aut|D.J. Melville}} - Third Millennium Chronology (2003)]</ref>

De meeste ontdekte kleitabletten dateren van 1800 tot 1600 v.Chr., en gaan over onderwerpen als [[Breuk (wiskunde)|breuken]], [[algebra]], [[vierkantsvergelijking]]en en de berekening van [[Pythagorees drietal|pythagorese drietallen]], bijvoorbeeld [[Plimpton 322]].<ref>[https://staff.science.uva.nl/~craats/babylon.pdf {{aut|J. van de Craats}} - Babylonisch rekenen, pp. 3-4]</ref> De meeste kleitabletten bevatten tafels van vermenigvuldiging, tabellen met goniometrische getallen en methodes om vierkantsvergelijkingen op te lossen. Het Babylonisch tablet [[YBC 7289]] uit 1900 - 1600 v.Chr. geeft een benadering voor <math>\sqrt{2}</math> tot op vijf cijfers na de komma nauwkeurig:

:::<math>\sqrt{2} = 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421296296...</math><ref>{{en}}[http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html {{aut|D.J. Melville}} - Het Babylonische kleitablet YBC 7289 (2006)]. [https://web.archive.org/web/20200712173631/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Gearchiveerd] op 12 juli 2020.</ref>

Babyloniërs gebruikten een 60-tallig of [[sexagesimaal]] [[talstelsel]]. Daarvan stammen nu nog 60 [[seconde]]n in een [[Minuut (tijd)|minuut]], 60 minuten in een [[uur]], 24 uur in een dag en 360 graden in een [[cirkel]]. Ook in de taal is deze onderverdeling nog steeds te merken: een [[dozijn]] is 12 en een [[Gros (hoeveelheid)|gros]] is 144, allemaal getallen die deelbaar zijn door 6 of 12. Zestig is wellicht gekozen omdat het twaalf delers bezit: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.

=== Egyptische wiskunde ca. 2700 v.Chr. - 500 v.Chr. ===
{{Zie hoofdartikel|Egyptische wiskunde}}

De Egyptische wiskunde verwijst naar wiskunde die in de Egyptische taal wordt geschreven. Vanaf de hellenistische periode verving het [[Grieks]] het [[Egyptisch]] als geschreven taal van de Egyptische geleerden, en vanaf dat moment voegde de Egyptische wiskunde zich bij de Griekse en Babylonische wiskunde om tot de hellenistische wiskunde te leiden. De Egyptische wiskundige studie ging later over in de Arabische wiskunde, en tevens werd het [[Arabisch]] de geschreven taal van de Egyptische geleerden.<ref>{{en}}[http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html {{aut|Scott W. Williams}} - Egyptian Mathematics Papyri, The Mathematics Department of The State University of New York at Buffalo, 1997-2008]. [https://web.archive.org/web/20230523065612/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html Gearchiveerd] op 23 mei 2023.</ref>

==== De Papyrus van Moskou ====
[[Bestand:Usech kvadrat piramid.png|thumb|Een afgeknotte piramide met vierkant grondvlak]]

De oudste tot dusver ontdekte wiskundige tekst is de [[Moskou-papyrus|Papyrus van Moskou]], een Egyptische [[Middenrijk (Egypte)|Middenrijks]] tekst op papyrus<ref>{{en}}[https://www.math.tamu.edu/~dallen/history/egypt/node4.html The Moscow Papyrus, 2001]. [https://web.archive.org/web/20211228230013/https://www.math.tamu.edu/~dallen/history/egypt/node4.html Gearchiveerd] op 28 december 2021.</ref> gedateerd op 2000 - 1800 v.Chr. De papyrus bevat wat vandaag "woordproblemen" of "verhaalproblemen" worden genoemd, blijkbaar als vermaak bedoeld. Zo bepaalt een Egyptisch probleem het volume van een [[afgeknotte piramide]]:
{{Cquote|Als je wordt gezegd: een afgeknotte piramide met een verticale hoogte van 6, een basis van 4 en de basis op de top van 2, dan moet je 4 in het kwadraat nemen, dat is 16. Vervolgens neem je 2 maal 4, dat is 8. Dan neem je het kwadraat van 2, dat geeft 4. Vervolgens moet je de 16, de 8 en de 4 bij elkaar optellen, dat resulteert in 28. Van de verticale hoogte (6) moet je één derde nemen, dat geeft 2. Als laatste stap neem je 28 keer 2, dat geeft 56. Ziehier het resultaat.}}

Dit klopt, want de formule voor het volume van de afgeknotte piramide luidt:

:<math>V = \frac{1}{3} h(A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2)</math>

waarin <math>h \,</math> de loodrechte hoogte voorstelt van het ondervlak tot het bovenvlak, <math>A_1 \,</math> en <math>A_2 \,</math> zijn de oppervlakten van onder- en bovenvlak.

==== De Rhind-papyrus ====
[[Bestand:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|Een gedeelte van de Rhind-papyrus, stammend uit de periode tussen 2000 en 1550 v.Chr.]]

De [[Rhind-papyrus]]<ref>{{en}}[http://www.math.washington.edu/~greenber/Rhind.html {{aut|R. Greenberg}} - The Rhind mathematical papyrus (2000)]</ref> (ca. 1650 v.Chr.) is een andere belangrijke Egyptische wiskundige tekst, genoemd naar de Schotse egyptoloog [[Alexander Henry Rhind]], die de papyrus in [[1858]] in [[Luxor]] kocht en later aan het [[British Museum]] schonk. Het is een soort vragen- en instructiehandboek in [[Rekenen|rekenkunde]] en [[meetkunde]], waarin 87 vraagstukken staan met de bijbehorende uitwerkingen.<ref>[http://www.kennislink.nl/web/show?id=150842 Kennislink - ''Stambreuken bij de Egyptenaren'', 2006]. [https://web.archive.org/web/20061004032303/http://www.kennislink.nl/web/show?id=150842 Gearchiveerd] op 4 oktober 2006.</ref> Naast het geven van formules en methodes voor vermenigvuldiging, deling en het werken met breuken, bevat hij ook bewijsmateriaal van andere wiskundige kennis, met inbegrip van [[samengesteld getal|samengestelde getallen]], de [[priemgetal]]len, het [[rekenkundig gemiddelde]], het [[meetkundig gemiddelde]] en het [[harmonisch gemiddelde]].<ref>{{en}}[http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html {{aut|MathWorld-Team}} - Rhind Papyrus, 1999-2009], gebaseerd op:
* {{aut|R. Gillings}} - ''Mathematics in the Time of the Pharaohs'', Boston, MA: MIT Press, 89-103, 1972
* {{aut|M. Keith}} - ''The Rhind Papyrus Table''
* {{aut|G. Robins, C. Shute}} - ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text'', New York: Dover, 1990]</ref> Hij bevat bovendien een simpele uitleg voor de [[zeef van Eratosthenes]], evenals voor de theorie van de [[perfect getal|perfecte getallen]], in het bijzonder die van het getal 6. Hij toont ook hoe men een [[lineaire vergelijking]] moet oplossen, evenals het oplossen en begrijpen van [[Rekenkundige rij|rekenkundige]] en [[meetkundige rij]]en.<ref name="SWWilliams">[http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_algebra.html#areithmetic%20series {{aut|S.W. Williams}} - The algebra of Egypt (2005)]</ref>

Ook suggereren drie meetkundige elementen in de Rhind-papyrus dat de Egyptenaren zich bezighielden met de analytische meetkunde:
# Het getal <math>\pi</math> benaderen tot op 3,16045,<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''A chronology of pi'', april 1999, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref> met een onnauwkeurigheid van minder dan 1 procent.
# Een vroege poging tot het oplossen van het probleem van de [[kwadratuur van de cirkel]].<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''Squaring the circle'', april 1999, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref>
# Het vroegste gebruik van een soort [[Tangens en cotangens|cotangens]].<ref>{{aut|Eli Maor}} - ''Trigonometric Delights'', Princeton University Press, 1998, p. 20 {{ISBN|0691095418}}</ref>

==== De Papyrus van Berlijn ====
De Papyrus van Berlijn is een Egyptisch geschreven papyrustekst over wiskunde uit het [[Middenrijk (Egypte)|Middenrijk]] (ca. 1300 v.Chr.). Hij werd gevonden in de dodenstad [[Saqqara]] in het begin van de [[19e eeuw]]. Hij toont aan dat de oude Egyptenaren een [[vierkantsvergelijking]] algebraïsch konden oplossen en dat ze een primitieve vorm van de [[stelling van Pythagoras]] toepasten om een landbouwkundig vraagstuk op de lossen.<ref name="SWWilliams" />

Toch bevat hij niet enkel wiskundige teksten, maar ook een soort procedure om te bepalen of een vrouw zwanger was. Het was dus ook een soort medische papyrus.

== Oude Chinese wiskunde ca. 1500 - 500 v.Chr. ==
[[Bestand:Chinese pythagoras.jpg|thumb|Een Chinees visueel bewijs voor de stelling van Pythagoras (ca. 500 - 200 v.Chr.)]]

De eerste tekenen van wiskunde in [[Chinese oudheid|China]] vinden we rond 1500 v.Chr.<ref>[https://www.xs4all.nl/~wjsn/tekst/wiskunde.htm#China1 ''China: eerste teksten 1500 voor Christus'', geschiedenis van de wiskunde in vogelvlucht, 2005]</ref> Toen raakten voor het eerst [[Chinese cijfers]] in gebruik.

Men gebruikte in China numerieke notaties, maakte rekenkundige berekeningen en telde met behulp van telstaafjes. Het stelsel heeft als grondtal 10 ([[decimaal|decimaal talstelsel]]). Er werden karakters gebruikt voor de cijfers 1, 2, 3, ..., alsmede voor 10, 100, 1000, ... Eigenaardig voor de Chinese getalnotatie was dat men voor [[0 (cijfer)|nul]] een spatie gebruikte.

Diverse rekenkundige berekeningen werden uitgevoerd met kleine telstokjes uit [[bamboe]]. Optellen en aftrekken vond plaats met behulp van telstokjes en voor vermenigvuldigen gebruikt met tabellen tot 9 maal 9. Later ging men (en ook nu nog) andere symbolen voor de cijfers 0, 1, 10 gebruiken in China.

== Oude Indiase wiskunde ca. 900 v.Chr. - 200 n.Chr. ==
De wiskunde in [[India]] begon al in de vroege [[ijzertijd]], met de ''[[Shatapatha-Brahmana]]'' (ca. 9e eeuw v.Chr.), een tekst die de waarde van [[Pi (wiskunde)|<math>\pi</math>]] tot op 2 decimalen benadert.

De Sulba Sutras (ca. 800-500 v.Chr.) waren teksten die vooral meetkundige onderwerpen behandelden en die gebruikmaakten van [[Irrationaal getal|irrationale getallen]], priemgetallen, de [[kruislings vermenigvuldigen]] en [[derdemachtswortel]]s. De tekst benaderde de waarde van <math>\sqrt 2</math> tot op 5 decimalen, gaf een uitleg voor het probleem van de [[kwadratuur van de cirkel]], loste [[Lineaire vergelijking|lineaire]] en vierkantsvergelijkingen op, ontwikkelde een methode voor [[Pythagorees drietal|pythagorese drietallen]] en gaf een bewijs voor de stelling van Pythagoras.

[[Baudhayana]] (ca. 8e eeuw v.Chr.) stelde de ''Baudhayana Sulba Sutra'' samen, waarin hij een aantal voorbeelden van eenvoudige pythagorese drietallen geeft, zoals (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) en (12,35,37), alsook een verklaring voor de stelling van Pythagoras voor de zijden van een [[Vierkant (meetkunde)|vierkant]]:

{{Cquote|Wanneer men een koord spant dwars over de diagonaal van een vierkant met een welbepaalde oppervlakte en daar een vierkant mee vormt, dan bekomt men een vierkant met een oppervlakte die 2 maal groter is dan de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant}}

Baudhayana geeft ook een formule voor de vierkantswortel uit twee:<ref>{{en}} {{aut|G.G. Joseph}} - [http://www.amazon.com/Crest-Peacock-George-Gheverghese-Joseph/dp/0691006598/ ''The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics''], Princeton University Press, 2000 {{ISBN|0691006598}}</ref>
::<math>\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot4} - \frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} \approx 1,4142156...</math>

Deze formule is correct tot op 5 cijfers na de komma (de echte waarde bedraagt 1,414213562... ).

[[Pāṇini]], een Sanskrietgeleerde en taalkundige uit 5e eeuw v.Chr., formuleerde de grammaticale regels voor het [[Sanskriet]] in zijn [[magnum opus]] ''Aṣṭādhyāyī''. Zijn handschrift leek op de moderne wiskundige notatie, en tevens hanteerde hij [[Transformatie (wiskunde)|transformaties]] en [[Recursie|recursiviteit]] met dermate verfijning, dat het de capaciteit van een [[turingmachine]] evenaarde.

[[Pingala]], een Indiase schrijver uit de 3e-1e eeuw v.Chr., hanteerde in zijn traktaat over [[Afstand (wiskunde)|metriek]] een systeem dat grotendeels overeenkomt met het huidige [[binaire talstelsel]]. Pingala's werk bevat ook een aantal basisideeën over de [[rij van Fibonacci]] (Sanskriet: ''mātrāmeru'').

[[Bestand:Indian numerals 100AD.gif|thumb|De Brāhmīgetallen in de 1e eeuw v.Chr.. Ze bestonden al in de 3e eeuw v.Chr., maar dan in een primitievere vorm]]

Het [[Brāhmīmanuschrift]] werd het laatst mogelijk rond de 4e eeuw v.Chr. ontwikkeld, maar er zijn recente archeologische onderzoeken, die aantonen dat het misschien nog ouder is (ca. 600 v.Chr.). De Brāhmīgetallen dateren van rond de 3e eeuw v.Chr.

Tussen 400 v.Chr. en 200 n.Chr. bestudeerden Indiase wiskundigen, met name de volgelingen van het [[jaïnisme]], als eersten de [[Transfiniet getal|transfiniete getallen]],<ref name="JAINISM MATHS">{{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html {{aut|Ian Pearce}} - ''Indian Mathematics: Redressing the balance'', deel 5 (Jainism) e.a., 2002]</ref> [[verzamelingenleer]]<ref name="JAINISM MATHS" /> en de [[logaritme]]n.<ref name="JAINISM MATHS" /> Ze ontwikkelende ook fundamentele wetten van de [[Indexnotatie|indexen]], vierkantsvergelijkingen, [[vierdegraadsvergelijking]]en, oneindige [[Machtsverheffen|machtsverheffingen]], [[combinatoriek]] en [[Rij (wiskunde)|rijen]].<ref name="JAINISM MATHS" /> Ze bedachten ook een woord om niets (dus het getal nul) aan te duiden: ''shunya'', wat in het Sanskriet leegte of leemte betekent. Dat woord evolueerde: in het Arabisch werd het ''ṣifr'' (betekenis: nul, maar ook het woord cijfer stamt ervan) en later ''ṣafira'', in het Italiaans ''zefiro'' en dan in het Frans en Engels ''zero''.<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''A history of Zero'', november 2000, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref>

Het ''Bakhshalimanuscript'' (tussen 200 v.Chr. en 200 n.Chr.) bevat oplossingen voor [[lineaire vergelijking]]en met maximaal 5 onbekenden, de oplossing van vierkantsvergelijkingen, rekenkundige en meetkundige vooruitgangen, [[Systeem (wetenschap)|stelsels]] en het gebruik van de nul en [[Negatief getal|negatieve getallen]].<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''The Bakhshali manuscript'', november 2000, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref>

== Griekse wiskunde ca. 550 v.Chr. - 300 n.Chr. ==
[[Bestand:Euklid-von-Alexandria 1.jpg|thumb|[[Euclides van Alexandrië]], bekend van zijn [[Elementen van Euclides|''Elementen'']]]]

=== Geografie en tijdsindeling ===
De klassieke Griekse wiskunde refereert aan de periode waarin men de wiskunde bestudeerde voor de [[hellenistische periode]]. De Griekse wiskunde was verspreid over de Griekse [[polis (stad)|poleis]] en in [[Anatolië|Klein-Azië]], [[Libië]] en [[Sicilië]].

Griekse wiskunde, die vanaf de hellenistische periode werd bestudeerd (vanaf 323 v.Chr.), verwijst naar de wiskunde die in het Grieks is opgesteld door Griekse wiskundigen uit het gehele hellenistische gebied, dat reikte van het [[Middellandse Zeegebied]] tot het Verre Oosten, ongeveer het rijk van [[Alexander de Grote]]. Vanaf dat moment voegde de Griekse wiskunde zich samen met de Babylonische en Egyptische wiskunde, om zo de hellenistische wiskunde te laten ontstaan. Deze fase noemt men de Pan-Helleense fase. Het epicentrum van de Griekse wiskunde lag op dat ogenblik niet meer in [[Athene (stad)|Athene]], maar in [[Alexandrië]] (huidig [[Egypte (land)|Egypte]]). Vele geleerden vanuit de gehele hellenistische wereld (over het algemeen Griekse en Egyptische, maar ook heel wat Perzische, Arabische, Joodse, Fenicische en Indiase geleerden) werden hierdoor aangetrokken.

Het grootste deel van de wiskundige teksten en manuscripten in het Grieks werden gevonden in Griekenland, Egypte, Klein-Azië, [[Mesopotamië]] en Sicilië.

=== Oorsprong en invloeden ===
De Griekse wiskunde vond haar oorsprong rond de [[7e eeuw v.Chr.]], maar er is weinig bronnenmateriaal uit die tijd. De Grieken werden wellicht geïnspireerd door de oudere methodes van Babyloniërs en [[Oude Egypte|Egyptenaren]], maar er zijn ook aanwijzingen voor [[Fenicië|Fenicische]] en zelfs Indiase invloeden.

De echte Griekse wiskunde begon rond 550 v.Chr., toen [[Thales van Milete]] en [[Pythagoras]] kennis van Babylonische en Egyptische wiskunde naar [[Griekenland]] brachten. Thales gebruikte meetkunde om praktische problemen op te lossen, zoals het berekenen van de hoogte van een [[Egyptische piramide|piramide]] en de afstand van schepen tot de kust. Pythagoras bewees voor het eerste de stelling van Pythagoras en construeerde op algebraïsch wijze de [[Pythagorees drietal|pythagorese drietallen]].

=== Verwezenlijkingen ===
[[Bestand:Portrait of Eratosthenes.png|thumb|[[Eratosthenes]]]]

De Griekse wiskunde vormt een belangrijke periode in de geschiedenis van wiskunde, fundamenteel door de geavanceerde meetkunde en het idee van het formeel bewijs. De Griekse wiskunde droeg ook bij tot ideeën over de [[getaltheorie]], wiskundige analyse, toegepaste wiskunde, en af en toe kwam men zelfs dicht bij de [[integraalrekening]].

Bekende Griekse wiskundigen als Pythagoras, een mystiek persoon van het eiland [[Samos (eiland)|Samos]] en geassocieerd met de mystiek van de getallen en de [[numerologie]], en [[Euclides van Alexandrië|Euclides]], die voor zijn [[Elementen van Euclides|''Elementen'']], een werk over meetkunde, doorheen alle eeuwen bekendheid bleef verwerven, werden vaak becommentarieerd en bestudeerd door wiskundigen van andere afkomst.

[[Diophantus]] schreef zijn beroemd werk ''Arithmetika'' en bestudeerde [[diofantische vergelijking]]en.

Het kenmerkendste product van de Griekse wiskunde is de theorie van [[kegelsnede]]n, die [[Apollonius van Perga]] beschreef in zijn ''Konika'' van 225 voor Christus. De aangewende methodes maakten geen expliciet gebruik van algebra of [[goniometrie]].

[[Eratosthenes]], een Grieks [[bibliothecaris]] in de [[bibliotheek van Alexandrië]], ontwikkelde een eenvoudig [[algoritme]] om de priemgetallen te vinden: de [[zeef van Eratosthenes]].
Hij berekende ook de omtrek van de [[Aarde (planeet)|Aarde]] op zo'n 15 procent groter (250.000 [[Stadie|stadiën]]<ref>{{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Eratosthenes.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''Biography of Eratosthenes of Cyrene '', januari 1999, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]. [https://web.archive.org/web/20191101014307/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Eratosthenes.html Gearchiveerd] op 1 november 2019.</ref> of ongeveer 46.000 kilometer) dan de echte waarde van 40.074 kilometer.

[[Plato]] beschreef in zijn werk ''[[Timaeus (Plato)|Timaeus]]'' de 5 mogelijke regelmatige driedimensionale lichamen, de [[Regelmatig veelvlak|regelmatige veelvlakken of Platonische lichamen]].

=== De gulden snede ===
[[Bestand:Phi uc lc.svg|thumb|De kleine Griekse letter φ als symbool voor de gulden snede en het gulden getal. De hoofdletter Φ&nbsp;=&nbsp;1/φ dient voor het [[omgekeerde]]]]

In de [[5e eeuw v.Chr.]] werd de [[gulden snede]] ontdekt. [[Phidias]], een [[Oud-Griekse beeldhouwkunst|Grieks beeldhouwer]], is mogelijk de eerste die de gulden snede heeft toegepast in zijn beeldhouwwerken in het [[Parthenon]]. Het symbool voor de gulden snede is de Griekse letter [[Phi (letter)|phi]] (φ), naar de eerste letter van de naam '''Phi'''dias ('''Φ'''ειδίας).

Euclides gaf in zijn Elementen de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als "extreme en gemiddelde verhouding" ([[Grieks alfabet|Grieks]]: ακρος και μεσος λογος; ''akros kai mesos logos''). De Italiaan [[Luca Pacioli]] ontrukte die in zijn ''De Divina Proportione'' (over de goddelijke verhouding) van 1509 aan de vergetelheid.

=== Bloeiperiode ===
[[Bestand:Claudius Ptolemaeus.jpg|thumb|[[Claudius Ptolemaeus]] ([[87]] - [[150]])]]

De hellenistische wiskunde kende van ca. 420 tot 150 v.Chr. een periode van grote bloei. De wiskundige ontwikkelingen vonden plaats in de Griekstalige centra zoals [[Oude Egypte|Egypte]] en [[Sicilië]], en met een hoge waardering voor het intellectuele en culturele statuut van de wiskunde, zoals in de school van Plato. ''[[De zandrekenaar]]'' ([[Grieks]]: Ψαμμίτης, ''Psammitès''), een boek van [[Archimedes]], een [[Getaltheorie|getaltheoretisch]] en [[Astronomie|astronomisch]] werk van grote originaliteit, schat de diameter van het [[heelal]] op ongeveer twee lichtjaar,<ref>Archimedes maakte in de [[De zandrekenaar]] natuurlijk gebruik van maten, die in zijn tijd gebruikelijk waren</ref> een volume waar ongeveer 10<sup>63</sup> zandkorrels in passen. Archimedes toonde aan dat een [[bol (lichaam)|bol]] 2/3 van de [[oppervlakte]] en het [[inhoud (volume)|volume]] van een [[Cilinder (meetkunde)|cilinder]] met zelfde straal en hoogte bezit en liet dit op zijn graf beitelen. Het [[Archimedespalimpsest]], een hergebruikt [[perkament]] uit de [[13e eeuw]] ([[april]] [[1229]])<ref>{{en}}[https://web.archive.org/web/20070928102802/http://www.archimedespalimpsest.org/palimpsest_making1.html The Archimedes Palimpsest Project - ''The Making of the Archimedes Palimpsest'', 2005]</ref> waarin een tekst van Archimedes is verborgen, is bewaard gebleven. Het document is van buitengewoon belang voor de [[Wetenschapsgeschiedenis|geschiedenis van de wetenschap]]. Het werk bevat de enige overgeleverde Griekse versie van ''Drijvende lichamen'' en de enige afschriften van de ''Methode van mechanische stellingen'' en ''[[Stomachion]]''.

Het werk van geleerden als [[Hipparchus (astronoom)|Hipparchus]] en [[Posidonius]] lag mogelijk aan de basis van het [[mechanisme van Antikythera]].

De [[Almagest]] (oorspronkelijke titel Ἡ μαθηματικὴ σύνταξις, ''De mathematische ordening'') - een verhandeling over de schijnbare bewegingen van de sterren en de planeten - van [[Claudius Ptolemaeus]], die op meerdere terreinen actief was, zou tot aan [[Nicolaas Copernicus|Copernicus]] grote invloed uitoefenen.

=== Overlevering ===
Hoewel de vroegste Griekse teksten over wiskunde die gevonden zijn, na de hellenistische periode zijn geschreven, worden veel van deze werken beschouwd als kopieën van werken die tijdens de hellenistische periode zijn geschreven. Toch is de datering van Griekse teksten veel eenvoudiger dan de datering van vroegere wiskundige documenten, omdat er een groot aantal chronologische teksten zijn (waaronder jaarverslagen), die elkaar soms overlappen in tijd. Daardoor is het gemakkelijk om een chronologie van de Griekse wiskunde op te stellen en zo een beeld te krijgen van de toenmalige wiskunde. Maar toch tasten we voor vele data nog in het duister, al is de twijfel eerder een kwestie van [[decennium|decennia]] dan van eeuwen. Zo bewees [[Pappos van Alexandrië]] de [[stelling van Pappos]].

Tijdens de [[middeleeuwen]] leidde Europa veel van zijn kennis van Griekse wiskunde af via de islamitische wiskunde. De teksten over Griekse wiskunde werden grotendeels bewaard en gekopieerd door Arabische en Perzische geleerden. Ze werden ginds lange tijd bewaard en bestudeerd (door onder andere [[Al-Chwarizmi|Mohammed ibn Moesa al-Chwarizmi]],<ref>{{en}} [https://web.archive.org/web/20160304220907/http://library.albany.edu/preservation/brittle_bks/khuwarizmi_robertofchester/index.htm De vertaling van ''Hisab al-jabr wa al-muqabala'' door Robert van Chester]</ref> [[Qutb al-Din al-Shirazi]] en [[Alhazen|Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham]]), waarna ze in Europa werden geïntroduceerd.

== Romeinse wiskunde ==
[[Bestand:Portal Mathematiklinks.png|thumb|Reconstructie van een Romeins telraam of abacus]]
[[Bestand:九章算術.gif|thumb|Fragment uit ''[[De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst|Negen hoofdstukken over de kunst van de wiskunde]]'' (九章算術), dat werd voltooid in de [[1e eeuw|1e eeuw n.Chr.]] Het eerste deel heet ''Suàn shù shū'' (算數書), oftewel ''Het Boek over Getallen en Rekenkunde'', en is het oudste overgebleven Chinese wiskundige werk (geschreven tussen 202 en 186 v.Chr.)]]
[[Bestand:Yanghui triangle.gif|thumb|De Yang Hui-driehoek ([[driehoek van Pascal]]) die gebruikmaakte van staafcijfers, afkomstig uit een publicatie van [[Zhu Shijie]] (ca. 1303)]]

Op wiskundig vlak hebben de [[Romeinen (volk)|Romeinen]] niet bepaald een voortrekkersrol gespeeld. De [[Romeinse cijfers]] zijn waarschijnlijk ontstaan als een telsysteem voor herders, die op een kerfstok bijhielden of ze wel met al hun schapen terug thuis waren gekomen. Later evolueerden de kerfstreepjes tot letters, die uit het [[Klassiek Latijns alfabet|Romeinse alfabet]] werden overgenomen. Maar het bleef een primitief systeem. Dit staat in schril contrast met de hoge vorm van [[beschaving]] en de daarbij horende technische vernieuwingen in het [[Romeinse Rijk]].

Het maken van de eenvoudige berekeningen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigingen en delingen, was met Romeinse getallen een grote opgave. Het talstelsel werd alleen gebruikt voor notaties, en berekeningen gebeurden met een [[Abacus (rekentuig)|abacus]] of rekentafel. Nochtans bleef het systeem in Europa nog tot in de middeleeuwen algemeen in zwang.

Het moeilijke rekenwerk werd veroorzaakt door het feit dat het Romeinse talstelsel [[Additiviteit|addititief]] was: de waarde van het voorgestelde [[Getal (wiskunde)|getal]] wordt bepaald door het totaal van de samentellende symbolen. Bijna per definitie geven ze dus ook alleen maar gehele, positieve waarden weer.

== Klassieke Chinese wiskunde ca. 500 v.Chr. - 1300 n.Chr. ==
=== Oudste overblijfselen ===
Van de westelijke [[Zhou-dynastie]] (vanaf 1049-1046 v.Chr.) is het oudste wiskundige werk dat is overgebleven het ''[[Boek der Veranderingen]]'' of ''Yijing'' (易經), dat gebruikmaakt van de 8 binaire trigrammen en de 64 binaire hexagrammen, voor filosofische, wiskundige en mystieke doeleinden. In het boek worden betekenissen van de 64 hexagrammen omschreven. Deze hexagrammen stellen beelden voor, die van onder naar boven worden opgebouwd. De hexagrammen ontstaan door bijvoorbeeld het zes maal achtereenvolgens opgooien van drie munten. Een oneven aantal "koppen" (Chinese munten hadden in het algemeen slechts aan één zijde tekst; dat is de kopzijde) levert in het heden een Yang-lijn op; een even aantal een Yin-lijn. Drie gelijke zijden vormen een "sterke" lijn.

Volgens de oorspronkelijke manier van het bekomen van de hexagrammen werd gebruikgemaakt van 50 stengels van het [[Duizendblad (soort)|duizendblad]]. Via herhaaldelijke ordening van de stengels bekwam men Yin-lijnen of Yang-lijnen, die elk veranderend of niet veranderend konden zijn. Sterke lijnen geven een aankomende verandering aan. Elk beeld kan op zes verschillende manieren veranderen. Deze hexagrammen worden op hun beurt weer ontleed in diverse trigrammen. Elk trigram bestaat uit een combinatie van drie horizontale, boven elkaar geplaatste lijnen. De lijnen kunnen [[Yin en yang|Yin of Yang]] zijn. Een ononderbroken lijn is een (mannelijke) Yang-lijn (陽), een in het midden onderbroken lijn een (vrouwelijke) Yin-lijn (陰).

Het oudste bestaande werk aangaande meetkunde uit China komt uit de ''Mohistische canon'' of ''Mo Jing'' (墨家) (ca. 330 v.Chr.), die door de aanhangers van de Chinese filosoof [[Mozi]] werd gebundeld (tussen ca. 470 en 390 v.Chr.). De ''Mo Jing'' beschreef diverse aspecten van wetenschappelijke domeinen, die gelinkt worden aan de huidige [[natuurkunde]], en verstrekte een kleine bron aan informatie over wiskunde.

=== Grote boekverbranding ===
In [[Chinees Keizerrijk|China]] beval keizer [[Qin Shi Huangdi]] (Huang-Ti Shi) in 212 v.Chr. dat alle boeken buiten [[Qin (staat)|Qin]] moesten worden verbrand. Hoewel dit bevel niet overal werd uitgevoerd, is er weinig bekend over de klassieke Chinese wiskunde uit die tijd.

Na de [[boekverbranding]]en produceerde de [[Han-dynastie]] (202 v.Chr. - 220 n.Chr.) werken over wiskunde, die schrijven over verloren manuscripten. Het belangrijkste hiervan is ''[[De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst]]'' (九章算術). Het boek is ouder dan het jaar 179, want uit dat jaar stamt een exemplaar met alle hoofdstukken.

Het bestaat uit 246 woordproblemen, onder andere over landbouw, zaken, het gebruik van geometrische figuren voor de bouw van [[pagode]]s, en het omvat informatie over [[rechthoekige driehoek]]en en het getal <math>\pi</math>. Het maakte eveneens gebruik van het principe van [[Bonaventura Cavalieri]] over volume, meer dan 1000 jaar voor die het in het westen zou invoeren. Het bevatte een bewijs voor de stelling van Pythagoras en formules voor de [[Gauss-eliminatie]]. Het werk werd becommentarieerd door [[Liu Hui]] in het midden van de [[3e eeuw]].

Bovendien bevatten de werken van de astronoom Han en de uitvinder [[Zhang Heng]] (78 - 139 n.Chr.) een andere formule voor <math>\pi</math>, die hij gebruikte om het volume van een bol te berekenen.

=== Latere ontwikkelingen ===
Er was ook het geschreven werk van de wiskundige en [[Muziektheorie|muziektheoreticus]] Jing Fang (78 - 37 v.Chr.). Door het gebruik van de [[Pythagoreïsch komma|pythagoreïsche komma]], ontdekte Jing dat 53 [[kwint]]en ongeveer 31 [[octaaf (muziek)|octaven]] benadert. Dit zou later leiden tot de ontdekking van [[gelijkzwevende stemming]]. Het werd lange tijd niet berekend, tot de [[Pruisen|Pruisische]] wiskundige [[Nikolaus Mercator]] dit in de [[17e eeuw]] opnieuw deed.

De Chinezen maakten ook gebruik van een aantal complexe [[diagram]]men, die bekendstaan als het [[magisch vierkant]] en de [[magische cirkel (wiskunde)|magische cirkel]]. Het systeem werd reeds beschreven in oude tijden, maar werd pas geperfectioneerd door de wiskundige Yang Hui (1238–1298).

In de [[4e eeuw]] beschreef het rekenkundig handboek van Meester Sun, ''Sunzi Suanjing'' (孫子算經) de [[Chinese reststelling]] om de grootte van het leger te tellen.

== Wiskunde bij de Maya's ca. 100 - 900 ==
[[Bestand:Maya.svg|thumb|Grafische voorstelling van de getallen bij de Maya's]]

De Maya's beoefenden in zekere zin de wiskunde door hun bijzonder nauwkeurige [[astronomie|astronomische]] waarnemingen en de ontwikkeling van een nauwkeurige en ingewikkelde [[Mayakalender|kalender]]. Hun tabellen voor de bewegingen van de [[Maan]] en de [[Planeet|planeten]] zijn even goed of zelfs beter dan die van andere beschavingen die met het blote oog de hemel bestudeerden. De berekening van het zonnejaar is zelfs iets nauwkeuriger dan de waarde die als basis voor de [[gregoriaanse kalender]] gebruikt is.

=== Getallen ===
{{Zie hoofdartikel|Mayacijfers}}

De [[Mayacultuur|Maya's]] en hun [[Olmeken|Olmeekse voorgangers]] hadden geheel onafhankelijk het begrip 'nul' (dat in de Oude Wereld pas laat werd ingevoerd) ontdekt, dat ze ''xix im'' noemden. Ze gebruiken het getal 20 als [[grondtal]] van hun [[Mayacijfers|talstelsel]], omdat ze zich baseerden op de 10 vingers van de handen en de 10 tenen van de voeten.<ref>{{en}}[http://www.mayacalendar.com/mayacalendar/f-mayamath.html THE MAYA MATHEMATICAL SYSTEM]. [https://web.archive.org/web/20230531032332/http://www.mayacalendar.com/mayacalendar/f-mayamath.html Gearchiveerd] op 31 mei 2023.</ref> In het decimale systeem, waarmee in de Westerse wereld wordt gewerkt, kunnen getallen bestaan uit cijfers tussen 0 en 9. Bij de Maya's bestonden getallen uit cijfers tussen 0 en 19, waardoor het gemakkelijker was om grotere getallen weer te geven. Inscripties vermelden soms getallen die tot in de honderden miljoenen reiken.

=== Overgebleven manuscripten ===
De [[Dresdener codex]] is een oud Maya-handschrift uit de [[11e eeuw]] of [[12e eeuw]] van de Maya's uit [[Chichén Itzá]]. Het is een van de vier overgebleven Maya-handschriften. Daaruit blijkt dat de Maya's rond 1100 al [[maansverduistering]]en konden voorspellen en de banen van [[Mars (planeet)|Mars]] en [[Venus (planeet)|Venus]] konden beschrijven.<ref>{{en}} Richard P. Feynman, ''Surely you're joking, Mr. Feynman'', p 314-317, Unwin, {{ISBN|0045300232}}</ref> De codex bestaat uit 39 bladzijden, elk 20,5&nbsp;cm hoog en 10&nbsp;cm breed en wordt in [[Dresden]] bewaard.<ref>{{en}}[http://www.famsi.org/mayawriting/codices/dresden.html 'THE DRESDEN CODEX' door FAMSI (Foundation for the Advancement of Mesoamerican Studies, Inc.)]. [https://web.archive.org/web/20230618223922/http://www.famsi.org/mayawriting/codices/dresden.html Gearchiveerd] op 18 juni 2023.</ref> De andere drie worden in [[Parijs]], [[Madrid (stad)|Madrid]] en [[Mexico (land)|Mexico]] bewaard.

== Klassieke Indiase wiskunde ca. 400 - 1600 ==
[[Bestand:2064 aryabhata-crp.jpg|thumb|Standbeeld van [[Aryabhata]]. Hij is de vader van de [[Arabisch-Indische cijfers]], die heden ten dage over de hele wereld worden gebruikt]]

Rond het jaar [[400]] introduceerde het [[India]]se traktaat ''Surya Siddhanta'' ([[Hindi]]: सूर्य सिद्धांत) de [[Sinus en cosinus|sinus]], de [[Sinus en cosinus|cosinus]] en [[Goniometrische functie|daarvan de omgekeerden]] in de Indiase wiskunde, waarmee het tot bloei kwam. Deze functies waren erg belangrijk, omdat ze ook op andere vlakken werden gebruikt, zoals de beweging van de [[Ster (hemellichaam)|sterren]] en de [[Navigatie|scheepsnavigatie]]. De kosmologische tijdscycli die in de tekst worden verduidelijkt, werden gekopieerd van een ouder werk, en leidden tot de berekening van een [[siderisch jaar]] van 365,2563627 [[dag]]en. Dit is slechts 1,4 seconden langer dan de moderne berekening van 365,25636305 dagen. Dit traktaat werd in de middeleeuwen vertaald naar het [[Arabisch]] en het [[Latijn]].

[[Aryabhata]] introduceerde in [[499]] een nieuwe functie: de [[sinus versus]]. Hij maakte ook een eerste goniometrische tabel van de [[Sinus en cosinus|sinus]], ontwikkelde technieken en algoritme aangaande algebra, [[Infinitesimaal|infinitesimalen]], [[differentiaalvergelijking]]en en hij bekwam een hele reeks oplossingen voor de [[lineaire vergelijking]]en. Daarbij maakte hij gebruik van een methode die equivalent is aan de moderne methode, samen met accurate astronomische berekeningen die gebaseerd waren op het [[Heliocentrische theorie|heliocentrische systeem]] van zwaartekracht. Deze Indiase wiskundige schreef in 499 zijn magnum opus ''Aryabhatiya'', dat reeds in de [[8e eeuw]] naar het Arabisch werd vertaald en in de [[13e eeuw]] naar het Latijn. Hij berekende ook nog eens de waarde van <math>\pi</math> tot op 4 cijfers na de komma: 3,1416. Later in de [[14e eeuw]] berekende Madhava de waarde tot op 11 decimalen: 3,14159265359.

In de [[7e eeuw]] bedacht [[Brahmagupta]] de stelling van Brahmagupta, de [[identiteit van Brahmagupta-Fibonacci|identiteit van Brahmagupta]] en de [[formule van Brahmagupta]]. Voor de eerste keer in de geschiedenis legde hij het gebruik van nul zeer duidelijk uit in zijn werk [[Brahmasphuta-siddhanta]] uit [[628]]. Hij gaf ook duidelijke uitleg over de [[Arabisch-Indische cijfers]]. Van de vertaling van deze tekst over wiskunde was het dat de Arabische wiskundigen rond 770 werden geïntroduceerd in dit telsysteem, dat zij overnamen. De Arabische geleerden namen dit telsysteem mee en gebruikten het tot de [[12e eeuw]]. Toen werd het ook in Europa overgenomen. Op die manier hebben de Arabisch-Indische cijfers vrijwel alle andere telsystemen in de wereld verdreven.

== Klassieke Arabische wiskunde ca. 800 - 1500 ==
=== Arabische expansie ===
Het [[Islamitisch Kalifaat|Arabische Rijk]] breidde zich in de 8e en [[9e eeuw]] uit over het [[Midden-Oosten]], [[Centraal-Azië]], [[Noord-Afrika]], het [[Iberisch Schiereiland|Iberisch schiereiland]] en enkele delen van [[India]]. Mede door deze geografische expansie werd de invloed van de Arabische wiskundigen in die tijd veel groter. Arabische geleerden uit die tijd namen ook werkmethodes van andere volkeren over en begonnen deze uit te breiden, waardoor ook de [[Arabieren]] grote vooruitgang maakten binnen alle wetenschappen, maar vooral de wiskunde. Hoewel de meeste islamitische teksten over wiskunde geschreven waren in het [[Arabisch]], waren de teksten zelf niet allemaal geschreven door Arabieren. Zoals het Grieks in de hellenistische wereld werd gebruikt als een soort statussymbool, werd het Arabisch door niet-Arabische geleerden gebruikt als hun geschreven taal. Dit is niet verwonderlijk, aangezien [[Perzen]] de belangrijkste [[Arabische wiskunde|Arabische wiskundigen]] waren.

=== Ontstaan van de algebra ===
[[Bestand:1983 CPA 5426.jpg|thumb|[[Al-Chwarizmi]] op een Sovjetpostzegel uit 1983]]

[[Al-Chwarizmi|Mohammed ibn Mūsā al-Ḵwārizmī]], een Perzisch wiskundige en astronoom uit de [[9e eeuw]], schreef verscheidene belangrijke boeken over de Arabisch-Indische cijfers en over het oplossen van [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijkingen]]. Zijn boek over het rekenen met Indiase cijfers, geschreven rond 825, samen met het werk van de Arabische wiskundige [[Al-Kindi]], waren een belangrijke factor in de verspreiding van de Indiase wiskunde en Indiase cijfers naar het westen. Het belang van Al-Khwarizmi is tot op vandaag duidelijk. Het woord algoritme bijvoorbeeld is afgeleid van de gelatiniseerde versie van zijn naam, Algoritmi, en het woord algebra is afgeleid van de titel van zijn boek: ''Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb '''al-ğabr''' wa’l-muqābala'' (een beknopt boek over het rekenen). Het is niet voor niets dat Al-Khwarizmi de ''vader van de algebra'' wordt genoemd. Hij heeft zowel oude algebraïsche methodes bewaard en verder uitgewerkt, maar ook vele nieuwe bijdragen geleverd aan het onderdeel.

Verdere ontwikkelingen in de algebra werden door Abu Bakr al-Karaji (953 - 1029) gemaakt in zijn traktaat ''al-Fakhri''. Daarin legt hij machtsverheffen en [[Wortel (wiskunde)|worteltrekken]] uit. In de [[10e eeuw]] vertaalde [[Abul Wafa]] het werk van Diophantus naar het Arabisch en definieerde hij de [[Tangens en cotangens|tangens]].

=== Volledige inductie en integreren ===
Het eerste [[Wiskundig bewijs|wiskundige bewijs]], dat gebruikmaakt van de methode van de [[volledige inductie]] dateert uit het jaar 1000, in een boek dat werd geschreven door Al-Karaji. Hij gebruikte het om wat later het [[binomium van Newton]] heette, aan te tonen. Ook rekende hij aan de [[driehoek van Pascal]] en gebruikte hij [[Faculteit (wiskunde)|faculteiten]]. De Franse wiskundige [[historicus]] F. Woepcke prees Al-Karaji als "de eerste die de theorie van algebraïsch rekenen introduceerde".<ref>{{fr}} {{aut|F. Woepcke}} - ''Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi'', Parijs, 1853</ref>

[[Alhazen|Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham]] was de eerste wiskundige die een formule opstelde voor de som van [[Machtsverheffen|vierde machten]], gebruikmakend van volledige inductie. Hij ontwikkelde een methode om een algemene formule op te stellen voor de som van integralen, wat een fundamentele ontwikkeling in de integraalrekening vormde.

=== Geboorte van de analytische meetkunde ===
[[Bestand:Tusi couple.jpg|thumb|Geschrift van [[Nasir al-Din al-Toesi]] over banen van planeten]]

[[Omar Khayyám]] was een veelzijdig [[Perzische Rijk|Perzisch]] wetenschapper, dichter en schrijver. Hij schreef in 1077 het boek ''Discussies over de Moeilijkheden in Euclidische wiskunde''. Het ging over de gebreken in de Elementen en vooral in het [[parallellenpostulaat]]. Hiermee legde hij de basis voor de [[analytische meetkunde]] en de [[niet-euclidische meetkunde]]. Hij was een van de eersten die een algemene meetkundige oplossing vond voor vierkantsvergelijkingen en hij hervormde de [[kalender]].

De Perzische wiskundige [[Nasir al-Din al-Toesi|Nasir al-Din Tusi]] maakte in de 13e eeuw grote vorderingen in de [[boldriehoeksmeting]]. Hij schreef ook een werk over het parallellenpostulaat van Euclides.

In de [[15e eeuw]] slaagde Jamshīd al-Kāshī erin om <math>\pi</math> tot op 16 decimalen na de komma te berekenen. Al-Kashi vond ook een algoritme voor de berekening van een willekeurige hele [[Machtsverheffen|macht]] van een getal. Dit algoritme werd later nog gebruikt door [[Paolo Ruffini (wetenschapper)|Paolo Ruffini]] en [[William George Horner]]. Andere belangrijke Arabische wiskundigen uit die tijd waren [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al]], [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]], [[Thabit ibn Qurra]] en [[Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]].

=== Andere Arabische ontwikkelingen ===
Verdere Arabische ontwikkelingen binnen de wiskunde omvatten een groot deel algebra en algoritmes, maar ook in de [[cryptografie]], integraalrekening, meetkunde en goniometrie werd grote vooruitgang geboekt:
* de ontwikkeling van de [[boldriehoeksmeting]].<ref name="ARABIC MATHS">{{en}}[https://web.archive.org/web/20180519000417/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Arabic_mathematics.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''Arabic mathematics: forgotten brilliance?'', april 1999, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref>
* de toevoeging van een decimaal punt in Arabische getallen.<ref name="ARABIC MATHS" />
* de ontdekking van alle moderne [[goniometrische functie]]s.<ref name="ARABIC MATHS" />
* de introductie van de [[cryptoanalyse]] en de [[Frequentieanalyse (cryptoanalyse)|frequentieanalyse]] door de wiskundige [[Al-Kindi]].<ref name="ARABIC MATHS" />
* de ontwikkeling van de analytische meetkunde.<ref name="ARABIC MATHS" />
* de ontwikkeling van een vroege algemene formule voor [[Infinitesimaal|infinitesimalen]]<ref name="ARABIC MATHS" /> en [[integraalrekening]]<ref name="ARABIC MATHS" /> door [[Alhazen|Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham]].
* het begin van de algebraïsche meetkunde door [[Omar Khayyám]].<ref name="ARABIC MATHS" />
* de ontwikkeling van de getaltheorie.<ref name="ARABIC MATHS" />

=== Stagnatie en verval ===
Tijdens de tijd van het [[Ottomaanse Rijk]] (vanaf de 15e eeuw) stagneerde de Arabische wiskunde. Een groot deel van de [[Arabische wereld]] werd veroverd door de Ottomanen: zij hingen zoals hun voorgangers de Seltsjoeken de [[islam]] aan, en gebruikten het Arabisch alfabet voor het [[Turks]]. Dit verval wordt vaak{{Bron?||2018|11|02}} parallel gelinkt aan de teloorgang van de Griekse wiskunde, toen de Romeinen in de [[2e eeuw v.Chr.]] de [[Hellenisme|hellenistische wereld]] veroverden.

== Middeleeuwse wiskunde in Europa ca. 500 - 1450 ==
De wiskunde werd in het [[Europa (werelddeel)|Europa]] van de [[Middeleeuwen]] door totaal andere problemen gedreven dan in de huidige wiskunde. Een van die drijfveren van toen was het geloof dat wiskunde informatie kon verschaffen over de orde in de natuur, omdat volgens de [[Bijbel (christendom)|Bijbel]] [[God (monotheïsme)|God]] "alle dingen had geordend in maat, getal en gewicht" (Wijsheid van Salomo 11:20).<ref>[http://home.kpn.nl/ensoe/num%20compositie.html {{aut|M.J. Van den Ende}} - ''Verkenningen in de numerieke compositie van enige psalmen'', Apeldoorn, 2001-2005]. [https://web.archive.org/web/20221003153645/http://home.kpn.nl/ensoe/num%20compositie.html Gearchiveerd] op 3 oktober 2022.</ref> Wiskunde werd als een verplicht onderdeel gegeven op de Middeleeuwse universiteiten. Mede daardoor zijn in Europa grote kathedralen gebouwd.

=== Vroege middeleeuwen ===
[[Bestand:Boethius initial consolation philosophy.jpg|thumb|Boethius geeft les aan zijn studenten (een [[Italië|Italiaans]] [[initiaal]] uit het manuscript ''Troost van Filosofie'' uit 1385)]]

[[Boëthius|Anicius Manlius Torquatus Severinus Boethius]] (vaak gespeld als Boëthius), een [[Romeinse Rijk|Romeins]] filosoof, schrijver en politicus uit de [[5e eeuw|5e]] en [[6e eeuw]], zorgde voor een plaats voor de wiskunde in het systeem van de [[Zeven vrije kunsten|septem artes liberales]] (7 vrije kunsten). Wiskunde (uiteraard niet onder die naam) werd toen ingedeeld onder het [[quadrivium]], een onderdeel van dat systeem dat te maken had met aantallen en verhoudingen en dus [[de facto]] wiskunde. De 4 studies die tot het quadrivium behoorden waren:
# [[Rekenen|Arithmetica]]: de leer van de (abstracte) getallen.
# [[Meetkunde|Geometria]]: meetkunde.
# [[Astronomie|Astronomia]]: sterrenkunde.
# [[Muziek|Musica]]: harmonieleer.

Boethius schreef een aantal belangrijke werken:
* ''De institutione arithmetica'': een vrije [[Latijn]]se vertaling van het [[Grieks]]e werk ''Introductie tot de Arithmetica'' van [[Nicomachus Gerasenus|Nicomachus]].
* ''De institutione musica'': een traktaat over muziek, eveneens ontleend aan Griekse bronnen.
* Een hele serie uittreksels van de ''Elementen van Euclides'', die hij becommentarieerde.
Zijn werken waren eerder theoretisch dan praktisch, maar vormden de basis van de studie van de wiskunde tot de herontdekking van de Griekse en Arabische wiskunde.<ref>{{en}} {{aut|John Caldwell}} - ''De Institutione Arithmetica'' en ''De Institutione Musica'', pp. 135-154 in Margaret Gibson, ed., ''Boethius: His Life, Thought, and Influence'', Oxford, Basil Blackwell, 1981; {{aut|Menso Folkerts}} - ''Boethius" Geometrie II'', Wiesbaden, Franz Steiner Verlag, 1970</ref>

=== Renaissance van de oude wiskunde ===
[[Bestand:Almagest 1.jpeg|thumb|Vertaling van de ''[[Almagest]]'' (1451)]]

In de [[12e eeuw]] reisden vele Europese geleerden naar [[Spanje]] en [[Sicilië]], op zoek naar wetenschappelijke werken en teksten van Arabische oorsprong. Het ging de geleerden voornamelijk om zuivere toegepaste wetenschappen, als [[plantkunde]], natuurkunde, [[astronomie]] en [[wiskunde]]. Vooral het boek ''al-Jabr wa-al-Muqabilah'' ([[Arabisch]]: حساب الجبر و المقابلة) van [[Al-Chwarizmi]] was bijzonder in trek. Het werd daarom in 1145 vertaald naar het Latijn door [[Robert van Chester]]. Maar ook het boek de ''Elementen van Euclides'' werd vertaald, zij het dan in verschillende versies van [[Adelard van Bath]], [[Herman van Karinthië]] en [[Gerard van Cremona]].

Deze nieuwe bronnen zorgden voor een vernieuwing van de West-Europese wiskunde uit die tijd. Leonardo van Pisa, beter bekend als [[Fibonacci]], schreef zelfs het eerste echte wiskundige werk in Europa sinds de tijd van Eratosthenes, waartussen een periode van meer dan 1000 jaar zat. Het werk, ''Liber Abaci'' (Het boek van de [[Abacus (rekentuig)|abacus]]), werd geschreven in 1202, maar in 1252, vlak na zijn dood, herzien. Het werk ging over algebra en de [[Arabisch-Indische cijfers|Arabische cijfers]] inclusief het cijfer nul.<ref>{{en}}[https://web.archive.org/web/20090907063800/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html {{aut|R. Knott}} - Fibonacci Numbers and Nature, 1996-2008]</ref> Hij introduceerde hiermee dit [[Talstelsel|cijferstelsel]] in Europa.

De Engelsman [[Thomas Bradwardine]] beweerde in de [[14e eeuw]] dat de [[snelheid]] ''v'' rekenkundig toenam zoals de verhouding van [[kracht]] ''F'' tot [[wrijving|weerstand]] ''R'' meetkundig toeneemt. Bradwardine concretiseerde dit met enkele praktische voorbeelden, omdat de [[logaritme]] om dit uit te drukken nog niet ontdekt was. Nu kunnen we zijn stelling als volgt noteren:
:<math>v = \log \left( \frac{F}{R} \right)</math><ref>{{en}} {{aut|Marshall Clagett}} - ''The Science of Mechanics in the Middle Ages,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), 1961, pp. 421-440.</ref>

De analyse van Bradwardine toont aan, dat wiskundig-technische kennis werd overgenomen van Arabieren, zoals [[al-Kindi]], en die kennis werd uitgebreid tot verschillende fysische problemen.<ref>{{en}} {{aut|John E. Murdoch}} - ''Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology'', pp. 215-254 in ''Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge'', Montréal, Institut d'Études Médiévales, 1969, pp. 224-227</ref>

== Vroegmoderne wiskunde in Europa ca. 1450 - 1600 ==
=== Boekdrukkunst: wiskunde voor iedereen ===
[[Bestand:Johannes Regiomontanus2.jpg|thumb|[[Regiomontanus]]]]
[[Bestand:Stevin-Thiende-page13.jpg|thumb|Fragment uit ''De Thiende'' (1586) van [[Simon Stevin]]]]
[[Bestand:Algebra by Rafael Bombelli.gif|thumb|Titelpagina van ''L'Algebra'' (1572) van [[Rafael Bombelli]]]]

De [[boekdrukkunst]] liet toe om wetenschappelijke en dus ook wiskundige werken sneller en in grotere oplagen te verspreiden. Het oudste gedrukte wiskundige boek is ''Theoricae nova planetarum'' van [[Georg von Peuerbach]] uit [[1472]]. In [[1478]] volgde een anoniem boek over meetkunde, namelijk ''Arte dell'Abbaco''. Het eerste gedrukte boek over de ''Elementen'' van Euclides verscheen in Duitsland in [[1482]].

=== Beperkingen ===
Bij het begin van [[Renaissance]] in Europa beperkte het gebruik van [[Romeinse cijfers]] de wiskunde. Om verbanden tussen gegevens te leggen werden meer woorden dan [[Lijst van wiskundige symbolen|wiskundige symbolen]] gebruikt. Er was bijvoorbeeld geen teken voor de [[Optellen|optelling]], geen [[Gelijkteken|gelijkheidsteken]] en geen gebruik van de ''x'' als een onbekende.

=== Uitvinding van de decimale schrijfwijze ===
Een algemene oplossingsmethode voor [[derdegraadsvergelijking]]en ontstond rond 1510. Deze ontdekking wordt toegeschreven aan [[Scipione del Ferro]], alhoewel de methode al eerder in [[Neurenberg]] was gepubliceerd door de boekdrukker [[Johannes Petreius]] in [[Girolamo Cardano|Girolamo Cardano's]] traktaat ''Ars magna''. Daarin stond ook een oplossingsmethode voor [[vierdegraadsvergelijking]]en, die werd ontdekt door Cardano's leerling [[Lodovico Ferrari]].<ref>{{en}}[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Ferrari.html {{aut|J.J. O'Connor}} & {{aut|E.F. Robertson}} - ''Lodovico Ferrari: biography and work'', 2005]</ref>

De vierkantswortel uit 2 trekken en dat getal uitschrijven, was moeilijk in die tijd. De Grieken wisten al dat de uitkomst geen [[natuurlijk getal]] was, noch een [[decimale breuk]]. In de [[16e eeuw]] werd daarop het antwoord gevonden: het kommagetal of decimale getal. De getallen werden geschreven met een komma op de plaats waar de natuurlijke schrijfwijze ophield. Deze schrijfwijze werd aanvankelijk ontwikkeld door [[John Napier]], maar later geperfectioneerd door de [[Vlaanderen|Vlaamse]] wiskundige [[Simon Stevin]].

In 1597 publiceerde de Duitse professor Michael Maestlin een eerste inverse schatting van de 'gulden verhouding' ('golden ratio'):<ref>{{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html {{aut|J.J. O'Connor & E.F. Robertson}} - ''The Golden ratio'', juli 2001, publicatie van de ''University of St. Andrews'' (Schotland)]</ref>
:<math>\phi \approx 0{,}6180340</math>

De latere breukvorm geeft ons het echte getal phi:
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887...</math>

=== Opkomst van de goniometrie ===
{{Zie hoofdartikel|Goniometrie}}

Gedreven door de eisen van de [[navigatie]]kunde en [[cartografie]] om nauwkeuriger kaarten te tekenen van grotere gebieden (niet alleen [[wereldkaart]]en, maar ook [[sterrenkaart]]en), groeide de goniometrie (ook wel trigonometrie of driehoeksmeetkunde) uit tot één der belangrijkste takken uit de wiskunde van de [[16e eeuw]]. [[Regiomontanus]] publiceerde in [[1533]] de eerste gedrukte tabel met [[Sinus en cosinus|sinus- en cosinuswaarden]].<ref>{{en}} {{aut|[[Ivor Grattan-Guinness]]}} - ''The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences'', W.W. Norton, 1997, {{ISBN|0393320308}}</ref> De [[Duitsland|Duitse]] [[wiskundige]] en [[astronoom]] Bartholomaeus Pitiscus was de eerste die het woord trigonometrie gebruikte, namelijk voor de titel van zijn werk ''Trigonometria'' uit 1595.

Aan het einde van de 16e eeuw hebben de Duitser Regiomontanus en de Fransman [[François Viète]] de Arabisch-Indiase cijfers ingevoerd.

=== Uitvinding van de complexe getallen ===
{{Zie hoofdartikel|complex getal}}

De formule van de Italiaanse wiskundigen [[Scipione del Ferro]] en [[Niccolò Tartaglia]] voor de oplossingen van een [[derdegraadsvergelijking]] plaatste de wiskundigen van de 16e eeuw voor een nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (reële) oplossingen heeft, komen in die formule namelijk wortels uit [[negatief getal|negatieve getallen]] voor en die waren in die tijd nog niet gedefinieerd. Ze kregen de naam imaginaire getallen en de gewone getallen heetten vanaf toen 'reëel'. [[Rafael Bombelli]], de bedenker van de complexe getallen, stelde de rekenregels op. Hierbij stelde hij als [[axioma]] de genoemde eigenschap van het imaginair getal ''i'', waarbij ''i'' volgende eigenschap bezit:<ref name="IMAGINAIR">{{en}}[http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/complexorigin.html {{aut|Philip Spencer}} - ''The Origin of Complex Numbers and the Notation "i"'', 1999]</ref>
:<math>i^2 = -1 \,</math>

Aan het einde van de [[18e eeuw]] legden [[Leonhard Euler]] en [[Carl Friedrich Gauss]] de basis voor de getaltheorie en de [[Functietheorie|complexe functietheorie]].

== Wiskunde in de 17e en 18e eeuw ==
=== Grote ontdekkingen ===
[[Bestand:Kepler-solar-system-1.png|thumb|Model van het [[zonnestelsel]] uit ''Mysterium Cosmographicum'' ([[1596]]) van [[Johannes Kepler]]]]

In 1620 stelde [[Henry Briggs]] [[logaritmetafel]]s op, door handmatig 54 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken tot 16 cijfers na de komma. Tot de opkomst van de computer hebben zijn tabellen gediend voor alle berekeningen.

[[Tycho Brahe]], een [[Denemarken|Deens]] astronoom, noteerde de posities van de planeten aan de hemel. [[Johannes Kepler]] verwerkte die gegevens met hulp van de Schot [[John Napier]], die de [[natuurlijke logaritme]]n of naar hem genoemd Neperse logaritmen onderzocht. Kepler stelde in zijn [[wetten van Kepler]], dat de planeten bewegen in [[Ellips (wiskunde)|ellipsen]] rond de [[zon]]. De analytische meetkunde, ontwikkeld door de Fransman [[René Descartes]], maakte het mogelijk om die elliptische banen voor te stellen in een grafiek met het [[Cartesisch coördinatenstelsel]].

Johannes Kepler verenigde de stelling van Pythagoras en de [[gulden snede]] in zijn [[driehoek van Kepler]] en schreef:

{{citaat|De meetkunde heeft twee grote schatten: de ene is de stelling van Pythagoras en de andere de verdeling van een lijn in uiterste en middelste reden; de eerste kunnen we vergelijken met een hoeveelheid goud, de tweede mogen we waarlijk een kostbaar juweel noemen.}}

=== Verkenning van nieuwe wiskundige terreinen ===
Naast het bestuderen van de hemel en de daarop toegepaste wiskunde, begonnen enkele wetenschappers het terrein van de wiskunde uit te breiden. [[Pierre de Fermat]] en [[Blaise Pascal]] legden de grondslag voor het onderzoek naar [[kansrekening]] (dat toen nog waarschijnlijkheidsrekening heette) en de regels van de [[combinatoriek]]. Pascal, een [[Apologeten|apologeet]], probeerde om de pas ontdekte regels van de kansrekening te gebruiken om het leven te wijden aan de religie. Hij beweerde het volgende: "Ook al zijn de kansen klein dat we op aarde slagen in wat we doen, de beloningen in het hiernamaals zullen veel groter zijn".

=== Ontdekking van de differentialen en integralen ===
[[Bestand:Newton-Principia-Mathematica 1-500x700.jpg|thumb|Voorpagina van de ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]'' (1687) van [[Isaac Newton]]]]
[[Bestand:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm (von) Leibniz]]]]
{{Zie hoofdartikel|Geschiedenis van de analyse (wiskunde)|Differentiaalrekening|Integraalrekening}}

[[Isaac Newton|Sir Isaac Newton]] ontdekte zijn [[wetten van Newton]], terwijl hij de wetten van Kepler probeerde te verklaren. Hij ontwikkelde daartoe een nieuwe wiskundige tak, de [[Analyse (wiskunde)|wiskundige analyse]]. Los van Newton ontwikkelde [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] in Duitsland ook de analyse.

De analyse vond toepassingen van meetkundige aard (onderzoek van [[Extreme waarden|minima]] en [[Extreme waarden|maxima]], bepaling van de [[raaklijn]] aan een [[kromme]] en de berekening van [[oppervlakte]]n en [[Inhoud (volume)|inhouden]]) en van fysische aard ([[snelheid]], [[Plaatstijdfunctie|bewegingsvergelijking]]en en [[Vector (wiskunde)|bewegingsvectoren]]), welke leidden tot nieuwe methoden, waarin het begrip [[Oneindigheid|oneindig]] een belangrijke rol speelde.

De eerste toepassingen van de integraalrekening werden gevonden op het gebied van de [[mechanica]]. Het concept van de integraal is in de loop van de tijd op allerlei manieren gegeneraliseerd en toegepast op allerlei situaties.

Leibniz voerde de notatie met de langgerekte S in. De integraal <math>\int_a^b f(x)\,dx</math> is de limiet van <math>\sum f(x)\Delta x</math>; het ∫-teken is de limietvorm van het [[sommatie]]teken en stelt de integratie voor, ''a'' en ''b'' zijn de eindpunten van het [[Interval (wiskunde)|interval]], ''f(x)'' is de [[Functie (wiskunde)|functie]] die geïntegreerd wordt, en ''dx'' is de [[limiet]] van ''Δx'' en stelt een infinitesimaal klein stukje van de [[Coördinatenstelsel|x-as]] voor. Historisch gezien stelde ''dx'' een [[infinitesimaal]] voor, en de langgerekte S betekende "som". Moderne theorieën zijn hier niet meer op gebaseerd en de traditionele symbolen zijn nu alleen een wiskundige notatie.
[[Guillaume de l'Hôpital]] formuleerde zijn [[regel van l'Hôpital]] in het werk ''[[L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes]]'' ([[1696]]) voor limieten van het type 0/0 en ∞/∞.

In de 17e en 18e eeuw werden concepten als de [[variatierekening]], gewone en partiële [[differentiaalvergelijking]]en, [[Fourieranalyse]] en [[voortbrengende functie]]s ontwikkeld voor toepassingen als onder meer diffusie van warmte. In 1697 werden vier oplossingen voor de [[brachistochrone kromme]] gepubliceerd.

=== Het getal ''e'' ===
{{Zie hoofdartikel|e (wiskunde)}}

De uitvinding van de decimale schrijfwijze leidde John Napier ertoe om een nieuw constant getal te bestuderen: ''[[e (wiskunde)|e]]'', dat soms ook de ''constante van Napier'' of het ''getal van Euler'' wordt genoemd. Het kwam voor het eerst voor in een tabel in het appendix van een werk over logaritmen, van de hand van Napier, namelijk ''Mirifici logarithmorum canonis constructio'' uit [[1618]].<ref>{{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html {{aut|J.J. O'Connor}} & {{aut|E.F. Roberson}} - ''The MacTutor History of Mathematics archive: the number e'', University of St.-Andrews, Schotland, 2001]</ref> Toch werd het getal zelf niet genoemd, maar wel een lijst met natuurlijke logaritmen die berekend waren vanuit een constant getal. De letter ''e'' werd in [[1727]] door Euler, die zorgde voor een standaardisering van wiskundige termen, ingevoerd en verwijst mogelijk naar de eerste letter van het woord '''''e'''xponentieel''. Daarvoor werd het getal aangeduid met de letters ''b'' of ''c''.

De ontdekking van de waarde van die constante wordt toegeschreven aan [[Jakob Bernoulli]], die erin slaagde om de volgende uitdrukking voor deze constante te vinden:
: <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
Het eerste gebruik van de constante komt voor in een brief van Gottfried Leibniz aan [[Christiaan Huygens]] in 1690 en 1691.

=== Euler: nieuwe wiskundige termen en symbolen ===
[[Bestand:Leonhard Euler.jpg|thumb|[[Leonhard Euler]] <br> door Emanuel Handmann]]

De Zwitser [[Leonhard Euler]] heeft de wiskundige termen gestandaardiseerd. Hij gaf rond [[1777]] bijvoorbeeld de [[vierkantswortel]] van −1 de naam ''i''.<ref name="IMAGINAIR" /> Hij voerde ook het gebruik van de Griekse letter <math>\pi</math> in als verhouding van de [[omtrek]] van de [[cirkel]] tot zijn [[middellijn]] en gaf de naam ''[[e (wiskunde)|e]]'' aan het grondtal van de [[natuurlijke logaritme]]. Ook de huidige namen van bijvoorbeeld [[goniometrie|goniometrische]] [[functie (wiskunde)|functies]] als [[sinus en cosinus|sinus]], [[Sinus en cosinus|cosinus]] en [[Tangens en cotangens|tangens]] stammen van hem. Euler bewees dat het probleem van de [[zeven bruggen van Koningsbergen]] geen oplossing bezit en legde daarmee de grondslag van de [[grafentheorie]]. Samen met [[Lorenzo Mascheroni]] ontdekte hij de [[constante van Euler-Mascheroni]]. Euler leidde de [[Formule van Euler]] af, die een ''"verbazend verband legt tussen e, i en <math>\pi</math>, een opmerkelijke gelijkheid"'':<ref>{{en}} Keith Devlin, ''Micro-Maths'', p 60, Macmillan 1984, {{ISBN|0333390075}}</ref>

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>

als bijzonder geval van zijn meer algemene

:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta \,</math>

Volgens [[Nobelprijs]]winnaar [[Richard Feynman]] is dit ''"de meest opmerkelijke formule van de wiskunde, ons juweel"''.<ref>{{en}}Feynman, Leighton, Sands, ''The Feynman Lectures on Physics'', Volume I, pp. 22-10, Addison-Wesley 1975</ref>

=== Het Vermoeden van Goldbach ===
Nog altijd onbewezen is het [[Vermoeden van Goldbach]], dat [[Christian Goldbach]] formuleerde in een brief aan [[Leonhard Euler]] op [[7 juni]] [[1742]]:<ref>{{de}} {{fr}} {{la}}[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Brief van Goldbach aan Euler, waarin het Vermoeden wordt geformuleerd (Lettre XLIII)]. [https://web.archive.org/web/20120517154346/http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Gearchiveerd] op 17 mei 2012.</ref>

{{citaat|Elk [[even]] [[natuurlijk getal|getal]] groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen, een priemgetal mag hierbij twee keer worden gebruikt.}}

Tot nu zijn getallen tot 4&nbsp;×&nbsp;10<sup>18</sup> gecontroleerd en de meeste wiskundigen geloven dat het vermoeden waar is, maar er is nog geen [[Wiskundig bewijs|bewijs]] gevonden. Grote even getallen kunnen meestal op veel manieren als de som van 2 priemgetallen worden geschreven.<ref>{{en}}[http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/goldbach.en Het Vermoeden van Goldbach: voer een getal in en de computer verdeelt het in 2 priemgetallen]</ref>

== Wiskunde in de 19e eeuw ==
=== De wiskundige analyse ontwikkelt zich verder ===
In de [[19e eeuw]] zorgde [[Augustin Louis Cauchy]] als eerste voor een formele basis voor de differentiaal- en integraalrekening door zijn introductie van de [[Cauchyrij]].<ref>{{Citeer web |url=https://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Cauchy.html#werk |titel={{aut|Hans Sterk}} - ''Cauchy en zijn werk'', Math4all |bezochtdatum=16 juli 2023 |archiefdatum=5 oktober 2013 |archiefurl=https://web.archive.org/web/20131005091141/http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Cauchy.html#werk |dodeurl=ja}}</ref> Hij begon ook de formele theorie van de [[functietheorie|complexe analyse]] te ontwikkelen. [[Siméon Poisson]], [[Joseph Liouville]], [[Joseph Fourier]] en andere wiskundigen bestudeerden [[partiële differentiaalvergelijking]]en en de [[Fourieranalyse]].

In [[1854]] voerde [[Bernhard Riemann]] zijn [[Riemannintegratie|integratietheorie]] in. De analyse kreeg enige jaren later door [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] een rekenkundige in plaats van een meetkundige grondslag door zijn invoering van de {{nowrap|''ε-δ-definitie''}} van de [[limiet]].

Rond dezelfde tijd leidden pogingen om de integratietheorie van Riemann te verfijnen en de ontdekking van ''monsterlijke'' objecten (zoals nergens [[Continue functie (analyse)|continue functies]], overal continue maar nergens [[differentieerbaarheid|differentieerbare functie]]s en [[ruimtevullende kromme]]n) tot de ontwikkeling van de [[maattheorie]] door [[Camille Jordan]].

In 1835 duikt voor het eerste de naam ''goldener Schnitt'' ([[gulden snede]]) op, in een werk van de Duitse wiskundige [[Martin Ohm]].<ref>{{de}} {{aut|Martin Ohm}} - ''Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik'', Band 2, Volckmar, Leipzig, 1835 & 1837</ref>

=== Gauss ===
[[Bestand:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|Carl Friedrich Gauss]]
[[Bestand:Bernhard riemann.jpg|thumb|[[Bernhard Riemann]], de grondlegger van de Riemann-meetkunde]]

De [[19e eeuw]] was de tijd van [[Carl Friedrich Gauss]], die onderzoek verrichtte naar de [[Functietheorie|complexe functietheorie]], meetkunde en de [[Convergentie (wiskunde)|convergentie]] van [[Rij (wiskunde)|rijen]]. Hij gaf het eerste goede bewijs voor de [[hoofdstelling van de algebra]] en de [[Kwadratische reciprociteit|wet van de kwadratische reciprociteit]]. Hij bedacht de [[kwadratuurformule van Gauss]] om integralen te benaderen en is bekend van de [[normale verdeling|klok van Gauss]]. Hij voerde ook het [[modulair rekenen]] in voor zijn beroemde formule om de [[paasdatum]] te berekenen met de woorden ''notiones, non notationes'', dus begrip, niet notatie is van belang.

De [[abstracte algebra]] werd gevormd door de Ierse wiskundige [[William Rowan Hamilton]], met de [[Ring (wiskunde)|ringtheorie]] en de [[quaternion]]en. De Brit [[George Boole]] bedacht rond 1850 een nieuwe soort algebra, die we nu kennen als de [[booleaanse algebra]]. Daarin werkt men met [[booleaanse operator]]en + en x op de booleaanse waarden (0 en 1) en er geldt bijvoorbeeld: 1 + 1 = 1 (waar of waar = waar). Booleaanse algebra is het startpunt van de [[wiskundige logica]] en kent toepassingen in de [[informatica]].

=== Ontwikkeling van de niet-euclidische meetkunde ===
Deze eeuw zag vrijwel de hele ontwikkeling van twee nieuwe takken binnen de [[niet-euclidische meetkunde]] (namelijk de [[hyperbolische meetkunde]] en de [[elliptische meetkunde]]), waarbij het parallellenpostulaat van Euclides niet langer werd aangenomen. De Russische wiskundige [[Nikolaj Lobatsjevski|Nikolai Ivanovich Lobachevsky]] en diens rivaal, de Hongaarse wiskundige [[János Bolyai]], ontdekten en ontwikkelden rond 1830 onafhankelijk van elkaar de hyperbolische meetkunde, waarin de uniekheid van [[Evenwijdig|evenwijdige rechten]] niet langer stand hield. Vanaf dat moment beschouwde men twee [[kromme]]n ook parallel. In deze nieuwe vorm van meetkunde kon het zijn dat de som van de [[Hoek (meetkunde)|hoeken]] van een [[Driehoek (meetkunde)|driehoek]] minder of meer was dan 180° (bijvoorbeeld bij [[ruimtehoek]]en).

De elliptische meetkunde werd later in de 19e eeuw ontwikkeld door de Duitser [[Bernhard Riemann]]. Hierbij werd gesteld dat geen enkele parallelle lijn of kromme bestond en dat de som van de hoeken van een driehoek meer dan 180° was. Riemann stond ook in voor de ontwikkeling van de naar hem genoemde [[Riemann-variëteit|Riemann-meetkunde]], waarin de drie typen meetkunde werden verenigd en waarbij hij het concept van [[Variëteit (wiskunde)|variëteit]] definieerde. Hij werkte daarmee ook een algemeen idee uit over krommen en oppervlaktes.

Die niet-euclidische meetkunde heeft toepassingen binnen de [[Krommingstensor van Riemann|gekromde ruimte]] volgens de [[algemene relativiteitstheorie]] van [[Albert Einstein]].

=== Onoplosbare vraagstukken ===
[[Niels Henrik Abel]], een Noors wiskundige, bewees in 1824 dat er geen algemene oplossingsmethode bestaat voor een [[vijfdegraadsvergelijking]]. Andere wiskundigen uit die tijd gebruikten dit bewijs om aan te tonen dat het onmogelijk was om met een liniaal en een passer een hoek in drie gelijke delen te verdelen (het zogenaamde [[Driedeling van de hoek|probleem van de trisectie]]).

[[Ferdinand von Lindemann|Carl Louis Ferdinand von Lindemann]] toonde in 1882 aan dat het getal <math>\pi</math> [[Transcendent getal|transcendent]] is. Hieruit volgt dat het niet mogelijk is om een vierkant zo te construeren dat het dezelfde oppervlakte bezit als die van een gegeven cirkel (de [[kwadratuur van de cirkel]]).

Hiermee was de onmogelijkheid bewezen om twee vraagstukken waarmee Griekse wiskundigen zich al bezighielden op te lossen.

Abels en [[Évariste Galois]]' onderzoek naar oplossingen voor vijfdegraadsvergelijkingen legden de grondslag voor de ontwikkeling van de [[groepentheorie]] en de daarmee verwante takken binnen de abstracte algebra. In de 20e eeuw vonden fysici de groepentheorie ideaal om [[symmetrie]] te bestuderen<ref>{{fr}}Landau et Lifchitz, ''Mécanique quantique'', chapitre xii théorie de la symétrie pp 392-430, Editions Mir 1967</ref> in de [[Kristal (natuurwetenschappen)|kristalkunde]] en [[kwantumfysica]].

=== Einde van de 19e eeuw ===
[[Bestand:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|[[Georg Cantor]] van het [[diagonaalbewijs van Cantor|diagonaalbewijs]]]]

In 1891 gaf de Duitse wiskundige [[Georg Cantor]] zijn beroemde [[Diagonaalbewijs van Cantor|diagonaalbewijs]], waaruit blijkt dat er weliswaar even veel rationale getallen zijn als natuurlijke getallen, maar dat het aantal reële getallen groter is. Hij voerde de begrippen [[transfiniet getal]] en de [[kardinaalgetal|kardinaal-]] en [[ordinaal getal|ordinaalgetallen]] in. [[Richard Dedekind]] baseerde met een nieuwe definitie door [[Dedekindsnede]]n van de irrationale getallen de [[rekenen|rekenkunde]] op een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] [[Axioma|axioma's]].

Eind 19e eeuw legde [[Gottlob Frege]] de fundamenten van de moderne, [[wiskundige logica]] en de [[filosofie|analytische filosofie]]. [[Giuseppe Peano]] ten slotte werkte verder aan de formele [[beschrijving]] van de rekenkunde.

De 19e eeuw kende niet alleen een groot aantal revolutionaire ontdekkingen, maar ook een groot aantal nationale wiskundige genootschappen: de [[London Mathematical Society]] uit 1865, de [[Société Mathématique de France]] uit 1872, de [[Edinburgh Mathematical Society]] uit 1883, de [[Circolo Matematico di Palermo]] uit 1884 en de [[American Mathematical Society]] uit 1888.

== Wiskunde in de 20e eeuw ==
Voor de 20e eeuw kwamen de meeste wiskundigen uit een welgestelde familie (zoals Napier) of werden ze gestimuleerd en betaald door [[mecenas]]sen (zoals Gauss). Een klein aantal, waaronder Fourier, werden betaald door [[College (universiteit)|colleges]] te geven in [[universiteit]]en. Heel wat wiskundigen, zoals [[Niels Henrik Abel]], stierven in armoede door ziekte en verwaarlozing. Wiskunde werd in de [[20e eeuw]] een beroep. Ieder jaar werden prijzen aan wiskundigen toegekend en er werden arbeidsplaatsen gecreëerd in [[onderwijs]] en [[industrie]].

=== De 23 problemen van Hilbert ===
[[Bestand:Hilbert.jpg|thumb|[[David Hilbert]] in 1912]]

In 1900 hield de Duitse wiskundige [[David Hilbert]] een lezing<ref>{{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html De redevoering die professor Hilbert hield in 1900, waarin hij zijn 23 problemen formuleerde]. [https://web.archive.org/web/20230603163651/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html Gearchiveerd] op 3 juni 2023.</ref> op het [[Internationaal Wiskundecongres]], waarop hij [[23 problemen van Hilbert|23 problemen]] opsomde, die in de wiskunde nog onopgelost waren. Hij daagde de wiskunde uit, om ze voor het jaar 2000 allemaal op te lossen. In het jaar 2000 werd een stand van zaken opgemaakt en er bleek dat er amper 10 waren opgelost. Van de 13 overige problemen waren er nog 11 gedeeltelijk opgelost en 2 bleven open:
* Geef een bewijs van de [[Riemann-hypothese]].
* Kan de natuurkunde uitgaande van [[axioma]]'s worden beschreven?

Vandaag de dag zijn er 18 problemen opgelost, sommige door onoplosbaarheid ervan te bewijzen, 3 problemen zijn gedeeltelijk opgelost en 2 (zie hierboven) staan nog altijd open.

=== Srinivasa Ramanujan: autodidact en wiskundige ===
Een van de opvallendste figuren op het wiskundige toneel in de 20e eeuw was de [[India|Indiër]] [[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan]], die, ondanks dat hij [[autodidact]] was, ongeveer 4000 [[stelling (wiskunde)|stelling]]en bewezen of nagelaten heeft, waaronder de mogelijkheden van een [[hogelijk samengesteld getal]], een aantal stellingen in verband met de [[getaltheorie]] en zijn beroemde Ramanujan-functie met toepassingen in de [[snaartheorie]]. Hij deed ook ontdekkingen op vlak van de [[gammafunctie]], [[modulair rekenen]], [[Rij (wiskunde)|divergente rijen]], [[Rij (wiskunde)|hypergeometrische rijen]] en de [[priemgetalstelling]].<ref>{{en}}[http://www.usna.edu/Users/math/meh/ramanujan.html {{aut|M. Hoffman}} - ''Srinivasa Ramanujan: biography and works'', 2002]</ref>

=== De wiskunde in één systeem ===
Begin 20e eeuw werden pogingen ondernomen om de wiskunde in één enkel formeel systeem te vangen. Om te beginnen werd de [[rekenen|rekenkunde]] van de [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] geformaliseerd. De meest geslaagde poging hiertoe werd ondernomen door [[Bertrand Russell]] en [[Alfred North Whitehead]] in hun boek ''[[Principia Mathematica]]''.

=== Bewijzen van onbewijsbaarheid ===
In [[1929]] bewees [[Kurt Gödel]] zijn [[volledigheidsstelling van Gödel|volledigheidsstelling]]: de [[Predicatenlogica|standaardpredicatenlogica]] was volledig. Een jaar later publiceerde hij zijn [[Onvolledigheidsstellingen van Gödel|twee onvolledigheidsstellingen]] in een artikel in het ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', getiteld "Über formal unentscheidbare Sätze der ''Principia Mathematica'' und verwandter Systeme I". De I duidt erop dat Gödel van plan was een toegankelijker vervolgartikel te schrijven, omdat hij vreesde dat zijn artikel zelfs voor zijn collega's te moeilijk zou zijn. Die vrees bleek ongegrond: het belang van zijn resultaat werd al spoedig onderkend.

De eerste stelling luidt:
{{Cquote|Ieder [[axioma]]tisch wiskundig systeem dat voldoende krachtig is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, is ofwel onvolledig (dat wil zeggen dat er ware uitspraken zijn die niet bewezen kunnen worden), ofwel inconsistent (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden).}}

Anders geformuleerd zal ieder consistent axiomatisch systeem van voldoende kracht om de [[getaltheorie]] in uit te drukken, stellingen kennen, die noch bewezen, noch ontkracht kunnen worden binnen dat systeem, en dus [[stopprobleem|onbeslisbaar]] zijn.

Gödels tweede onvolledigheidsstelling houdt in dat de formele rekenkunde haar eigen consistentie niet kan bewijzen. Dat wil zeggen dat het niet kan bewezen worden binnen een gegeven consistent axiomatisch systeem.

=== Computerwiskunde ===
[[Bestand:Eniac.jpg|thumb|Met de uitvinding van de computer (hier de [[ENIAC]] uit [[1948]]) gaat de [[Theoretische informatica|computerwiskunde]] van start]]

Met de [[computer]]s kwam ook de [[numerieke wiskunde]] op, een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen in de [[Functionaalanalyse|analyse]] en [[Differentiaalvergelijking|differentiaalrekening]] bestudeerd worden. Bijvoorbeeld met de [[Fast Fourier transform]] voor analyse van golfverschijselen zoals geluid en elektromagnetische straling, en gecompliceerde [[wiskundig model|wiskundige modellen]], zoals [[eindige-elementenmethode]] konden worden gebouwd en doorberekend. Hiermee werd het toepassingsgebied van de wiskunde verbreed naar bijvoorbeeld [[weersvoorspelling]] en [[kansrekening]]. In de [[Tweede Wereldoorlog]] ontstonden ook toepassingen van het [[Simplexmethode|simplexalgoritme]] en [[Monte-Carlosimulatie]] en de [[cryptografie]].

In [[1976]] baarden [[Wolfgang Haken]] en [[Kenneth Appel]] opzien door met een computer de [[vierkleurenstelling]] te bewijzen.

Met een [[supercomputer]] berekenden de Japanner [[Yasumasa Kanada]] en zijn team aan de [[Universiteit van Tokio]] in [[oktober 2005]] 1,241 biljoen decimalen van <math>\pi</math>.<ref>{{en}}[https://web.archive.org/web/20110312035524/http://www.super-computing.org/pi_current.html Melding op de Kanada lab-website: ''Computing current pi-value'', 20 oktober 2005]</ref>

=== Oude problemen opgelost ===
[[Bestand:Andrew wiles1-3.jpg|thumb|[[Andrew Wiles|''Sir'' Andrew John Wiles]] bewees de [[laatste stelling van Fermat]] in 1995]]

[[Kurt Gödel]] in [[1940]] en [[Paul Cohen (wiskundige)|Paul Cohen]] in het begin van de [[1960-1969|jaren 60]], bewezen dat de [[continuümhypothese]] onafhankelijk is van de standaardaxioma's uit de [[verzamelingenleer]].<ref>{{en}}Matt Foreman, [https://web.archive.org/web/20220804071728/http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/presentations/foreman.pdf ''Has the Continuum Hypothesis been settled?'']</ref>

[[Aleksander Gelfond]] en [[Alan Baker]] bewezen de [[transcendent getal|transcendentie]] van een groot aantal getallen onder meer de [[constante van Gelfond]], maar van een aantal zoals de [[constante van Euler-Mascheroni]] is nog niet geweten<ref>{{en}}Alan Baker, ''A concise introduction to the theory of numbers'', p 54, Cambridge University Press 1984, {{ISBN|0-521-28654-9}}</ref> of ze transcendent of [[algebraïsch getal|algebraïsch]] zijn.

In [[1995]] bewees [[Andrew Wiles]] de [[laatste stelling van Fermat]]. Zeven jaar lang heeft Wiles in isolement gewerkt aan dit bewijs en in [[1993]] presenteerde hij het resultaat voor een zaal vol wiskundigen aan het Isaac Newton Instituut in [[Cambridge (Engeland)|Cambridge]]. Bij controle onder regie van het tijdschrift ''Inventiones Mathematicae'' bleek in de bewijsvoering een fout te zitten. Samen met Richard Taylor kon Wiles het bewijs corrigeren en op [[19 september]] [[1994]] was het bewijs geleverd. Het meer dan 100 pagina's tellende bewijs werd gepubliceerd in de ''Annals of Mathematics'' in mei 1995.<ref>{{en}}[http://modular.fas.harvard.edu/edu/Spring2004/129/references/flt/flt.pdf {{aut|A. J. Wiles}} - ''Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem'', Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551]</ref> Naast de Wolfskehl-geldprijs, die in 1908 was uitgeloofd voor degene die de stelling zou bewijzen, ontving Wiles de [[Rolf Schock-prijs]] van de [[Kungliga Vetenskapsakademien|Koninklijke Academie van Wetenschappen van Zweden]] ([[Zweeds]]: ''Kungliga Vetenskapsakademien'') in [[Stockholm]] en de [[Prix Fermat]] van de [[Université Paul Sabatier]]. Daarnaast kreeg hij in 1998 een speciale vermelding bij de uitreiking van de [[Fields-medaille]], hoewel hij toen al boven de leeftijdsgrens van 40 jaar zat.

=== Wiskunde op grote schaal ===
Wiskunde werd stilaan een wereldtaal, waardoor grotere samenwerkingsverbanden tussen allerlei [[universiteit]]en, genootschappen en instituten ontstonden. Het beroemdste voorbeeld vindt men in de [[groepentheorie]], namelijk de [[classificatie van eindige enkelvoudige groepen]] (ook wel de "enorme stelling" genoemd). Dit project werd gehouden tussen 1955 en 1983 en het betrok meer dan 100 wiskundigen, die samen tienduizenden pagina's beschreven hebben.

Een groep Franse wiskundigen, die publiceerden onder het [[pseudoniem]] ''[[Nicolas Bourbaki]]'', probeerden om alle kennis van de wiskunde te bundelen. Het resultaat was een gigantische hoeveelheid pagina's, gebundeld in 8 boeken, die een controversiële invloed uitoefenden op het wiskundeonderricht.<ref>{{en}} {{aut|Maurice Mashaal}} - ''Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians'', [[American Mathematical Society]], 2006 {{ISBN|0821839675}} - {{ISBN|9780821839676}}</ref>

Door die mondiale samenwerking ontstonden ook vele nieuwe takken van de wiskunde: [[wiskundige logica]], [[topologie]], [[complexiteitstheorie]], de [[snaartheorie]] en de [[speltheorie]].

[[John Conway]] breidde het getalbegrip uit tot de [[surreëel getal|surreële getallen]], die alle bekende getallen logisch definiëren en uitbreiden en formele bewijzen opleveren voor stellingen als {{nowrap|1 + 1 {{=}} 2.}}

[[Benoît Mandelbrot]], [[Wacław Sierpiński]], [[Helge von Koch]] en anderen ontwikkelden de theorie van de [[fractal]]en, die onder meer sponsen, waterlopen en andere fenomenen modelleert<ref>{{en}}Benoit B. Mandelbrot, ''The fractal geometry of nature'', Freeman 1982, {{ISBN|0716711869}}</ref> met [[Hausdorff-dimensie|dimensies]] die niet langer een natuurlijk getal als 1, 2 of 3 zijn, maar een reëel getal.

== Aspecten van de wiskunde ==
* [[Filosofie van de wiskunde]]
* [[Geschiedenis van de logica]]
* [[Grondslagen van de wiskunde]]
* [[Etnowiskunde]]

{{Appendix||2=
== Literatuur ==
* {{aut|[[Dirk Jan Struik|DJ Struik]]}}. Geschiedenis van de wiskunde. 2008 {{ISBN|9789031501489}}
* {{aut|AW Grootendorst}}. Grepen uit de geschiedenis van de wiskunde. 2006 {{ISBN|9789040712739}}
* {{aut|P Odifreddi}}. Geschiedenis van de Wiskunde in de Twintigste Eeuw, van verzamelingen tot complexiteit. 2005 {{ISBN|9789050410885}}
* {{aut|P Lanser}}. De Laatste Stelling van Fermat. 2000 {{ISBN|9789050410656}}
* {{aut|F Beukers}}. De geschiedenis en de wiskunde van het getal pi. 2000 {{ISBN|9789050410625}}
== Bronnen ==
* {{en}} DE Joyce, [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/ History of Mathematics, 1994 - 1998.]
* {{en}} DJ Melville, [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/index.html Mesopotamian Mathematics, 2003 - 2007.]
* [[Dirk Jan Struik|DJ Struik]], [https://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/index.htm Geschiedenis van de wiskunde, 1988.]
* {{en}} Simon Fraser University. [https://web.archive.org/web/20080116223614/http://www.math.sfu.ca/histmath/ History of Mathematics]. tijdlijn
* W Jansen Heijtmajer, [https://www.xs4all.nl/~wjsn/tekst/wiskunde.htm De beknopte geschiedenis van de wiskunde].
== Voetnoten ==
{{References||30em}}
}}
{{Commonscat|History of mathematics}}
{{Etalage|16403539|2009|04|13}}
{{Navigatie wetenschapsgeschiedenis}}

[[Categorie:Geschiedenis van de wiskunde| ]]