Brontekst bekijken van Bovengrens en ondergrens

In de [[wiskunde]] is een '''bovengrens''' of '''majorant''' van een [[deelverzameling]] <math>S</math> van een [[Partiële orde|partieel geordende]] [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] <math>V</math> een element <math>g\in V</math> waarvoor geldt dat <math>x\le g</math> voor alle <math>x\in S</math>. Als er een bovengrens is van <math>S</math>, heet <math>S</math> een ''naar boven begrensde'' deelverzameling van <math>V</math>.

Op analoge wijze is een '''ondergrens''' of '''minorant''' van <math>S</math> gedefinieerd als een element <math>k\in V</math> waarvoor geldt dat <math>x\ge k</math> voor alle <math>x\in S</math>. Als er een ondergrens is van <math>S</math>, heet <math>S</math> een ''naar onder begrensde'' deelverzameling van <math>V</math>.

In de [[Analyse (wiskunde)|analyse]] geldt eveneens dat een bovengrens van een [[Functie (wiskunde)|functie]] <math>f\colon A\to B</math> een getal <math>g</math> is, waarvoor geldt dat <math>f(x)\le g</math> voor alle <math>x\in A</math>. Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: <math>f(x)\ge k</math> voor alle <math>x\in A</math>.

Een functie met een bovengrens heet ook ''naar boven begrensd''. Een functie met een ondergrens heet ''naar onder begrensd''. Een [[Begrensdheid|begrensde functie]] heeft zowel een ondergrens als een bovengrens. 

== Verwante begrippen ==
=== Maximum en minimum ===
Indien er voor een deelverzameling <math>S</math> van een partieel geordende verzameling <math>V</math> een element <math>M\in S</math> bestaat zodanig dat <math>x\le M</math> voor alle <math>x\in S</math>, dan heet <math>M</math> het ''maximum'' van <math>S</math>. Het maximum <math>M</math> dient dus een bovengrens van <math>S</math> te zijn en tevens tot <math>S</math> te behoren. Men noteert: <math>M=\max(S)</math>.

Analoog is <math>m\in S</math> een ''minimum'' van <math>S</math>, indien voor alle <math>x\in S</math> geldt dat <math>m\le x</math>. Hier is <math>m</math> dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert: <math>m=\min(S)</math>.

=== Supremum en infimum ===
De kleinste bovengrens van <math>S</math>, als deze bestaat, wordt het [[supremum]] <math>\sup(S)</math> van <math>S</math> genoemd. In feite is het supremum van <math>S</math> het minimum van de majoranten van <math>S</math>:
:<math>\sup(S)= \min \{x\in V\mid s\le x, \text{ voor alle }s\in S\}</math>

Analoog wordt de grootste ondergrens van <math>S</math>, als deze bestaat, het [[infimum]] <math>\inf(S)</math> van <math>S</math> genoemd. Het infimum van <math>S</math> is het maximum van de minoranten van <math>S</math>:
:<math>\inf(S)= \max \{x\in V\mid x\le s, \text{ voor alle }s\in S\}</math>

== Eigenschappen ==
Laat <math>S</math> een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling <math>V</math>.

* Als <math>\max(S)</math> bestaat, is dit maximum gelijk aan <math>\sup(S)</math>.
* Als <math>\min(S)</math> bestaat, is dit minimum gelijk aan <math>\inf(S)</math>.
* Als <math>S</math> niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat <math>\sup(S)=+\infty</math>.
* Als <math>S</math> niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat <math>\inf(S)=-\infty</math>.

== Voorbeelden ==
* Neem de deelverzameling <math>S = \{1,2,3,9\}</math> van <math>\R</math>; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van <math>S</math>, aangezien voor ieder getal <math>x \in S</math> geldt dat <math>x \le 12</math>. Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
* Beschouw de volgende deelverzamelingen <math>S</math> van de [[Reëel getal|reële getallen]] <math>\R</math>.
::{| width="340" border="1" style="text-align:center;border-collapse:collapse;"
|- width:60;"
| width="100" | <math>S</math>
| <math>\max(S)</math>
| <math>\sup(S)</math>
| <math>\min(S)</math>
| <math>\inf(S)</math>
|-
| <math>[0,1]</math>|| 1 || 1 || 0 || 0
|-
|<math>(0,1)</math>|| -|| 1|| -|| 0
|-
| <math>\R</math>|| -|| <math>+\infty</math>|| - || <math>-\infty</math>
|- 
| <math>\{\tfrac 1n|n \in \N^+\}</math> || 1 || 1 || - || 0
|}

* Neem de functie <math>f\colon \R \to \R;f(x) = 4 - x^2</math>. Elke <math>u \in [4,\infty)</math> is een bovengrens van <math>f</math>. De functie heeft geen minimum, maar wel is <math>\max(f)=\sup(f)=4</math>.

==Zie ook==
*[[Relatieve chronologie]] (boven- en ondergrens van een onbekend tijdstip) 

[[Categorie:Ordetheorie]]
[[Categorie:Wiskundige analyse]]