Brontekst bekijken van Functor

In de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]], een onderdeel van de [[wiskunde]], is een '''functor''' een speciaal soort [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] tussen [[categorie (wiskunde)|categorieën]].

Functors werden voor het eerst onderzocht in de [[algebraïsche topologie]], waar [[algebraïsch object|algebraïsche object]]en (zoals de [[fundamentaalgroep]]) worden gekoppeld aan  [[topologische ruimte]]n, en algebraïsche [[homomorfisme]]n worden gekoppeld aan [[Continue functie (analyse)|continue]] afbeeldingen. Tegenwoordig worden functors in heel de moderne wiskunde gebruikt om verschillende [[categorie (wiskunde)|categorie]]ën aan elkaar te relateren. Het woord "functor" werd door wiskundigen geleend van de [[filosofie|filosoof]] [[Rudolf Carnap|Carnap]] <nowiki>[</nowiki> Mac Lane, blz. 30<nowiki>]</nowiki>. Carnap gebruikte de term "functor" in relatie tot functies op dezelfde wijze zoals [[predicaat (filosofie)|predicaten]] zich verhouden tot [[eigenschap (filosofie)|eigenschap]]pen. [Zie Carnap, The Logical Syntax of Language (De logische syntaxis van de taal), blz.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul.] Voor Carnap was een functor, dit in tegenstelling tot het moderne gebruik in de wiskundige categorietheorie, een [[taalkunde|taalkundige]] term. Voor categorietheoretici staat een functor voor een bepaald soort [[functie (wiskunde)|functie]].

==Definitie==
Een (''covariante'') ''functor'' is een [[structuurbehoudend]]e afbeelding tussen categorieën. Een functor <math>F</math> van de categorie <math>\mathcal C</math> naar de categorie <math>\mathcal D</math> bestaat uit

* een afbeelding <math>F: \operatorname{Ob}(\mathcal C) \to \operatorname{Ob}(\mathcal D)</math> van de objecten van <math>\mathcal C</math> naar de objecten van <math>\mathcal D</math>
* afbeeldingen <math>F\colon \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X, Y) \to \operatorname{Mor}_\mathcal{D}(F(X), F(Y))</math> tussen de morfismen van elk tweetal objecten <math>X</math>, <math>Y</math> van <math>\mathcal C</math>.

De afbeeldingen tussen de morfismen moeten:
* compatibel zijn met de samenstelling, dus <math>F(f\circ g) = F(f)\circ F(g)</math>.
* de identieke morfismen behouden: <math>F(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{F(X)}</math>.

En ''contravariante functor'' (of ''cofunctor'') van <math>\mathcal C</math> naar <math>\mathcal D</math> is een functor van de [[tegenovergestelde categorie]] <math>\mathcal{C}^{\operatorname{op}} </math> naar <math>\mathcal{D}</math>. Equivalent kan een cofunctor beschreven worden als een functor, met dit verschil:
* de afbeeldingen tussen de morfismen  gaan van <math>\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X, Y)</math> naar <math>\operatorname{Mor}_\mathcal{D}(F(Y), F(X))</math>.
* de compatibiliteit met de samenstelling luidt <math>F(f\circ g) = F(g)\circ F(f)</math>.

Een functor <math>F\colon \mathcal C \to \mathcal C</math> van een categorie naar zich zelf heet ''endofunctor''.

Als <math>\mathcal{C}, \mathcal{D}, \mathcal{E}</math> categorieën zijn en <math>F\colon \mathcal{C}\to\mathcal{D}</math> en <math>G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{E}</math> co- of contravariante functors, dan is de samenstelling  <math>GF</math>, die formeel gedefinieerd is door
:<math>(G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))</math>
voor objecten <math>X</math> en Morphismen <math>f</math>, een functor <math>\mathcal{C} \to \mathcal{E}</math>. De samenstelling <math>GF</math> is precies dan covariant, als <math>F</math> en <math>G</math> beide co- of beide contravariant zijn; anders contravariant.

==Zie ook==
===Typen functors===
* [[Pre-additieve categorie|Optelbare functor]]: een functor tussen categorieën, waarvan de hom-vergelijkingen [[abelse groep]]en zijn, is optelbaar als het een [[groepshomomorfisme]] is op de hom-vergelijkingen
* [[Geadjugeerde functors]]: functors ''F'' en ''G'' zijn geadjugeerd als Hom(''FX'',''Y'') ≅ Hom(''X'',''GY''), waar het isomorfisme natuurlijk is in ''X'' en ''Y''
* [[Afgeleide functor]]: het beeld van een korte [[exacte rij]] onder een functor die alleen half-exact is kan worden uitgebreid naar een lange exacte rij, waarvan de objecten afbeeldingen van een afgeleide functor zijn
* [[Verrijkte functor]], generalisatie voor [[verrijkte categorie]]ën van het begrip functor 
* [[Vergeetachtige functor]], die enkele of alle delen van de structuur of eigenschappen van het object 'vergeet'
* [[Essentieel surjectieve functor]]: een functor waarvan elk object zijn codomein isomorf is met het beeld van een object in het domein
* [[Exacte functor]]: een functor die korte exacte rijen omzet naar korte exacte rijen
* [[Volledige en trouwe functors|Trouwe functor]]: een functor die [[injectief]] is op de verzameling van morfismen met gegeven domein en codomein
* [[Volledige en trouwe functors|Volledige functor]]: een functor die [[surjectief]] is op de verzameling van morfismen met gegeven domein en codomein
* [[Gladde functor]]: een functor ''F'' van ''K''-'''Vect''' naar ''K''-'''Vect''', zodanig dat Hom(''V'',''W'') → Hom(''FV'',''FW'') [[gladde functie|glad]] is. Voorbeelden zijn ''V''*, Λ<sup>''k''</sup>''V'', Σ<sup>''k''</sup>''V'' en dergelijke.

===Andere zaken===
*[[Diagram (categorietheorie)]]
*[[Functorcategorie]]
*[[Kan-uitbreiding]]

==Referenties==
* {{aut|[[Saunders Mac Lane|Mac Lane, Saunders]]}}. ''Categories for the Working Mathematician'' (Categorieën voor de werkende wiskundige), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN 0-387-98403-8

[[Categorie:Categorietheorie]]