Brontekst bekijken van Gelijkheid van Parseval

In de [[functionaalanalyse]] is de '''gelijkheid van Parseval''', genoemd naar de Franse [[wiskundige]]  [[Marc-Antoine Parseval]], voor ruimten met een [[inproduct]] de generalisatie van de [[stelling van Pythagoras]]. De formule vindt vooral toepassing bij de orthogonale ontbinding in componenten, in het bijzonder bij [[Fouriertransformatie]]s.

==Gelijkheid==
Laat <math>V</math> een [[vectorruimte|lineaire ruimte]] met inproduct <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> zijn en <math>B</math> een [[orthonormale basis]] daarin, dan geldt voor elke <math>v\in V</math> de ''gelijkheid van Parseval'':

:<math>\|v\|^2=\langle v,v\rangle=\sum_{b\in B}|\langle v,b\rangle|^2</math>

Omgekeerd geldt dat een willekeurig orthonormaal stelsel slechts dan een basis is, als de gelijkheid van Parseval geldt.

==Toepassing==
De gelijkheid van Parseval is geldig voor kwadratisch integreerbare functies.
Voor de  [[Fourierreeks]]

:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}</math>

met coëfficiënten

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, \mathrm{d}x</math>

luidt de gelijkheid van Parseval:

:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\,\mathrm{d}x=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 </math>

waarbij het linkerlid ook de energie van de functie f(x) genoemd wordt.

== Zie ook ==
* [[Energiesignaal]]

[[Categorie:Wiskundige analyse]]
[[Categorie:Functionaalanalyse]]
[[Categorie:Lineaire algebra]]