Brontekst bekijken van Formule van Euler-Maclaurin

De '''formule van Euler-Maclaurin''' is in de [[wiskunde]] een afschatting van het [[Verschil (wiskunde)|verschil]] tussen een [[integraal]] en een [[sommatie|som]]. Onafhankelijk van elkaar ontdekten [[Leonhard Euler]] en [[Colin Maclaurin]] dit resultaat rond [[1735]].

De integraal <math>I</math> van een [[Functie (wiskunde)|functie]] <math>f</math> over het [[Interval (wiskunde)|interval]] <math>(0,n),</math> met <math>n</math> een [[natuurlijk getal]], kan benaderd worden door de som:

:<math>S= \begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}f(0)+f(1)+\cdots+f(n-1)+\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}f(n)</math>

De formule van Euler-Maclaurin geeft een [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] voor het verschil tussen de som en de integraal. Voor een [[willekeurig]] natuurlijk getal <math>m</math> geldt:

:<math>S-I=\sum_{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R~,</math>

waarin de getallen <math>B_n</math> de [[Bernoulligetal]]len zijn en <math>R</math> een [[Rest|restterm]] is die voor geschikte waarden van <math>m</math> klein is. 

Voor de restterm geldt:

:<math>|R|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2m}}\int_0^n\left|f^{(2m+1)}(x)\right|\,{\rm d}x.</math>

== Zie ook ==
* [[Trapeziumregel]]

[[Categorie:Numerieke wiskunde]]
[[Categorie:Integraalrekening]]