Brontekst bekijken van Deltoïde

[[Bestand:Deltoid curve.gif|thumb|Constructie van een deltoïde]]

De '''deltoïde''' is een [[kromme]] in het platte [[Vlak (meetkunde)|vlak]] die ontstaat door een kleine [[cirkel]] met straal <math>r</math> binnenin een grotere cirkel met een straal <math>R</math> te laten wentelen, die drie keer zo groot is als de straal van de kleine cirkel: <math>R=3r</math>. De deltoïde is een [[cycloïde]], een hypocycloïde. De naam deltoïde komt van de Griekse letter [[Delta (letter)|delta Δ]].

== Vergelijkingen ==
De deltoïde kan, zoals alle krommen, door een [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijking]] worden beschreven. Als de oorsprong het middelpunt is van de grote cirkel met straal <math>3a</math> en <math>x(0)=3a</math> geldt voor <math>t\in (-\pi,\pi]</math>:

=== Parametervergelijking ===
De [[parametervergelijking]] van de deltoïde wordt gegeven door:

: <math>x=2a\cos(t)+a\cos(2t)</math>

: <math>y=2a\sin(t)-a\sin(2t)</math>

waarin <math>a</math> de straal is van de kleine cirkel.

=== Complexe coördinaten ===
De parametervergelijking in complexe coördinaten wordt gegeven door:

: <math>z = 2ae^{it}+ae^{-2it}</math>

=== Cartesiaanse coördinaten ===
De [[cartesiaanse vergelijking]] voor de deltoïde luidt:
: <math>(x^2+y^2)^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4 = 8a(x^3-3xy^2)</math>

waarmee het een algebraïsche kromme van de vierde graad is. Deze vergelijking kan worden afgeleid door de parameter <math>t</math> uit de parametervoorstelling te [[Eliminatie (wiskunde)|elimineren]].

== Kenkerken ==
* De deltoïde bezit drie [[Singulariteit (wiskunde)|singulariteiten]], corresponderend met de punten <math>t = 0</math> en <math>t = \pm \tfrac{2}{3}\pi</math>.
* De oppervlakte van het gebied binnen een deltoïde is in overeenstemming met de oppervlakte voor een hypocycloïde <math>A_3 = \tfrac{2}{9} \pi a^2</math>.
* De [[booglengte]] van de deltoïde wordt gegeven door <math>S(t) = \tfrac{16}{9} \sin^2 \left(\tfrac{3}{4} t \right)</math>.

== Websites ==
* [[MathWorld]]. [http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html Deltoid].

[[Categorie:Wiskundige kromme]]