Brontekst bekijken van Borelstam

De '''borelstam''' is een [[wiskundige structuur]] die aangeeft in welke mate de [[open verzameling]]en van een [[topologische ruimte]] een meetbaar onderscheid maken tussen de [[punt (meetkunde)|punt]]en van die [[Ruimte (wiskunde)|ruimte]]. Hij is genoemd naar [[Émile Borel]]. Aanvankelijk werd de borelstam op de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] der [[reëel getal|reële getallen]] (met de gebruikelijke topologie) bestudeerd als uitgangspunt voor de [[maattheorie]].

==Oorspronkelijke definitie==
De ''borelstam'' of ''borelalgebra'' op de verzameling der reële getallen is de kleinste [[sigma-algebra]] die alle open [[interval (wiskunde)|interval]]len bevat.

In het algemeen is de [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van alle sigma-algebra's die een gegeven familie verzamelingen omvatten, opnieuw een sigma-algebra (en daarom de unieke kleinste).

De borelstam verandert niet als in de definitie "open intervallen" vervangen wordt door "intervallen" of door "open verzamelingen".

==Voorbeelden==
Nagenoeg alle verzamelingen die toevallig opduiken bij het bestuderen van de reële getallen, zijn meetbaar. Men moet al enig werk verrichten om een ''tegenvoorbeeld'' te vinden. Voorbeelden van borelmeetbare verzamelingen zijn: alle intervallen (open, gesloten, halfopen, halve rechten, de hele reële as) en aftelbare (in het bijzonder, eindige) verzamelingen van reële getallen.

==Onvolledigheid==
De borelstam kan worden uitgerust met de gewone [[borelmaat]]. De aldus ontstane [[maatruimte]] is [[volledig (maattheorie)|onvolledig]] in de zin dat een [[deelverzameling]] van een [[nulverzameling]] niet altijd meetbaar is. De vervollediging van de borelstam heet de [[lebesguestam]].

==Algemene definitie==
De ''borelstam'' op een willekeurige topologische ruimte is de kleinste sigma-algebra die alle open verzamelingen bevat.

==Borelstam van een Poolse ruimte==
Een [[Poolse ruimte]] is een topologische ruimte waarvan de topologie afkomstig is van een [[volledig (topologie)|volledige]] [[separabel]]e [[metrische ruimte]].

Een stelling van [[Kazimierz Kuratowski]] luidt: als <math>(X,\mathcal{T})</math> een [[overaftelbaar|overaftelbare]] Poolse ruimte is, dan bestaat er een [[bijectie]] tussen <math>X</math> en <math>\mathbb{R}</math> die in beide richtingen meetbare verzamelingen op meetbare verzamelingen afbeeldt (voor de respectievelijke borelstammen).

[[Categorie:Wiskundige analyse]]