Brontekst bekijken van Birth-death-wachtlijnsysteem

In de [[wachtrijtheorie]] is een '''birth-death-wachtlijnsysteem''' of '''BD-wachtlijnsysteem''' een [[wachtrijsysteem]] dat kan beschreven worden aan de hand van een [[birth-death-proces]].

Bij een BD-wachtlijnsysteem laat men de aankomst van een klant in het systeem overeenkomen met een geboorte uit een BD-proces, het vertrek van een klant komt overeen met een overlijden in een BD-proces. Het proces <math>N(t)</math> dat de systeembevolking op een tijdstip <math>t</math> weergeeft, vormt dan een BD-proces. Op die manier kan het wachtrijsysteem door een [[toestandsdiagram]] gemodelleerd worden, waarna de evenwichtsvergelijking kunnen opgesteld worden. Uit deze evenwichtsvergelijkingen kan men dan de regimedistributie van de systeembevolking en andere interessante karakteristieken afleiden.

==Voorbeeld==
===M|M|1-wachtrijsysteem===
Een eenvoudig voorbeeld ter illustratie is het [[Kendall-notatie|<math>\mathrm{M|M|1}</math>]]-wachtrijsysteem. In zo'n systeem is er één bedieningsstation. De [[tussenaankomsttijd]]en onafhankelijk [[exponentiële verdeling|exponentieel verdeeld]], het aankomstproces is dan een [[poissonproces]]. De bedieningstijden zijn eveneens exponentieel verdeeld. De opslagcapaciteit en de gebruikerspopulatie worden oneindig verondersteld. De parameter van de exponentiële verdeling van tussenaankomsttijden is <math>\lambda</math>, die van de bedieningstijden <math>\mu</math>, de [[verwachtingswaarde]]n van die verdelingen zijn dan respectievelijk <math>1/\lambda</math> en <math>1/\mu</math>. De systeembevolking <math>N(t)</math> kan dan gemodelleerd worden als een BD-proces met constante geboorte-intensiteiten <math>\lambda_k=\lambda,\ k \ge 0</math>, en constante sterfte-intensiteiten <math>\mu_k=\mu,\ k\ge 0</math>.

Het is inderdaad zo dat de systeembevolking <math>N(t)</math> in het systeem slechts kan overgaan naar een waarde 1 hoger of lager dan de huidige waarde, namelijk bij respectievelijke een aankomst of een vertrek van een klant. De [[geheugenloosheid]] van de exponentiële distributies van de interarrivaltijden en bedieningstijden, en de statistische onafhankelijkheden zorgen bovendien dat:
* de waarschijnlijk op een aankomst in een infinitesimaal interval van lengte <math>\mathrm{d}t</math> is <math>\lambda\mathrm{d}t</math>, ongeacht de ligging en wat ervoor gebeurde
* de waarschijnlijk op een vertrek in een infinitesimaal interval van lengte <math>\mathrm{d}t</math> wanneer een klant in verwerking is, is <math>\mu\mathrm{d}t</math>, ongeacht de ligging en wat ervoor gebeurde
* de waarschijnlijkheid om meer dan één aankomst en/of vertrek te hebben in een interval <math>\mathrm{d}t</math> is verwaarloosbaar.

Deze eigenschappen samen tonen aan dat <math>N(t)</math> een BD-proces is met constante geboorte-intensiteit en constante sterfte-intensiteit. Het fysisch wachtrijsysteem kan nu verder bestudeerd worden aan de hand van de wiskundige principes die gelden voor BD-processen. Men kan zoals voor elk BD-proces het systeem voorstellen door een toestandsdiagram, waaruit de evenwichtsvergelijkingen makkelijk af te leiden vallen.
[[Afbeelding:MM1-wachtlijnsysteem.png|frame|center|Toestandsdiagram van een <math>\mathrm{M|M|1}</math>-wachtlijnsysteem]]

Beschouwt men bijvoorbeeld een oppervlak door de figuur, dan krijgt men de evenwichtsvergelijkingen:
:<math>\lambda p_{k-1} = \mu p_k,\ k \geq 1</math>
daaruit volgt:
:<math>p_k = \frac{\lambda}{\mu} p_{k-1},\ k \geq 1</math>
dus
:<math>p_k = \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k p_0,\ k \geq 0</math>

De [[bezettingsgraad (wiskunde)|bezettingsgraad]] van dit systeem is gegeven door <math>\rho=\lambda/\mu</math>, de voorwaarde voor een stochastisch regime is dan <math>\rho<1</math> of <math>\lambda<\mu</math>, wat ook volgt uit de normeringsvoorwaarde:
:<math>p_0\sum_{k=0}^\infty \rho^k = 1</math>

Deze reeks in het linkerlid convergeert dan en slechts dan, als <math>\rho<1</math>, en is gelijk aan:
:<math>\sum_{k=0}^\infty \rho^k = \frac{1}{1 - \rho}</math>

Daaruit vindt men:
:<math>p_0 = 1 - \rho</math>

De volledige regime-oplossing is dan:
:<math>p_k = (1 - \rho) \rho^k</math>;

het aantal klanten is dus een [[geometrische verdeling|geometrisch verdeelde]] toevalsgrootheid met parameter <math>\rho</math>.

Door middel van verdere eigenschappen van de kansverdelingen kunnen andere grootheden van het wachtrijsysteem wiskundige worden afgeleid.

===Andere voorbeelden===
Andere voorbeelden van systemen die door midden van de BD-proces kunnen worden gemodelleerd, en dus birth-deatch-wachtrijsystemen zijn, zijn:
* '''<math>\mathrm{M|M|}\infty</math>''', in zo'n geval zijn er oneindig veel servers en moet een klant nooit wachten. Wanneer er dus <math>k</math> klanten aanwezig zijn, zijn er <math>k</math> bedieningsstations actief, de sterfte-intensiteit bedraagt dan ook <math>\mu_k=k \mu</math>. Men kan afleiding dat de evenwichtsverdeling van <math>p_k</math> een [[poissonverdeling]] is.
* '''<math>\mathrm{M|M|m}</math>''', in zo'n geval geldt <math>\mu_k=k \mu \text{ voor } 
 0 \le k \le m,\ \mu_k=m \mu \text{ voor } k \ge m</math>.
* '''<math>\mathrm{M|M|1|K}</math>''', waar een systeem niet meer dan <math>K</math> klanten kan bevatten, is het systeem volzet wanneer een klant aankomt, dan gaat die verloren. Men kan afleiden dat de verdeling van <math>p_k</math> een [[gebroken geometrische verdeling]] is.
* '''<math>\mathrm{M|M|m|m}</math>'''. Men kan afleiden dat de verdeling van <math>p_k</math> een [[gebroken poissonverdeling]] is. Dit wachtlijnsysteem wordt gebruikt voor de afleiding van [[Erlangs B-formule]].

[[Categorie:Wachtrijtheorie]]