Brontekst bekijken van Buckingham-π-theorema

Het '''Buckingham-π-theorema''' is een stelling uit de [[dimensieanalyse]] die stelt dat een [[natuurkunde|natuurkundige]] vergelijking met <math>n</math> variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met <math>n-m</math> dimensieloze grootheden. Hierbij is <math>m</math> het aantal fundamentele dimensies (lengte, [[Massa (natuurkunde)|massa]], tijd en dergelijke).

Als de natuurkundige variabelen worden gegeven door <math>q_1, q_2, \ldots, q_n</math> en er een  vergelijking geldt:
:<math>f(q_1, q_2, \ldots, q_n) = 0</math>,

dan kan deze herschreven worden tot een vergelijking
:<math>F(\Pi_1, \Pi_2, \ldots, \Pi_{n-m}) = 0</math>,

waarin de dimensieloze grootheden <math>\Pi_i</math> gegeven worden door:
:<math>\Pi_i = q_1^{m_1} q_2^{m_2} \ldots q_n^{m_n}</math>,

met <math>(m_i)</math> [[rationaal getal|rationale getallen]].

Het gebruik van de symbolen <math>\Pi_i</math> als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door [[Edgar Buckingham]] in een artikel uit 1914.

== Voorbeeld ==
Het theorema kan toegepast worden om een relatie af te leiden voor de slingertijd van een slinger.

De variabelen die de slinger beschrijven zijn: de slingertijd <math>T</math>, de massa <math>M</math>, de lengte <math>l</math> en de (lokale) [[valversnelling]] <math>g</math>. In dit geval zijn er drie fundamentele dimensies, namelijk tijd (s), massa (kg), en lengte (m).

Stel de vergelijking is
:<math>f(T, M, l, g) = 0</math>.

Deze kan volgens het theorema geschreven worden als
:<math>F(\Pi) = 0</math>

waarin <math>\Pi</math> een [[dimensieloze grootheid]] is die voldoet aan:
:<math>\Pi = T^{m_1} M^{m_2} l^{m_3} g^{m_4}</math>

Door de dimensies te analyseren volgen de waarden voor <math>m_i</math>:
:<math>1 = [s]^{m_1} [kg]^{m_2} [m]^{m_3} ([m]/[s]^2)^{m_4}</math>

waaruit volgt dat
:<math>m_2 = 0</math>
:<math>m_1 - 2 m_4 = 0</math>
:<math>m_3 + m_4 = 0</math>

Dit zijn 3 vergelijkingen met 4 onbekenden, zodat een van die onbekenden vrij gekozen kan worden, bijvoorbeeld <math>m_4 = 1</math>. Dan volgt: <math>m_1 = 2,\ m_2=0,\ m_3 = -1</math>.

Er geldt dus voor <math>\Pi</math>
:<math>\Pi = T^2 g l^{-1}</math>,

zodat
:<math>F(T^2 g l^{-1}) = 0</math>

en:
:<math>T^2 g l^{-1} = K\ (\text{constant})</math>
oftewel
:<math>T = K \sqrt{l/g}</math>

Er is echter meer inzicht of een experiment nodig om aan te tonen dat in dit geval er maar één nulpunt is en dat geldt <math>K = 2 \pi</math>.

[[Categorie:Natuurkunde]]