Brontekst bekijken van F-ruimte

In de [[functionaalanalyse]], een onderdeel van de [[wiskunde]], is een '''F-ruimte''' een [[topologische vectorruimte]] waarop onder meer de [[open afbeeldingsstelling]] van toepassing is. F-ruimten zijn generalisaties van [[fréchet-ruimte]]n.

==Definitie==
Een F-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante [[Afstand (wiskunde)|metriek]] en die (als [[metrische ruimte]]) [[Volledig (topologie)|volledig]] is.<ref name="banach">Hoofdstuk 3 in Banach, Stefan, "Théorie des opérations linéaires," Monografje Matematyczne deel '''1''', Warschau 1932.</ref> 

Een metriek <math>d:X\times X\to\R^+</math> heet ''translatie-invariant'' als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector. Dus als voor alle <math>x,y,z\in X</math>
:<math>d(x,y)=d(x+z,y+z)</math>

Deze definitie generaliseert die van een fréchet-ruimte, doordat geen [[Lokaal convexe topologische vectorruimte|lokale convexiteit]] meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij fréchet-ruimten, en andere<!--auteurs--> nemen lokale convexiteit op in de definitie van een F-ruimte.<ref name="rudin">Paragraaf 1.8 in Rudin, Walter, "Functional Analysis," 2de uitgave McGraw Hill 1991. Rudin hanteert dezelfde terminologie als dit artikel maar waarschuwt voor de verschillen bij andere auteurs.</ref>

==Voorbeelden==
[[Bestand:Astroid.svg|250px|right|thumb|Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale <math>L^p</math> voor <math>0<p<1</math> niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in <math>\R^2</math> voor de  afstandsfunctie <math>d(x,y)=(x_1-x_2)^{2/3}+(y_1-y_2)^{2/3}</math> is een niet-convexe figuur afgebakend door een [[astroïde]]]]

Alle fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle [[banachruimte]]n, zijn F-ruimten.

Voorbeelden van F-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de [[Lp-ruimte|<math>L^p</math>-ruimte]]n van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval <math>[0,1]</math> voor gegeven vaste <math>p</math> met <math>0<p<1</math>.

De functie
:<math>d(f,g)=\int_0^1|f(x)-g(x)|^p\,\mathrm{d}x</math>

is een translatie-invariante metriek op <math>L^p</math>, en <math>(L^p,d)</math> is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.<ref name="rudin2">Paragraaf 1.47 in Rudin, ''op. cit.''</ref>

{{Appendix}}

[[Categorie:Functionaalanalyse]]
[[Categorie:Wiskundige ruimte]]