Brontekst bekijken van Distantie en similariteit

Met '''distantie en similariteit''' wordt de mate van verschil de mate en van overeenkomst in [[Attribuut (informatica)|kenmerken of attributen]] van [[multivariate]] objecten bedoeld zoals deze berekend kunnen worden op grond van de gemeten variabelen, dus van attributen of kenmerken, van [[Multivariabele analyse|multivariate]] objecten.

''Distanties'' of ''dissimilariteiten'' zijn de verschillen die bepaald worden op grond van waarden (of responsies) voor de kenmerken of attributen bij verschillende objecten. De meest bekende distantie is de [[Afstand (wiskunde)|euclidische afstand]].

''Similariteiten'' zijn juist de overeenkomsten tussen variabelen of tussen objecten. Dergelijke gegevens ten behoeve van de berekening worden weergegeven in tabellen (matrix) met rijen en kolommen voor de variabelen en de objecten. De meest bekende similariteit-maten zijn de [[correlatie]]coëfficienten.

Bij de multivariate objecten gaat het bijvoorbeeld om [[Vogels|vogeltellingen]], [[Steekproef|steekproeven]], [[Hydrobiologie|hydrobiologische]] [[Staal (monster)|monsters]] of [[vegetatieopname]]n, waarbij de attributen bestaan uit de waargenomen soorten, en de waarden bestaan uit waarnemingen van de af- of aanwezigheid of de aantallen voor elke vogel- of plantensoort.

== Gebruik ==
Distanties en similariteiten worden wel gebruikt bij [[Multivariate statistiek|multivariate statistische methoden]] als [[clusteranalyse]] en bij [[ordinatie]] van biologische en ecologische gegevens. 

Voorafgaand aan de gegevensverwerking is het vaak nodig eerst de distanties of similariteiten tussen de objecten te berekenen, na voorafgaande standaardisatie of normalisatie van de basisgegevens. 

Bij een dergelijke berekening gaan de oorspronkelijke data van de variabelen verloren. 

Er zijn ook 'directe' analysemethoden beschikbaar, waar deze voorafgaande berekeningen niet nodig zijn.

== Indexen ==
{|class="wikitable" style="float:right;text-align:center;font-size:85%;line-height:90%;"
|+ {{TekstAchtergrondRand}}''n×m'' tabel met ''m'' objecten (kolommen), ''n'' attributen (rijen) en responsies (cellen){{einde}}
|- 
!colspan=2 rowspan=2 style="background-color:gainsboro;"|
!colspan=8 style="background-color:lightgreen;"| ''m'' objecten (monsters, samples)
|rowspan=2 style="background-color:gainsboro;"|randtotalen<br>variabelen<br>↓
|- 
!style="background-color:lightgreen;"| Object{{sub|1}}
!style="background-color:lightgreen;"| Object{{sub|2}}
! 
!style="background-color:lightgreen;"| Object{{sub|f}}
! 
!style="background-color:lightgreen;"| Object{{sub|g}}
! 
!style="background-color:lightgreen;"| Object{{sub|m}}
|-
!rowspan=8 style="background-color:pink;"|''n''<br>afhankelijke<br>variabelen<br><br><math>y_{1}</math> t/m <math>y_{n}</math>
!style="background-color:pink;"| Variabele<sub>1</sub><br><math>y_{1}</math>
|<math>y_{11}</math>
|<math>y_{12}</math>
!rowspan=8| 
|<math>y_{1f}</math>
!rowspan=8| 
|<math>y_{1g}</math>
!rowspan=8| 
|<math>y_{1m}</math> 
|style="background-color:pink;"| <math>\sum_{k=1}^{m} y_{1k}</math>
|-
!style="background-color:pink;"| Variabele<sub>2</sub><br><math>y_{2}</math>
| <math>y_{21}</math> ||<math>y_{22}</math> ||<math>y_{2f}</math> ||<math>y_{2g}</math> ||<math>y_{2m}</math> 
|style="background-color:pink;"| <math>\sum_{k=1}^{m} y_{2k}</math>
|-
! !!colspan=2| || || || ||
|-
!style="background-color:pink;"| Variabele<sub>i</sub><br><math>y_{i}</math>
| <math>y_{i1}</math> ||<math>y_{i2}</math> ||<math>y_{if}</math> ||<math>y_{ig}</math> ||<math>y_{im}</math> 
|style="background-color:pink;"| <math>\sum_{k=1}^{m} y_{ik}</math>
|-
! !!colspan=2| || || || ||
|-
!style="background-color:pink;"| Variabele<sub>j</sub><br><math>y_{j}</math>
| y{{sub|j1}} ||<math>y_{j2}</math> ||<math>y_{jf}</math> ||<math>y_{jg}</math> ||<math>y_{jm}</math> 
|style="background-color:pink;"| <math>\sum_{k=1}^{m} y_{jk}</math>
|-
! !!colspan=2| || || || ||
|-
!style="background-color:pink;"| Variabele<sub>n</sub><br><math>y_{n}</math>
| <math>y_{n1}</math> ||<math>y_{n2}</math> ||<math>y_{nf}</math> ||<math>y_{ng}</math> ||<math>y_{nm}</math> 
|style="background-color:pink;"| <math>\sum_{k=1}^{m} y_{nk}</math>
|- style="background-color:lightgreen;"
|colspan=2 style="background-color:gainsboro;"|
 {|align="center"
 |randtotalen voor<br>de objecten
 | →
 |}
| <math>\sum_{h=1}^{n} y_{h1}</math>
| <math>\sum_{h=1}^{n} y_{h2}</math>
!
| <math>\sum_{h=1}^{n} y_{hf}</math>
!
| <math>\sum_{h=1}^{n} y_{hg}</math>
!
| <math>\sum_{h=1}^{n} y_{hm}</math>
! <math>\sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{m} y_{hk}</math>
|}

Voor een objecten-bij-attributentabel zijn voor het berekenen van indexen of [[coëfficiënt]]en voor distantie en similariteit (verschil en overeenkomst) van de objecten of van de attributen een groot aantal verschillende indexen beschikbaar. Voor de elk van attributen is er slechts één variabele. Als er meer variabelen zijn worden deze gecombineerd tot slechts één variabele. 

Similariteiten kunnen vaak worden omgerekend tot distanties en omgekeerd. De rol van objecten en variabelen kan in sommige gevallen worden omgewisseld, zodat niet alleen de distanties en similariteiten tussen de objecten kunnen worden berekend, maar ook tussen attributen of variabelen.

=== Meetschaal ===
De keuze van de index hangt af van de [[Meetschaal (niveau)|meetschaal]] van de gegevens. Vaak is een mogelijkheid de waarden van de ene schaal te transformeren naar een andere schaal. 
:Voorbeeld: Bij [[vegetatieopname]]n (de objecten) volgens de [[Braun-Blanquet-methode]] worden voor de soorten (de attributen) de variabelen voor [[Bedekking (vegetatiekunde)|bedekking]] en voor [[Abundantie (ecologie)|talrijkheid]] samengevoegd tot een gecombineerde schatting (de variabelen) en ten behoeve van numerieke verwerking daarna getransformeerd.

Men onderscheidt de volgende [[Meetschaal (niveau)|niveaus]] waarop [[Meten|gemeten]] wordt:
{{stamboom2}}
{{stamboom2/einde aftakking}} 
* [[Kwalitatief kenmerk|Kwalitatieve kenmerken]] ([[Categorische variabele|categorische gegevens]]):
** [[Meetschaal (niveau)#Nominale schaal|Nominaal]]: benoemen (niet-rangschikbare waarden)
** {{stamboom2/einde tak}} [[Ordinaalgetal|Ordinaal]]: ordening (rangschikbare waarden)
* [[Boolean|Binaire]] (variabelen met twee opties: 0/1, -/+, afwezig/aanwezig, nee/ja, onwaar/waar)
* [[Kwantitatief kenmerk|Kwantitatieve kenmerken]] (numerieke, scalaire, metrische, kardinale gegevens)
** [[Discrete stochastische variabele|Discrete gegevens]] (aftelbaar aantal numerieke waarden)
*** [[Natuurlijk getal]]len (bijvoorbeeld [[Getal (wiskunde)|telling]])
*** [[Geheel getal|Gehele getallen]]
*** {{stamboom2/einde tak}} [[Reëel getal|Reële getallen]] (getallen op een [[getallenlijn]])
** {{stamboom2/einde tak}} [[Continue stochastische variabele|Continue gegevens]] (niet-aftelbaar aantal numerieke waarden)
*** [[Meetschaal (niveau)#Intervalschaal|Interval]]: met gelijke intervallen
*** {{stamboom2/einde tak}} [[Meetschaal (niveau)#Ratioschaal|Ratio]]: intervallen met een betekenisvol nulpunt
* {{stamboom2/einde tak}} Circulaire gegevens
{{stamboom2/einde}}

De bovenstaande zijn niveaus van gegevens in de genoemde volgorde van toenemende complexiteit en omvat een volgend genoemd niveau steeds de eerdere. Circulaire gegevens zijn hier verder buiten beschouwing gelaten, deze worden hier verder niet besproken. Voorbeelden daarvan zijn: dag van de week, maand van het jaar, het seizoen (voorjaar/zomer/herfst/winter), waterhoogte (eb/vloed), tijdstip op de dag, windrichting.

=== Waarnemingen nominale variabelen ===
Waarnemingen met nominale variabelen kunnen ten behoeve van de ggevensverwerking getransformeerd worden in binaire variabelen, door met voor elke nominale waarde een dummy-variabele met 0-1 waarden (binair) aan te maken. 
:Voorbeeld: de variabele "Oogkleur" (mogelijke waarden: bruin,blauw en zwart) wordt getransformeerd in de variabelen "Oogkleur bruin" (mogelijke waarden: 1/0), "Oogkleur blauw" (mogelijke waarden: 1/0) en "Oogkleur zwart" (mogelijke waarden: 1/0).

:{|class="wikitable" style="background-color:powderblue;text-align:center;font-size:100%;line-height:130%;"
!colspan=5|Transformatie van 1 nominale naar 3 binaire variabelen
|-
!rowspan=2| Van 1 nominale variabele<br>''Oogkleur''
!colspan=3| naar 3 binaire variabelen:
|-
! ''Bruine ogen''
! ''Blauwe ogen''
! ''Zwarte ogen''
|-
|style="background-color:palegreen;"| bruin
| 1
| 0
| 0
|-
|style="background-color:palegreen;"| blauw
| 0
| 1
| 0
|-
|style="background-color:palegreen;"| zwart
| 0
| 0
| 1
|}

=== Waarnemingen ordinale variabelen ===
Waarnemingen met ordinale variabelen kunnen worden getransformeerd in binaire variabelen

:Voorbeeld: de variabele "Score" (mogelijke waarden ''van hoog naar laag'': goud, zilver en brons) wordt getransformeerd in de variabelen ''Score brons'' (waarde=1 als ''Score''=brons, anders waarde=0), ''Score zilver'' (waarde=1 als ''Score''=brons of ''Score''=zilver, anders waarde=0) en ''Score goud'' (waarde=1 als ''Score''=brons of ''Score''=zilver of ''Score''=goud).

:{|class="wikitable" style="text-align:center;font-size:100%;line-height:130%;"
!colspan=5|Transformatie van 1 ordinale naar 3 binaire variabelen
|-
!rowspan=2| Van 1 ordinale variabele<br>''Score''
!colspan=3| naar 3 binaire variabelen:
|-
! ''Score goud''
! ''Score zilver''
! ''Score brons''
|-
| goud
| 1
| 0
| 0
|-
| zilver
| 1
| 1
| 0
|-
| brons
| 1
| 1
| 1
|}

{{clearboth}}

=== Waarnemingen binaire variabelen ===
Een binaire variabele is een variabele die slechts twee, elkaar uitsluitende waarden kan aannemen, zoals {{nowrap|1 - 0}}, {{nowrap|Ja - Nee}}, {{nowrap|Positief - Negatief}}, of {{nowrap|Aanwezig - Afwezig}}. Bij vergelijking van objecten met binaire variabelen worden de waarnemingen zo nodig [[Transformatie (wiskunde)|getransformeerd]] naar 0 - 1 waarden en kunnen de formules vereenvoudigd worden, afhankelijk van het al of niet meerekenen van de 'dubbel-afwezige' (dubbel 0, dubbel Afwezig, dubbel Nee) overeenkomsten. 

Indien gewenst kunnen ook attributen of variabelen met elkaar vergeleken worden, met vergelijkbare formules (deze zijn hier niet uitgeschreven).

{|class="toccolours" style="font-size:80%;line-height:90%;"
|+ {{TekstAchtergrondRand}}'''Vergelijking van Object<sub>f</sub> en Object<sub>g</sub> met ''n'' binaire variabelen'''{{einde}}
|-
! {{TekstAchtergrondRand}}met meerekenen van de 'dubbel-afwezigen'{{einde}}
| &nbsp;
! {{TekstAchtergrondRand}}met uitsluiting van de 'dubbel-afwezigen'{{einde}}
|-
| 
 {|class="wikitable" style="text-align:center;font-size:80%;line-height:90%;" width="100%"
 |-
 !rowspan=2| objecten
 !
 !colspan="2" style="background-color:lightgreen;" | Object<sub>g</sub>
 !rowspan=2|randtotalen<br>↓
 |-
 ! ''waarden'' →<br>↓
 ! 1,<br>Aanwezig,<br>+,<br>Ja
 ! 0,<br>Afwezig,<br>—,<br>Nee
 |-
 !rowspan="2" style="background-color:lightgreen;" | Object<sub>f</sub>
 ! 1, Aanwezig,<br> +, Ja
 | '''''A'''''
 | '''''B'''''
 | ''A + B''
 |-
 ! 0, Afwezig,<br> —, Nee
 | '''''C'''''
 | '''''D'''''
 | ''C + D''
 |- style="border-top:solid medium teal;"
 !colspan=2| randtotalen →
 | ''A + C''
 | ''B + D''
 | '''''N''' = A + B + C + D''
 |}
|
|
 {|class="wikitable" style="text-align:center;font-size:80%;line-height:90%;" width="100%"
 |-
 !rowspan=2| objecten
 ! 
 !colspan="2" style="background-color:lightgreen;"| Object<sub>g</sub>
 !rowspan=2| randtotalen<br>↓
 |-
 !''waarden'' →<br>↓
 ! 1,<br>Aanwezig,<br>+,<br>Ja
 ! 0,<br>Afwezig,<br>—,<br>Nee
 |-
 !rowspan="2" style="background-color:lightgreen;"| Object<sub>f</sub>
 ! 1, Aanwezig,<br> +, Ja
 | '''''c'''''
 | ''a - c''
 | '''''a'''''
 |-
 ! 0, Afwezig,<br> —, Nee
 | ''b - c''
 |style="background-color:lightblue;text-align:center;"| '''ø'''<br>('dubbel-afwezig')
 | ''b - c''
 |- style="border-top:solid medium teal;"
  !colspan=2| randtotalen →
 | '''''b'''''
 | ''a - c''
 | '''''m''' = a + b - c''
 |}
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|
 {|class="toccolours" width="100%"
 |-
 | waarin: <math>y_{hf}</math> en <math>y_{hg}</math> hebben de waarden 0 of 1
 |-
 | '''''A''''' = <math>\sum_{h=1}^{n} (y_{hf} \cdot y_{hg})</math>, '''''B''''' = <math>\sum_{h=1}^{n} (y_{hf} \cdot (1-y_{hg}))</math>,
 |-
 | '''''C''''' = <math>\sum_{h=1}^{n} (1-(y_{hf}) \cdot y_{hg})</math> en '''''D''''' = <math> \sum_{h=1}^{n} (1-y_{hf}) \cdot (1-y_{hg}) </math>
 |}
| &nbsp;
|
 {|class="toccolours" width="100%"
 |-
 | waarin: <math>y_{hf}</math> en <math>y_{hg}</math> hebben de waarden 0 of 1
 |-
 | '''''a''''' = <math>\sum_{h=1}^{m} y_{hf}</math>, '''''b''''' = <math>\sum_{h=1}^{m} y_{hg}</math> en '''''c''''' = <math>\sum_{h=1}^{m} (y_{hf} \cdot y_{hg})</math>
 |- 
 | <div style="border-top:solid thin gray;">'''ø''': Onder 'dubbel-afwezig' verstaat men de situatie dat beide<br>binaire variabelen de waarde 0 (—, Afwezig, Nee) hebben.<br> In sommige gevallen hebben deze geen zinvolle betekenis. </div>
 |}
|}

=== Similariteiten ===
Voorbeelden van similariteiten zijn correlaties en cosinus. Correlatiecoëfficiënten  nemen waarden aan van -1 tot +1, waarbij bij de hoogste waarde staat voor de hoogste mate van overeenkomst (similariteit) en de kleinste distantie (dissimilariteit). Om als distantiemaat te kunnen fungeren moeten ze dus getransformeerd worden.

{|class="wikitable sortable" style="text-align:left;font-size:85%;line-height:100%;" <!-- width=100% vatop -->
! {{Afkorting|afko.|afkorting}}
! naam
! class="unsortable"|formule
! class="unsortable"|waarin:
! range
|-style="background-color:#CCFFFF;"
!style="text-align:center;"| <math>r</math>
| [[Correlatiecoëfficiënt#Pearsons product-momentcorrelatiecoëfficiënt|Pearsons<br> product-moment<br> correlatiecoëfficiënt]]<br>&nbsp;<center>(algemene formule)</center>
| <math>r_{ij} = \frac{m \cdot \sum_{k=1}^{m} y_{ik} \cdot y_{jk} - \sum_{k=1}^{m} y_{ik} \cdot \sum_{k=1}^{m} y_{jk}}{\sqrt {m \cdot \sum_{k=1}^{m} y_{ik}^2 - (\sum_{k=1}^{m} y_{ik})^2} \cdot \sqrt {m \cdot \sum_{k=1}^{m} y_{jk}^2 - (\sum_{k=1}^{m} y_{jk})^2}}</math>
| <math>r_{ij}</math> = correlatie <br><math>y_{ik}</math> = waarde voor object ''i'' en variabele ''k''<br> <math>y_{jk}</math> = waarde voor object ''j'' en variabele ''k''<br> ''m'' = aantal waarden
| [-1,+1]
|-
!style="text-align:center;"| <math>\rho_S</math>
| [[Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt|Spearmans<br> rangcorrelatiecoëfficiënt]]
| <math>\rho_{ij} = 1 - \frac {6 \cdot \sum_{k=1}^{m} (y_{ik} - y_{jk}) ^2}{m \cdot (m^2 - 1)}</math>
| <math>\rho_{ij}</math> = rangcorrelatiecoëfficiënt<br> ''y{{sub|ik}}'' en ''y{{sub|jk}}'' zijn rangnummers<br> binnen de variabelen ''Y{{sub|i}}'' en ''Y{{sub|j}}''
| [-1,+1]
|-
!style="text-align:center;"| <math>phi</math>, <math>\varphi</math>
| puntcorrelatie,<br> associatiecoëfficiënt
| <math>\varphi_{ij} = \frac{BC-AD}{\sqrt{(A+B)(A+C)(B+C)(C+D)}}</math>
| <math>\varphi_{ij}</math> = puntcorrelatie<br>''y{{sub|ik}}'' en ''y{{sub|jk}}'' zijn presenties: 0 of 1
| [-1,+1]
|-
!style="text-align:center;"| <math>\cos</math>
| [[Sinus en cosinus|cosinus]] van de hoek &alpha;<br> tussen de vectoren<br> door de oorsprong
| <math>\cos_{ij} = \frac {\sum_{k=1}^{m} (y_{ik} \cdot y_{jk})} {\sqrt {\sum_{k=1}^{m} (y_{ik}) \cdot \sum_{k=1}^{m}(y_{jk})}}</math><br> voor binaire variabelen wordt de formule: <math>Cos_{ij} = \frac {c} {\sqrt{a \cdot b}}</math>
| <math>\cos_{ij}</math> = cosinus<br><math>y_{ik}</math> = waarde voor object ''i'' en variabele ''k''<br> <math>y_{jk}</math> = waarde voor object ''j'' en variabele ''k''<br> ''m'' = aantal waarden
|[-1,+1]
|}

Een andere correlatiecoëfficiënt is de [[punt-biseriële correlatiecoëfficiënt]], evenals de puntcorrelatie een variant van de Pearsons product-momentcorrelatiecoëfficiënt.

Overige maten voor similariteit, zoals de coëfficiënten van Jaccard, Sörensen, Whittaker en Motyka worden besproken bij de distanties.

=== Distanties ===
Voorbeelden van indices voor distanties.

{|class="wikitable sortable" style="text-align:left;font-size:85%;line-height:100%;"
! afkorting
! naam coëfficiënt
! class="unsortable" |formule
! class="unsortable" |waarin:<br>''m'' = aantal variabelen
! range
|-style="background-color:#DDFFDD;"
! MD
| '''''Minkowski distance''''',<br>&nbsp;geïnduceerd door de [[Lp-ruimte|''L''<sup>''r''</sup>-norm]]<br>&nbsp;<center>(algemene formule)</center>
| <math>MD_{ij} = (\sum_{k=1}^{m} {\mid y_{ik}- y_{jk} \mid}^r )^{\frac {1}{r}}</math>
|rowspan=5| ''MD{{sub|ij}}'' = distantie tussen objecten ''i'' en ''j''<br><br>''y{{sub|ik}}'' = waarde voor object ''i'' en variabele ''k''<br>''y{{sub|jk}}'' = waarde voor object ''j'' en variabele ''k''<br>''m'' = aantal attributen met positieve waarden <br>''r'' is een constante (1 of 2)
|
|-style="background-color:#DDFFDD;"
! CBD
| '''''city block distance''''',<br>''[[Manhattan-metriek]]''
| <math>{CBD}_{ij} = \sum_{k=1}^{m} {\mid y_{ik}- y_{jk} \mid}</math>
| [0, ∞)
|-style="background-color:#DDFFDD;"
! ED
| {{Sorteer|Euclidische afstand|[[Afstand (wiskunde)|'''euclidische afstand''']]}}
| <math>{ED}_{ij} = (\sum_{k=1}^{m} {{(y_{ik}- y_{jk})}^2)}^{\frac {1}{2}}</math>
| [0, ∞)
|-style="background-color:#DDFFDD;"
! MCD
| '''''mean character distance'''''
| <math>{MCD}_{ij} = \frac {1}{m} \cdot \sum_{k=1}^{m} {\mid y_{ik}- y_{jk} \mid}</math>
| [0, ∞)
|-style="background-color:#DDFFDD;"
! GE
| '''gemiddelde euclidische afstand'''<br>euclidische vorm van '''MCD'''
| <math>{GE}_{ij} = \frac {1}{m} \cdot (\sum_{k=1}^{m} {{(y_{ik}- y_{jk})}^2)}^{\frac {1}{2}}</math>
| [0, ∞)
|-
|colspan=5| 
|-style="background-color:#DDFFFF;"
! DM
| '''''distance metric'''''<br>&nbsp;<center>(algemene formule)</center>
| <math>DM_{ij} = \left( \sum_{k=1}^{m} {\frac {{\mid y_{ik}- y_{jk} \mid}^r}{(y_{ik}+ y_{jk})^r}}\right)^{\frac {1}{r}}</math>
|rowspan=4|  ''DM{{sub|ij}}'' = distantie tussen objecten ''i'' en ''j''<br><br>''y{{sub|ik}}'' = waarde voor object ''i'' en variabele ''k''<br>''y{{sub|jk}}'' = waarde voor object ''j'' en variabele ''k''<br>''m'' = aantal attributen met positieve waarden <br>''r'' is een constante (1 of 2)
|
|-style="background-color:#DDFFFF;"
! CM
| '''''Canberra metric'''''
| <math>CM_{ij} = \sum_{k=1}^{m} {\frac {\mid y_{ik}- y_{jk} \mid} {(y_{ik}+ y_{jk})}}</math>
| [0, ∞)
|-style="background-color:#DDFFFF;"
! HM
| '''''Hodson's metric''''',<br>euclidische vorm van '''CM'''
| <math>HM_{ij} = \left( \sum_{k=1}^{m} {\frac {{(y_{ik}- y_{jk})}^2}{(y_{ik}+ y_{jk})^2}}\right)^{\frac {1}{2}}</math>
| [0, ∞)
|-style="background-color:#DDFFFF;"
! CD
| '''''coefficient of divergence'''''
| <math>CD_{ij} = \frac {1}{m} \cdot \left( \sum_{k=1}^{m} {\frac {{( y_{ik}- y_{jk} )}^2}{(y_{ik}+ y_{jk})^2}}\right)^{\frac {1}{2}}</math>
| [0, 1]
|-
|colspan=5| 
|-style="background-color:#FFFFDD;"
! M
| {{Sorteer|Motyka|distantie naar '''Motyka''',<br>'''''percentage dissimilarity'''''<br>distantie naar '''Czekanowsky''',<br>kwantitatieve vorm van '''Sørensen'''}}<br>&nbsp;<center>(algemene formule)</center>
| <math>M_{ij}= \frac {\sum_{k=1}^{m} {y_{ik}}+\sum_{k=1}^{m} {y_{jk}} - 2 \cdot \sum_{k=1}^{m} {\min(y_{ik},y_{jk})}}{\sum_{k=1}^{m} {y_{ik}}+\sum_{k=1}^{m} {y_{jk}}}</math>
|rowspan=4| ''M{{sub|ij}}'' = distantie tussen objecten ''i'' en ''j''<br><br>''y{{sub|ik}}'' = waarde voor object ''i'' en variabele ''k''<br>''y{{sub|jk}}'' = waarde voor object ''j'' en variabele ''k''<br>''m'' = aantal attributen met positieve waarden 
| [0, 1]
|-style="background-color:#FFFFDD;"
! S
| {{Sorteer|Sørensen|distantie naar '''Sørensen''',<br>distantie naar '''Dice''',<br>1-'''coefficient of community'''}}
| <math>S_{ij} = \frac{a+b-2c}{a+b}</math>
| [0, 1]
|-style="background-color:#FFFFDD;"
! W
| {{Sorteer|Whittaker|distantie naar '''Whittaker''',<br>kwantitatieve vorm van '''Jaccard'''}}
| <math>W_{ij} = \frac {\sum_{k=1}^{m} {y_{ik}}+\sum_{k=1}^{m} {y_{jk}} - 2 \cdot \sum_{k=1}^{m} {\min(y_{ik},y_{jk})}}{\sum_{k=1}^{m} {y_{ik}}+\sum_{k=1}^{m} {y_{jk}} -\sum_{k=1}^{m} {\min(y_{ik},y_{jk})}}</math>
| [0, 1]
|-style="background-color:#FFFFDD;"
! J
| {{Sorteer|Jaccard|distantie naar '''Jaccard'''}}
| <math>J_{ij} = \frac{a+b-2c}{a+b-c}</math>
| [0, 1]
|-
|colspan=5| 
|-style="background-color:antiquewhite;"
! rowspan=2| H
| rowspan=2| '''heterogeniteit'''
| <math>H_{ij} = \sum_{k=1}^{m} {\mid y_{ik}- y_{jk} \mid}</math>
| ''y''{{sub|ik}} en ''y''{{sub|jk}} zijn numerieke waarden
|rowspan=2| [0, ∞)
|-style="background-color:antiquewhite;"
| <math>H_{ij} = a + b - 2c</math>
| a, b en c: zie hierbovenstaande tabel
|-
|colspan=5| 
|-style="background-color:#FFDDFF;"
! SM'
| {{Sorteer|Simple Matching Coefficient|complement van<br>'''''simple matching coefficient'''''}}
| <math>{SM'}_{ij} = \frac{A + D}{A + B + C + D}</math>
|rowspan=3| A, B, C en D: zie hierbovenstaande tabel
| [0, 1]
|-style="background-color:#FFDDFF;"
! YC
| '''''Yule-coefficient'''''
| <math>YC_{ij} = \frac{A \cdot D - B \cdot C}{A \cdot D + B \cdot C}</math>
| [-1, 1]
|-style="background-color:#FFDDFF;"
! χ<sup>2</sup>
| '''''[[Chi-kwadraatverdeling|Chi-kwadraat]] afstand'''''
| <math>\chi_{ij}^2 = \frac{(A + B + C + D) \cdot (A \cdot D - B \cdot C)^2}{(A + B) \cdot (C + D) \cdot (A + C) \cdot (B + D)}</math>
| [0, ∞)
|}

=== Distantiematrix ===
Een distantiematrix is een vierkante, [[symmetrische matrix]] met voor elk paar van objecten de onderlinge distanties. Een dergelijke matrix is symmetrisch, omdat de distantie tussen objecten <math>a</math> en <math>b</math> gelijk is aan de distanties tussen de objecten <math>b</math> en <math>a</math>. Op de diagonaal staan de distanties van de objecten tot zichzelf: 0.

Distantiematrices worden onder andere gebruikt bij [[Ordinatie#Op distanties gebaseerde methoden|ordinatietechnieken op basis van een distantiematrix]],<ref>{{aut|M Palmer}}. [http://ordination.okstate.edu/distance.htm ''Ordination Methods for Ecologists. Distance-based Ordination Methods.'']. [https://web.archive.org/web/20210922015308/http://ordination.okstate.edu/distance.htm Gearchiveerd] op 22 september 2021.</ref> zoals [[polaire ordinatie]] (PO), [[Ordinatie|principal coordinates analysis]], PCoA of ''metric multidimensional scaling'', en [[nonmetric multidimensional scaling]] (NMDS).

Een matrix met similariteiten in plaats van distanties wordt ook wel ''resemblance matrix'' genoemd.

{{Appendix||2=
; voetnoten
{{References}}
; literatuur
* {{en}} {{aut|P.H.A. & R.R. Sokal}} (1973) ''Numerical Taxonomy. The Principles and Practice of Numerical Classification.'' W.H. Freeman and Company. San Francisco
}}

{{Navigatie ordinatie}}

[[Categorie:Multivariate statistiek]]
[[Categorie:Wiskundige terminologie]]