Brontekst bekijken van Cumulant

In de [[kansrekening]] worden de '''cumulanten''' van een [[stochastische variabele]] <math>X</math> of een [[kansverdeling]] voortgebracht door de '''cumulantgenererende functie''' <math>K_X</math>, gedefinieerd als de [[natuurlijke logaritme]] van de [[momentgenererende functie]] <math>M_X</math>, mits deze bestaat; dan is:
:<math>K_X(t) = \ln M_X(t) = \ln \operatorname{E}\left(e^{tX}\right).</math>

De <math>n</math>-de ''cumulant'' <math>\kappa_n(X)</math> is dan gedefinieerd door:
:<math>\kappa_n(X)=\frac{{\rm d}^n}{{\rm d} t^n} K_X(t)\bigg|_{t=0}</math>.

Directe berekening leert:
:<math>\kappa_1(X)=\mathrm{E}X</math>
en
:<math>\kappa_2(X)=\operatorname{var}(X)</math>.

Noemt men <math>\mathrm{E}X=\mu</math> en <math>\mathrm{var}(X)=\sigma^2</math>, dan is de [[Maclaurinreeks]]-ontwikkeling van de cumulantgenererende functie:

:<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \ldots.</math>

Op alternatieve wijze kunnen cumulanten ook gedefinieerd worden in termen van de [[Karakteristieke functie (kansrekening)|karakteristieke functie]] 
:<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right).</math>

Er geldt:
:<math>\kappa_n(X)=\frac{1}{i^n}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d} t^n}\ln \varphi_X(t)\bigg|_{t=0}</math>

==Voorbeelden==
Voor de [[normale verdeling]] met parameters <math>\mu</math> en <math>\sigma^2</math> is de momentgenererende functie:
:<math>M(t)= e^{\mu t+\frac 12 \sigma^2 t^2},</math>

zodat de cumulantgenererende functie gelijk is aan
:<math>K(t)= \mu t+\tfrac 12 \sigma^2 t^2.</math>

De cumulanten zijn dus:
:<math>\kappa_1=\mu,\quad\kappa_2=\sigma^2</math> en voor <math>n\ge 3:\kappa_n=0</math>

Alle cumulanten van orde groter dan 2 zijn gelijk aan 0, een eigenschap die kenmerkend is voor de normale verdeling.

Voor de [[poissonverdeling]] is
:<math>M(t)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}e^{kt}=e^{-\mu}e^{\mu e^t}</math>,
dus
:<math>K(t)=\mu(e^t-1).</math>
Alle cumulanten zijn aan elkaar gelijk; voor alle <math>n</math> is:
:<math>\kappa_n=\mu.</math>

== Eigenschappen ==
===Invariantie voor verschuivingen ===
Cumulanten worden wel als semi-invarianten van de [[kansdichtheid]] <math>f(x)</math> aangeduid, aangezien ze, met uitzondering van <math>\kappa_1</math>, bij een verschuiving van de [[verwachtingswaarde]] niet veranderen. Voor een willekeurige constante <math>c\in \mathbb R</math> geldt:

:<math>\kappa_1(X + c) = \kappa_1(X) + c</math>
en voor <math>n>1</math>
:<math>\kappa_n(X + c) = \kappa_n(X)</math>

=== Homogeniteit ===
Die <math>n</math>-de cumulant is [[Homogene functie|homogeen]] van de graad <math>n</math>. Voor een willekeurige constante <math>c\in \mathbb R</math> geldt:
:<math>\kappa_n(cX)=c^n\kappa_n(X).</math>

=== Additiviteit ===
Als <math>X_1</math> en <math>X_2</math> onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, geldt, mits de cumulanten bestaan:
:<math>\kappa_{n}(X_1+X_2)=\kappa_{n}(X_1)+\kappa_{n}(X_2).</math>

Analoog geldt voor een <math>n</math>-tal onderling onafhankelijke stochastische variabelen <math>X_1,\ldots, X_n</math>
:<math>\kappa_n\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n\kappa_n(X_i)</math>

Deze eigenschappen volgen direct uit de definitie met behulp van de karakteristieke functie, aangezien de karakteristieke functie van de bovengenoemde sommen het product is van de afzonderlijke karakteristieke functies.

===Aantal cumulanten ongelijk aan 0===
In het voorbeeld zijn slechts de eerste twee cumulanten van de normale verdeling ongelijk aan 0. Trivialerwijze zijn ook alle cumulanten behalve de eerste voor een ontaarde verdeling gelijk aan 0. Behalve deze twee gevallen bestaat er geen andere verdeling met slechts eindig veel cumulanten ongelijk aan 0

== Geschiedenis ==
Cumulanten en hun eigenschappen werden in 1889 voor het eerst beschreven door de Deense [[wiskundige]] [[Thorvald Nicolai Thiele]] in een in het Deens uitgegeven boek.<ref>Thorvald Nicolai Thiele: ''Forelæsninger over almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode'', Kopenhagen 1889.</ref> Daardoor bleven de resultaten lange tijd onbekend, zodat [[Felix Hausdorff]] nog in 1901 deze kengetallen in een artikel als door hem 'nieuw ingevoerd' beschreef.<ref>Felix Hausdorff: ''Gesammelte Werke, Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie''. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5, S. 544, 577.</ref>

== Literatuur ==
* [[Jörg Bewersdorff]]: ''Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch''. Vieweg+Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3834817532, {{doi|10.1007/978-3-8348-8264-6}}, S. 68-70.
* Crispin W. Gardiner: ''Stochastic methods: a handbook for the natural and social sciences''. Springer, 2009. ISBN 978-3-540-70712-7, S. 33-35.
* M. Abramowitz, I. A. Stegun: ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables''. Dover, 1965. ISBN 978-0-486-61272-0

== Referenties ==
<references />

[[Categorie:Kansrekening]]