Brontekst bekijken van Compact

Het [[Wiskunde|wiskundige]] begrip '''compact''' komt uit de [[topologie]]. Het probeert de notie te vatten van een "kleine" of "handelbare" [[topologische ruimte]]. Een [[topologische ruimte]] wordt '''compact''' genoemd als elk van haar [[overdekking (topologie)|open overdekking]]en een [[eindige verzameling|eindige]] [[overdekking (topologie)|deeloverdekking]] heeft. Is dit niet het geval dan wordt zo'n topologische ruimte '''niet-compact''' genoemd.

Merk op dat sommige auteurs zoals [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] hiervoor de term "'''quasi-compact'''" gebruiken. Zij reserveren de term "compact" voor topologische ruimtes die zowel [[Hausdorff-ruimte|Hausdorff]] als "quasi-compact" zijn.

De [[stelling van Heine-Borel]] laat zien dat deze definitie voor [[deelverzameling]]en van de [[euclidische ruimte]] <math>\R^n</math> gelijkwaardig is aan [[gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensdheid|begrensd]]. In <math>\R</math> is bijvoorbeeld het gesloten [[eenheidsinterval]] <math>[0,1]</math> compact, maar is de verzameling van de [[geheel getal|gehele getal]]len <math>\Z</math> dit niet (deze deelverzameling is niet begrensd). Ditzelfde geldt ook voor het halfopen [[interval (wiskunde)|interval]] <math>(0,1]</math> (deze deelverzameling is niet gesloten).

Het concept van een compacte deelverzameling van de [[reëel getal|reële getal]]len kan worden uitgebreid naar compacte deelverzamelingen van enige [[topologische ruimte]] en zelfs naar het concept van een '''compacte ruimte'''. Een deelverzameling is compact, wanneer deze deelverzameling, uitgerust met een [[deelruimtetopologie]], een compacte ruimte wordt.

==Definitie==
Een [[topologische ruimte]] <math>(X,\mathcal{T})</math> wordt '''compact''' genoemd als elke [[overdekking (topologie)|open overdekking]] van <math>X</math> een eindige deeloverdekking heeft. Dat wil zeggen dat, als
:<math>\{U_i|i\in I\}\subset\mathcal{T}</math>
een willekeurige, eventueel oneindige, familie [[open verzameling]]en van <math>X</math> is zodanig dat
:<math>\bigcup_{i\in I}U_i = X,</math>
er een ''[[kardinaliteit|eindige]]'' deelfamilie <math>J\subset I</math> is waarvoor ook
:<math>\bigcup_{i\in J}U_i = X.</math>

Een deelverzameling <math>D</math> van <math>X</math> heet compact als ze, uitgerust met de [[deelruimtetopologie]], op haar beurt een compacte topologische ruimte vormt. Dit is gelijkwaardig met de eis dat voor elke willekeurige familie open verzamelingen van <math>X</math> die <math>D</math> overdekt, er een eindige deelfamilie bestaat die <math>D</math> nog steeds overdekt. Dus als
:<math>\{U_i|i\in I\}\subset\mathcal{T}</math>
een willekeurige, eventueel oneindige, familie [[open verzameling]]en van <math>X</math> is zodanig dat
:<math>\bigcup_{i\in I}U_i \supseteq D,</math>
dan bestaat er een ''[[kardinaliteit|eindige]]'' deelfamilie <math>J\subset I</math> waarvoor ook
:<math>\bigcup_{i\in J}U_i \supseteq D.</math>

==Eigenschappen==
Een belangrijke eigenschap van compacte topologische ruimten is dat het beeld van een compacte ruimte onder een [[Continue functie (analyse)|continue]] afbeelding ook weer compact is. Met andere woorden: compactheid is een [[continu-invariant]]. Andere eigenschappen zijn:
* Als <math>X</math> compact is en <math>Y\subset X</math> is [[gesloten verzameling|gesloten]], dan is <math>Y</math> met de deelruimtetopologie compact.
* Als <math>X</math> een [[Hausdorff-ruimte]] is en <math>Y\subset X</math> met de deelruimtetopologie is compact, dan is <math>Y</math> gesloten.
Uit deze eigenschappen volgt bijvoorbeeld dat een [[bijectie]]ve continue afbeelding van een compacte ruimte naar een [[Hausdorff-ruimte]] altijd een [[homeomorfisme]] is.

De [[stelling van Tychonov]] luidt dat het [[Producttopologie|product]] van compacte ruimten opnieuw compact is.

==Compacte metrische ruimten==
Als de topologische structuur van <math>X</math> afkomstig is van een afstandsfunctie ([[metrische ruimte|metriek]]), dan is compactheid gelijkwaardig met de volgende eigenschap: iedere [[rij (wiskunde)|rij]] in <math>X</math> heeft een [[convergentie (wiskunde)|convergente]] deelrij met limiet in <math>X</math>.

In algemene (niet-metrische) topologische ruimten geldt bovenstaande gelijkwaardigheid niet, maar een veralgemeende stelling kan worden geformuleerd aan de hand van het begrip [[filter (wiskunde)|filter]]: <math>X</math> is compact als en slechts als elke ultrafilter convergeert.

In metrische ruimten is compactheid tevens gelijkwaardig met het samengaan van de volgende twee eigenschappen:
* [[volledig (topologie)|volledigheid]];
* [[totale begrensdheid]]: voor elke willekeurig kleine <math>\varepsilon>0</math> bestaat er een overdekking van <math>X</math> door een eindig aantal [[schijf (wiskunde)|open bollen]] met straal <math>\varepsilon</math>.

Dit is een veralgemeende vorm van de [[stelling van Heine-Borel]], genoemd naar [[Heinrich Eduard Heine]] en [[Émile Borel]].

"Totaal begrensd" heet in sommige handboeken ''precompact''.

==Compacte delen van de Euclidische ruimte==
Metrische ruimten zijn tevens [[Hausdorff-ruimte]]n. De compacte delen van <math>\R^n</math> met de gewone metriek zijn dus gesloten.

Elke compacte (deelruimte van een) [[metrische ruimte]] is [[Begrensdheid|begrensd]]. Dit blijkt aan de hand van de open overdekking die bestaat uit alle open bollen <math>B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}</math> met een vast middelpunt <math>x</math>.

De stelling van Heine-Borel karakteriseert de compacte deelruimten van <math>\R^n</math> als precies de gesloten, begrensde deelverzamelingen.

==Lokaal compact==
Een topologische ruimte heet [[lokaal compacte ruimte|lokaal compact]] als ieder punt een [[omgevingsbasis]] heeft die uit compacte verzamelingen bestaat.

==Relatief compact==
Een deelverzameling <math>V</math> van een topologische ruimte <math>X</math> heet [[relatief compact]] als haar [[topologische sluiting]] in <math>X</math> compact is. Soms wordt de term ''precompact'' gebruikt als synoniem van relatief compact, maar dit creëert verwarring met het begrip totale begrensdheid.

==Compacte operator==
De [[operatorentheorie]] bestudeert [[lineaire afbeelding]]en tussen [[topologische vectorruimte]]n. Een continue lineaire afbeelding heet compact als ze begrensde verzamelingen afbeeldt op relatief compacte verzamelingen. In [[Afstand (wiskunde)|metrische]] topologische vectorruimten heeft het adjectief "begrensd" zijn gewone betekenis, in algemenere topologische vectorruimten geldt een aangepaste definitie.

==Compactificatie==
Compacte ruimten zijn meestal eenvoudiger te analyseren dan niet-compacte ruimten. Het kan dus interessant zijn te weten, dat een gegeven ruimte minstens deel uitmaakt van een compacte ruimte. Er bestaan verschillende standaard-technieken om een gegeven ruimte uit te breiden tot een compacte ruimte.

De [[Alexandrov-compactificatie]] of [[eenpuntscompactificatie]] voegt aan een willekeurige topologische ruimte één punt toe, [[punt op oneindig]] genaamd. Een verzameling heet open in <math>X\cup\{\infty\}</math> als ze een open verzameling is in de oorspronkelijke topologie van <math>X,</math> of als haar complement een compact deel van <math>X</math> is. De eenpuntscompactificatie bestaat voor eender welke topologische ruimte <math>X.</math>

De [[Stone-Čech-compactificatie]] of [[beta-compactificatie]] is beperkt tot ruimten <math>X</math> die aan het [[scheidingsaxioma]] <math>T_{3.5}</math> (axioma van Tychonov) voldoen. De uitgebreide ruimte is niet alleen compact, maar bovendien [[Hausdorff-ruimte|Hausdorff]]. De constructie gaat als volgt: zij <math>C</math> de verzameling van alle [[Continue functie (analyse)|continue functies]] van <math>X</math> naar het gesloten interval <math>[0,1].</math> De ruimte <math>X</math> kan worden opgevat als deelruimte van de oneindige [[producttopologie|productruimte]]
:<math>[0,1]^C</math>
door met ieder element <math>X</math> de evaluatie van continue functies in <math>x</math> te associëren. De [[Afsluiting (topologie)|topologische sluiting]] van deze deelruimte is de compactificatie van <math>X.</math>

[[Categorie:Topologie]]