Brontekst bekijken van Ellipsoïde

[[Image:Ellipsoide.png|thumb|250px|Ellipsoïde met (a, b, c) = (4, 2, 1)]] 
Een '''ellipsoïde''' is een [[kwadratisch oppervlak]] met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het [[Cartesisch coördinatenstelsel]] beschrijft is:
:<math>
{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1
</math>
Waarin ''a'', ''b'' en ''c'' de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt:

* <math>a = \tfrac{1}{2} L</math> : helft van maximale lengte
* <math>b = \tfrac{1}{2} B</math> : helft van maximale breedte
* <math>c = \tfrac{1}{2} H</math> : helft van maximale hoogte

Wanneer ''a'' = ''b'' = ''c'' geldt dan betreft het een [[Bol (lichaam)|bol]].

Als we stellen ''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c'', dan geldt voor:
* ''a'' ≠ b levert een '''ongelijke''' ellipsoïde
* ''c'' = 0 & ''a'' ≠ ''c'' & ''b'' ≠ ''c'' levert een '''platte''' [[ellips (wiskunde)|ellips]]
* ''b'' = ''c'' & ''a'' ≠ ''b'' & ''a'' ≠ ''c'' levert een '''prolate''' [[sferoïde]] (sigaarvormig)
* ''a'' = ''b'' & ''a'' ≠ ''c'' & ''b'' ≠ ''c'' levert een '''oblate''' sferoïde (pilvormig)
* ''a'' = ''b'' = ''c'' levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

== Parametervergelijking ==
[[Bestand:Constructie ellipsoïde.gif|240px|thumb|''Constructie van een oblate ellipsoïde, door het wentelen van een [[ellips (wiskunde)|ellips]] (zwart) rond zijn kleine as (oranje)'']]

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: <math>[a \cos(\theta),b \sin(\theta),0]\frac{}{}</math> (<math>\theta</math> van 0 tot <math>2 \pi</math>), na [[rotatie (meetkunde)|rotatie]] rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking <math>[a\cos(\theta),b\sin(\theta)\cos(\phi),b\sin(\theta)\sin(\phi)]\frac{}{}</math>, (<math>\theta</math> en <math>\phi</math> van 0 tot <math>2 \pi</math>)
Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

== Volume ==
Het [[inhoud (volume)|volume]] van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:
:<math>V = \tfrac{4}{3} \pi abc</math>

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door:

:<math>V = \tfrac{1}{6} \pi LBH \approx 0{,}524\ LBH</math>

== Oppervlakte ==
De [[oppervlakte]] is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:
:<math>A = 2 \pi \left(c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right)</math>

waarvoor geldt:
:<math>m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}</math>
:<math>\theta = \arcsin{\left(e \right)}</math>
:<math>e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}</math>

en <math>F(\theta, m)</math> en <math>E(\theta, m)</math> zijn onvolledige [[elliptische integraal|elliptische integralen]] van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

:'''platte Ellips''': <math>= 2 \pi \left(ab \right)</math> (factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)

:'''prolate ellipsoïde:''' <math>\approx 2 \pi \left(c^2 + ac \frac{\arcsin{\left(e \right)}}{e} \right)</math>

:'''oblate ellipsoïde''': <math>\approx 2 \pi \left(a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left(e \right)}}{e} \right)</math>

:'''ongelijke ellipsoïde''': <math>\approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}</math>

Voor ''p'' ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% ([[Knud Thomsen]]s formule); een waarde van ''p'' = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% ([[David W. Cantrell]]s formule).

[[Image:Ellipsoiden.jpg|thumb|320px|De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm.]]

== Zie ook ==
* [[Hyperboloïde]]
* [[Paraboloïde]]
* [[Referentie-ellipsoïde]]

{{DEFAULTSORT:Ellipsoide}}
[[Categorie:Ruimtelijke figuur]]
[[Categorie:Oppervlak]]