Brontekst bekijken van Dekpunt

[[Afbeelding:Fixed Point Graph.png|thumb|Functie met drie dekpunten]]

In de [[wiskunde]] is een '''dekpunt''', '''fixpunt''' of '''vast punt''' van een [[Functie (wiskunde)|functie]] een [[Argument (wiskunde)|argument]] dat op zichzelf wordt afgebeeld. Als de functie  <math>f\colon V\to V</math> de verzameling <math>V</math> in zichzelf afbeeldt is het element  <math>x</math> een dekpunt van <math>f</math> als <math>f(x)=x</math>. Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in twee dimensies is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.

Van de [[Reëelwaardige functie|reële functie]]
: <math>f(x) = x^2-3x+4</math>

is 2 een dekpunt van <math>f</math>, aangezien <math>f(2)=2</math>.

Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat <math>f</math> de op de reële getallen gedefinieerde functie <math>f(x)=x+1</math> is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien <math>x</math> voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan <math>x+1</math>. In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt <math>(x,f(x))</math> op de [[Lijn (meetkunde)|lijn]] <math>y = x</math> of in andere woorden het [[snijpunt]] van de [[Grafiek (wiskunde)|grafiek]] van <math>f</math> en de lijn <math>y = x</math>. In het voorbeeld <math>f(x) = x+1</math> zijn de grafiek van de functie en de lijn <math>y = x</math> [[evenwijdig]]e lijnen.

Punten die na een eindig aantal toepassingen van de functie terugkeren op de uitgangswaarde, staan bekend als periodieke punten, een dekpunt wordt meteen op zichzelf afgebeeld.

== Vinden van dekpunten ==
[[Afbeelding:Cosine fixed point.svg|thumb|Dekpuntiteratie]]

Een dekpunt is een oplossing van de vergelijking <math>f(x) = x</math>.
 
Een andere manier om iteratief een dekpunt te vinden is een beginwaarde <math>x_0</math> te kiezen en vervolgens de iteratie <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> toe te passen. Dus <math>x_1 = f(x_0),\ \ x_2 = f(x_1),\ \ldots \ </math> enzovoort. Als de rij <math>(x_n)</math> convergeert is dat naar een dekpunt. 

De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:

* De functie is gedefinieerd op een gesloten [[Interval (wiskunde)|interval]] <math>I</math>, en <math>f(x) \in I</math> als <math>x \in I</math>.
* Er is een positief getal <math>r<1</math> zodat voor iedere <math>u,v\in I</math> geldt dat <math>|f(u)-f(v)|<r|u-v|</math>.
* <math>g \in I</math>.

== Nut van dekpunten ==
Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking 
: <math>\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} = g(x,f(x))</math> 

met beginvoorwaarde <math>f(a) = y_0</math>. Hierbij is <math>g:[a,b]\times \R\to \R</math> een continue functie. Deze [[differentiaalvergelijking]] met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking: 
: <math>f(x) = y_0 + \int_a^x g(t,f(t))\,\mathrm{d}t</math>

want als een oplossing <math>f</math> hieraan voldoet, is 
: <math>\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} = g(x,f(x))</math> en <math>f(a)=y_0</math>

Zij <math>C=C[a,b]</math> de verzameling van continue functies op <math>[a,b]</math> en de afbeelding <math>U:C\to C</math> gedefinieerd door
: <math>(Uf)(x) = y_0 + \int_a^x g(t,f(t))\ \mathrm{d}t</math>

Als <math>U</math> een dekpunt <math>f\in C</math> heeft, dan is <math>f</math> een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.

Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de [[contractiestelling van Banach]].

== Dekpuntstellingen ==
* [[Dekpuntstelling van Brouwer]]
* [[Dekpuntstelling van Caristi]]
* [[Contractiestelling van Banach]]

{{Wikt|dekpunt}}

[[Categorie:Meetkunde]]
[[Categorie:Relaties op verzamelingen]]
[[Categorie:Wiskundige analyse]]