Brontekst bekijken van Gelijkheid (verzamelingenleer)

Twee [[Verzameling (wiskunde)|verzamelingen]] zijn aan elkaar '''gelijk''' als ze dezelfde [[element (wiskunde)|element]]en hebben. Dit houdt in dat de verzameling ''A'' '''gelijk''' is aan de verzameling ''B'', genoteerd als ''A''=''B'', als elk element uit ''A'' ook element is van ''B''  en omgekeerd elk element uit ''B'' ook element is van ''A''.

==Definitie==
De verzamelingen ''A'' en ''B'' zijn aan elkaar '''gelijk''', ''A'' = ''B'', als
:<math>\forall x :(x \in A \iff x \in B)</math>

Gebaseerd op de bovenstaande definitie en de definitie van een [[deelverzameling]] kan men bewijzen dat twee verzamelingen A en B aan elkaar gelijk zijn [[dan en slechts dan als]] als A een deelverzameling is van B en omgekeerd ook geldt dat B een deelverzameling is van A:

:<math>A=B \iff ( (A \subset B) \wedge (B \subset A) ) </math>.

==Voorbeelden==
A = { 1, 2, 3 },  B = { 1, 2, 3 } en C = { 1, 2 } zijn verzamelingen. Er geldt:

*<math>A = B, A = A, B = B</math>
*<math>A \neq C, B \neq C</math>

[[Categorie:Verzamelingenleer]]