Brontekst bekijken van Bernhard Riemann

{{Infobox persoon Wikidata}}

'''Georg Friedrich Bernhard Riemann''' (Breselenz in het huidige [[Jameln]] bij [[Dannenberg (Elbe)|Dannenberg]] aan de [[Elbe (rivier)|Elbe]], [[17 september]] [[1826]] - Selasca in het huidige [[Verbania]] aan het [[Lago Maggiore]], [[20 juli]] [[1866]]) was een [[Duitsland|Duitse]] [[wiskundige|wis-]] en [[natuurkundige]] die baanbrekend heeft bijgedragen aan onder meer de [[analyse (wiskunde)|analyse]], de [[getaltheorie]], de [[differentiaalmeetkunde]] en de [[wiskundige natuurkunde]]. Hij combineerde analyse met [[meetkunde]] en was een voorbereider van [[Albert Einstein|Einsteins]] [[algemene relativiteitstheorie]]. De naar hem genoemde [[Riemann-hypothese]] is een van de bekendste openstaande, nog niet [[bewijs (wiskunde)|bewezen]] wiskundige hypothesen. Bernhard Riemann geldt als een van de invloedrijkste wiskundigen aller tijden. 

== Leven ==
=== Jeugd ===
Riemann werd geboren in [[Jameln|Breselenz]], een dorp nabij [[Dannenberg (Elbe)|Dannenberg]] in het [[koninkrijk Hannover]] in de huidige Duitse deelstaat [[Neder-Saksen]]. Zijn vader, Friedrich Bernhard Riemann, die tijdens de [[napoleontische oorlogen]] had deelgenomen aan de gevechten, was een arme [[Lutheranisme|Lutherse]] dominee. Zijn moeder stierf toen de kinderen nog klein waren. Riemann, de tweede van zes kinderen, was een zeer verlegen kind, dat last had van zenuwinzinkingen. Al vanaf jeugdige leeftijd liet Riemann zien dat hij over uitzonderlijke wiskundige vaardigheden beschikte. 

=== Middelbare school ===
Op de middelbare school bestudeerde Riemann intensief de [[Bijbel (christendom)|Bijbel]], maar hij was in zijn gedachten ook vaak bij de wiskunde. Beide combinerend probeerde hij op enig moment zelfs de correctheid van het [[Genesis (boek)|Boek Genesis]], het eerste boek uit de Bijbel, wiskundig te [[bewijs (wiskunde)|bewijzen]]. Hij verbaasde zijn leraren door zijn genie en zijn vermogen om zeer complexe wiskundige [[operatie (wiskunde)|operaties]] uit te kunnen voeren. Het kwam steeds vaker voor dat Riemann meer kennis had dan zijn leraren. In 1840 vertrok Riemann naar [[Hannover (stad)|Hannover]]. Hij leefde daar bij zijn grootmoeder en bezocht het plaatselijke [[lyceum]]. Na het overlijden van zijn grootmoeder in 1842 bezocht hij vervolgens het lyceum in [[Lüneburg (stad)|Lüneburg]]. Op 19-jarige leeftijd begon hij in 1846 aan een studie van [[filologie]] en [[theologie]].

=== Studie ===
Het plan was dat Riemann net als zijn vader theologie zou gaan studeren. Als voorbereiding had hij in Lüneburg behalve [[Latijn]] en [[Oudgrieks|Grieks]] ook [[Hebreeuws]] gestudeerd, maar in [[Göttingen (stad)|Göttingen]] stapte hij over naar de wiskunde. Hij studeerde van 1846 tot 1847 onder andere bij Moritz Stern, [[Johann Benedict Listing]], een van de grondleggers van de [[topologie]] die in 1847 een boek over dit onderwerp schreef, en [[Carl Friedrich Gauss]], die in die jaren vrijwel uitsluitend college gaf in de [[astronomie]] en maar zelden over toegepaste onderwerpen als zijn [[Kleinste-kwadratenmethode|methode van de kleinste kwadraten]]. Riemann volgde daarna van 1847 tot 1849 in [[Berlijn]] college bij [[Johann Dirichlet]] over [[partiële differentiaalvergelijking]]en en bij [[Carl Jacobi]] en [[Ferdinand Eisenstein]], met wie hij nader kennis maakte, over [[elliptische functie]]s. Daarnaast volgde hij meetkunde bij [[Jakob Steiner]]. Volgens [[Richard Dedekind]] was Riemann in die tijd onder de indruk van de gebeurtenissen van de [[Maartrevolutie|revolutie van maart 1848]]. Als onderdeel van het Studenten Corps hield hij een dag de wacht bij het Koninklijk Paleis. In 1849 was hij terug in Göttingen en begon hij te werken aan zijn [[proefschrift]] over de [[Functietheorie|complexe functietheorie]], dat hij in 1851 afsloot. Hij werd daarna eerst assistent van de natuurkundige [[Wilhelm Eduard Weber]] en behaalde in 1854 zijn [[habilitatie]].

=== Hoogleraar in Göttingen, reizen en levenseinde ===
Riemann was vanaf 1857 universitair hoofddocent in Göttingen. Datzelfde jaar trokken zijn twee overlevende zusters bij hem in. Na de dood van zijn broer moest hij ondanks zijn bescheiden salaris voor hen zorgen - in die tijd bestond het salaris van een universitair hoofddocent grotendeels uit [[Inschrijfgeld|entreegelden voor de colleges]], en in de meeste gevallen gold hoe moeilijker het college, des te minder toehoorders. Riemann raakte overwerkt en had een inzinking. Om te herstellen en uit te rusten ging hij naar [[Bad Harzburg]] naar Richard Dedekind. In 1858 bezochten de Italiaanse wiskundigen [[Francesco Brioschi|Brioschi]], [[Enrico Betti|Betti]] en [[Felice Casorati|Casorati]] Göttingen. Riemann raakte met hen bevriend en vertelde ze over de topologie. Hij bezocht in hetzelfde jaar opnieuw Berlijn, waar hij [[Ernst Kummer|Kummer]], [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] en [[Leopold Kronecker|Kronecker]] ontmoette. In 1859 volgde hij na diens overlijden Dirichlet op, en nam daardoor de leerstoel in die enige jaren eerder nog door Gauss werd bekleed. Hij reisde in 1860 naar Parijs, waar hij [[Victor Puiseux|Puiseux]], [[Joseph Bertrand|Bertrand]], [[Charles Hermite|Hermite]], Briot en Boucquet ontmoette. In 1862 trouwde hij met Elise Koch, een vriendin van zijn zusters, met wie hij een dochter, Ida, kreeg, die in 1863 in [[Pisa (stad)|Pisa]] werd geboren. Hij verbleef in dat jaar langere tijd in Italië, waar hij zijn Italiaanse wiskundige vrienden opnieuw ontmoette. Op de terugweg van een reis naar [[Italië]] in 1862 verslechterde zijn gezondheidstoestand. Riemann leed aan [[tuberculose]]. Ook langere verblijven in het milde klimaat van Italië konden de ziekte niet genezen. Op de vlucht voor de in 1866 in de buurt van Göttingen plaatsvindende [[Slag bij Langensalza (1866)|veldslag tussen de legers van Hannover en Pruisen]] en opnieuw op zoek naar herstel van zijn ziekte stierf hij in 1866 op de leeftijd van 39 jaar, op zijn derde reis naar Italië. Hij werd in Biganzolo begraven.<ref>[http://www.w-volk.de/museum/grave28.htm ''Riemanns Grab in Biganzolo''] ([[Verbania]]) (geraadpleegd op 12 augustus 2010)</ref> Op zijn grafsteen staat:
{{citaat|Denen die Gott lieben müssen alle Dinge zum Besten dienen.}}

== Werk ==
Bernhard Riemann geldt ondanks zijn korte leven als een van de meest vooraanstaande wiskundigen aller tijden, van wie het werk tot op de huidige tijd nog steeds van groot belang is voor de natuurwetenschappen. Hij behoorde ten eerste tot de grondleggers van de [[Functietheorie|complexe functietheorie]], de theorie van [[complexe functie]]s en wordt ten tweede als de grondlegger van de niet-euclidische [[elliptische meetkunde]]. Dit wordt nu de [[riemann-meetkunde]] genoemd. Riemann geldt daarmee als een van de wegbereiders voor Einsteins [[algemene relativiteitstheorie]].

Daarnaast bestudeerde Riemann [[elliptische functie]]s, [[integraalrekening]], [[tensor]]rekening en [[differentiaalmeetkunde]].

Hij formuleerde in [[1854]] de nodige en voldoende voorwaarden voor het bestaan van de integraal van een functie, de [[Riemannintegratie|Riemannintegraal]], en  bewees verder dat continue en stuksgewijs continue [[Functie (wiskunde)|functies]] aan die voorwaarden voldoen. Hij gaf in [[1856]] een boek uit met zijn lessen over [[zwaartekracht]] en [[elektromagnetisme]] en vond in [[1861]] de eerste metrische differentiaaltensor.

=== Meetkunde ===
Riemann schreef alleen in zijn [[habilitatie]]college uit 1854 over zijn ideeën over de [[differentiaalmeetkunde]] in een willekeurig aantal [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] met een lokaal gedefinieerde [[Afstand (wiskunde)|metriek]] en besprak het in de aanwezigheid van [[Carl Friedrich Gauss]], die toen reeds op leeftijd was. Riemann had voor deze habilitatie verschillende colleges voorbereid. Zijn ''Über die Hypothesen, welchen der Geometrie zugrunde liegen'' werd pas als laatste voorgelegd.<ref>Riemann werd in dit habilitatiecollege gedwongen zich voor een breder publiek op een begrijpelijke manier uit te drukken. Mede daarom kwamen er niet veel formules in zijn college voor. Het werk werd alleen in bredere kring na de dood van Riemann bekend door de publicatie ervan in de Nachrichten der Göttinger Akademie der Wissenschaften 1868 door zijn vriend [[Richard Dedekind]]. <br> [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002019213 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen]</ref> Gauss koos, wat ongebruikelijk is, bewust voor dit thema en was na afloop onder de indruk. Toen dit werk in 1868, pas twee jaar na Riemanns dood, werd gepubliceerd, werd het door het wiskundig publiek met enthousiasme ontvangen. Het wordt nu erkend als een van de belangrijkste werken in de geschiedenis van de meetkunde. 

Het studiegebied dat zijn oorsprong vond in dit habilitatiecollege wordt naar hem de [[Riemann-meetkunde]] genoemd. Riemann vond de juiste manier om de [[differentiaalmeetkunde]] van [[oppervlak (topologie)|oppervlak]]ken, die door Gauss zelf al waren [[bewijs (wiskunde)|bewezen]] in diens ''[[theorema egregium]]'', uit te breiden naar <math>n</math> [[dimensie (lineaire algebra)|dimensie]]s. Het fundamentele object noemt men de [[krommingstensor van Riemann]]. Voor het geval van een oppervlak kan deze tensor tot een positief, negatief of nulzijnd getal ([[scalair]]) worden gereduceerd; de niet-nulzijnde en constante gevallen zijn modellen van de [[niet-Euclidische meetkunde]]. Riemann's idee was om een verzameling van getallen op elk [[punt (meetkunde)|punt]] in de [[ruimte (wiskunde)|ruimte]]  (dat wil zeggen, een [[tensor]]) te introduceren die beschrijft in hoeverre deze ruimte gebogen of [[kromming (meetkunde)|gekromd]] is. Riemann vond dat men in vier ruimtelijke dimensies op elk punt een verzameling van tien getallen nodig heeft om de eigenschappen van een [[variëteit (wiskunde)|variëteit]] te beschrijven, ongeacht hoe vervormd deze variëteit is. Dit is de beroemde constructie die centraal staat in zijn meetkunde en die nu bekendstaat als een [[Riemann-metriek]].

In een Parijzer prijsessay, in 1876 gepubliceerd in zijn verzamelde werken, wees Riemann op concrete uitvoering van zijn ideeën, bijvoorbeeld de [[Christoffelsymbool|Christoffel-symbolen]] en de [[krommingstensor van Riemann]].

=== Functietheorie ===
Zijn meetkundige onderbouwing van de [[functietheorie]] met de invoering van [[Riemann-oppervlak]]ken, waarop meerduidige functies zoals de [[logaritme]]n (oneindig veel bladeren) of wortelfuncties (twee bladen) "eenduidig" zijn, deed hij in zijn [[proefschrift]], dat volgens Dedekind reeds in het najaar 1847 in Berlijn werd voltooid (in discussies met Eisenstein zou hij zijn differentiaalvergelijking- toegang hebben verdedigd tegen de meer formele instelling van Eisenstein). Complexe functies zijn "[[harmonische functie]]s" (dat wil zeggen dat zij voldoen aan de [[Laplacevergelijking]] of gelijkwaardig zijn de [[Cauchy-Riemann-vergelijkingen|Cauchy-Riemann-differentiaalvergelijking]]en) op die oppervlakken en zij worden door de locatie van hun [[singulariteit (wiskunde)|singulariteit]]en en de topologie van deze oppervlakken (aantal bladeren enz.) beschreven. Het topologische "geslacht" van Riemann-oppervlakken wordt door 
: <math>g = \tfrac 12 w - n + 1</math>

gegeven, waar de <math>w</math> [[vertakkingspunt]]en van het oppervlak <math>n</math> bladeren aan elkaar gehecht zijn. Voor <math>g > 1</math> heeft het Riemann-oppervlak 
: <math>3 g - 3</math>

parameters, de modulen.

Zijn bijdragen op dit gebied zijn talrijk. Zijn beroemde [[afbeeldingstelling van Riemann]] stelt dat elke simpelweg verbonden gebied in het [[complexe vlak]] <math>\Complex</math>, hetzij "[[Biholomorfisme|biholomorf]]" equivalent is aan <math>\Complex</math> in zijn geheel of aan het inwendige van de [[eenheidscirkel]] van <math>\Complex</math> (wat wil zeggen dat er ook in omgekeerde richting een analytische afbeelding bestaat). De veralgemening van de stelling in termen van Riemann-oppervlakken is de beroemde [[uniformeringsstelling]], waar onder andere [[Henri Poincaré]] en [[Felix Klein]] zich van 1870-1890 intensief mee bezig hebben gehouden. Ook hier kwamen de wiskundig strikte bewijzen eerst later – na de ontwikkeling van adequate wiskundige hulpmiddelen – in dit geval in de [[topologie]].

Voor het bewijs van het bestaan van [[Functie (wiskunde)|functie]]s op Riemann-oppervlakken maakte Riemann gebruik van een minimaalvoorwaarde, die hij het [[principe van Dirichlet]] noemde (minimalisering van de [[integraal]] (over het oppervlak) van de scalaire kwadraat van de [[Gradiënt (wiskunde)|gradiënt]] van de functies, losjes gesproken de "energie". [[Partiële integratie]] van deze integraal geeft de [[Laplace-vergelijking]]). [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] wees direct op een gat: Riemann had met zijn "werkhypothese" (voor hem was het bestaan van het minimum intuïtief duidelijk) geen rekening gehouden met het feit dat de eraan ten grondslag liggende [[functieruimte]] niet volledig hoefde te zijn en dat derhalve het bestaan van een minimum niet verzekerd was. Door het werk van [[David Hilbert|Hilbert]] in de [[variatierekening]] werd het principe van Dirichlet rond de eeuwwisseling van een theoretische basis voorzien. 

Weierstrass was overigens onder de indruk van Riemann, in het bijzonder van zijn theorie over [[Commutativiteit|commutatieve]] functies. Toen Riemanns artikel verscheen trok Weierstrass zijn eigen werk over dit onderwerp, dat reeds bij [[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Crelle]] lag, weer terug en publiceerde het ook niet meer. De twee kregen een goede verstandhouding, vanaf het moment dat Riemann hem in 1859 in Berlijn bezocht. Weierstrass moedigde zijn student [[Hermann Amandus Schwarz]] aan om naar alternatieven voor het principe van Dirichlet te zoeken in de grondslagen van de functietheorie. Hierin was Schwarz succesvol. 

Voor de moeilijkheden die tijdgenoten van Riemann met zijn nieuwe ideeën hadden is een [[anekdote]] kenmerkend die is overgeleverd door [[Arnold Sommerfeld]]:<ref>{{aut|Arnold Sommerfeld}}, „Vorlesungen über theoretische Physik“, Bd.2 (Mechanik deformierbarer Medien), Harri Deutsch, blz. 124. Sommerfeld had deze geschiedenis van [[Aken (stad)|Akener]] hoogleraar experimentele natuurkunde Adolf Wüllner</ref> Weierstrass had Riemanns proefschrift in de jaren 1870 meegenomen om tijdens zijn vakantie op de [[Rigi (berg)|Rigi]] te bestuderen en klaagde dat het werk zeer moeilijk te begrijpen was. De natuurkundige [[Hermann von Helmholtz]] leende het werk om het 's avonds te bestuderen en gaf het terug met het commentaar dat het voor hem "overeenkomstig de natuur" en "vanzelfsprekend" was.

=== Getallentheorie ===
Zijn werk [[Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse]] uit 1859, zijn enige werk over de [[getaltheorie]], geldt samen met een aantal werken van [[Pafnoeti Tsjebysjev|Tsjebysjev]] en zijn leraar Dirichlet als het fundament voor de [[analytische getaltheorie]]. Het was vooral een poging om de door Gauss vermoede [[priemgetalstelling]] te [[Wiskundig bewijs|bewijzen]]. 

Riemann deed in dit werk met behulp van de [[Functietheorie|complexe functietheorie]] verregaande uitspraken over de verdeling van de [[priemgetal]]len. Hier vinden we vooral ook de naar hem genoemde [[riemann-hypothese]] over de [[Nulpunt (functietheorie)|nulpunten]] van de [[zèta-functie]], hoewel maar in een zin vermeld. Hij gaf het na enkele vluchtige pogingen op om een bewijs te vinden, omdat hij het voor zijn onmiddellijke doel niet nodig had. De riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen, maar daarentegen van fundamenteel belang voor de getaltheorie. Dat aan Riemann's korte essay omvangrijke berekeningen ten grondslag lagen heeft [[Carl Ludwig Siegel|Siegel]] in 1932 laten zien, toen hij de nalatenschap van Riemann in Göttingen onderzocht. 

Riemann heeft nog meer interessante bijdragen aan de [[wiskunde]] geleverd. Zo bewees hij de [[functionaalvergelijking]] van de zètafunctie, die al bekend was aan Euler, waarachter zich een [[thèta-functie]] verstopt en gaf hij een betere benadering voor de [[Priemgetal#Verdeling van de priemgetallen|verdeling van priemgetallen]] <math>\pi(x)</math> dan de verschoven [[logaritmische integraal]] <math>\mathrm{Li}(x)</math>. Door de [[sommatie]] van deze benaderingsfunctie over de [[Trivialiteit (wiskunde)|niet-triviale]] nulpunten op de [[Lijn (meetkunde)|lijn]] met reëel deel 1/2, gaf hij zelfs een exacte 'expliciete formule' voor de [[priemgetal-telfunctie]] <math>\pi(x)</math>. 

Omdat Tsjebysjev in 1852 Dirichlet in Berlijn had bezocht, was Riemann bekend met het werk van Tsjebysjev over de priemgetalstelling, maar de methode die ze gebruikten verschilden sterk van elkaar.

=== Wiskundige natuurkunde, natuurlijke filosofie ===
Riemann interesseerde zich onder de invloed van de filosoof [[Johann Friedrich Herbart]]<ref>Erhard Scholz ''Herbert's Influence on Bernhard Riemann'', Historia Mathematica, Deel 9, 1982, blz. 413-440</ref> ook sterk voor de wiskundige natuurkunde en de natuurfilosofie. Hij verdedigde een soort van "veldtheorie" van de geestelijke fenomenen vergelijkbaar met de elektrodynamische in analogie met de [[wet van Gauss]] in de [[potentiaaltheorie]]. „In jedem Augenblick tritt etwas Bleibendes in unsere Seele, um gleich wieder zu verschwinden.“<ref>geciteerd uit de biografie over Riemann van Laugwitz</ref> Voor Herbart, die in navolging van [[David Hume]] op zoek was naar een wiskundige onderbouwing van de psychologie, was het [[Subject (filosofie)|subject]] slechts het veranderende product van de ideeën. Riemanns ideeën over de natuurlijke filosofie zijn uit zijn nalatenschap in zijn verzameld werk gepubliceerd.

Zijn "Beitrag zur Elektrodynamik" van 1858, die hij voor publicatie terugtrok, moest de [[elektrodynamica]] verenigen: Coulombkrachten (zwaartekracht, elektriciteit) uit weerstand tegen verandering in volume, "elektrodynamische" krachten, zoals licht, warmtestraling uit weerstand tegen lengteverandering van een [[lijnstuk]] (hij gaat van [[André-Marie Ampère|Ampère]]s [[wet van Ampère|wet]] over de wisselwerking van twee elektrische stromen uit). In plaats van de [[Poissonvergelijking|Poisson-vergelijking]] voor de potentiaal, kwam hij tot een [[golfvergelijking]] met constante [[lichtsnelheid]]. Bij de ontwikkeling van zijn ideeën werd hij beïnvloed door [[Isaac Newton]]s derde brief aan Bentley (geciteerd in Brewsters "Leven van Newton"). De Duitse natuurkundige [[Rudolf Clausius]] vond in dit postuum gepubliceerde werk een ernstige vergissing. 

Zijn gebruik van het [[principe van Dirichlet]] duidde reeds op methoden uit de [[variatierekening]]. Riemann heeft ook een werk over [[minimaaloppervlak]]ken geschreven. Volgens Laugwitz is dit werk door Hattendorff, die het werk postuum uitgaf, onhandig bewerkt en loopt het werk vooruit op veel ideeën van [[Hermann Amandus Schwarz]]. 

In de wiskundige natuurkunde werkte hij bijvoorbeeld aan [[warmtegeleiding]]sproblemen, potentiaalproblemen, [[partiële differentiaalvergelijking|hyperbolische differentiaalvergelijking]]en (hij ontdekte in 1860 een nieuwe methode voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen die [[schokgolf|schokgolven]] beschrijven) en afbeeldingen van roterende [[vloeistof]]fen. Vanwege zijn studie naar hyperbolische vergelijkingen is het [[Riemann-probleem]] naar hem vernoemd. Op het gebied van roterende vloeistoffen beantwoordde hij een vraag van Dirichlet en vond nieuwe [[Afbeelding (wiskunde)|afbeeldingen]] in aanvulling op de reeds door Dedekind, Dirichlet en MacLaurin gekende. Daarnaast heeft hij (vooruitlopend op [[Aleksandr Ljapoenov]]) ook gekeken naar de stabiliteit van deze afbeeldingen. Hattendorf heeft zijn colleges over partiële differentiaalvergelijkingen over de wiskundige natuurkunde na zijn dood uitgegeven. Later werd daaruit door [[Heinrich Weber (wiskundige)|Heinrich Weber]] een toenmaals bekend leerboek samengesteld. Nog kort voor zijn dood werkte Riemann aan een theorie van het menselijke [[oor]].

== Naar Riemann genoemd ==
{{Kolommen lijst |breedte=20 |aantal=2 |inhoud=
* [[Riemann-functie]]
* [[Riemann-hypothese]]
* [[Riemannintegratie]]
* Riemann-matrix
* [[Riemann-meetkunde]]
* [[Riemann-oppervlak]]
* [[Riemann-sfeer]]
* [[Krommingstensor van Riemann]]
* [[Riemann-variëteit]]
* [[Riemann-zèta-functie]]
* Riemann-som
* Lemma van Riemann
* [[Afbeeldingstelling van Riemann]]
* Formule van Riemann
* [[Formule van Riemann-Hurwitz]]
* Riemann-Liouville differentiaal-integraalvergelijking
* Formule van Riemann-von Mangoldt
* [[Stelling van Riemann-Roch]]
* Riemann-[[thèta-functie]]
* [[Riemann-Siegel-thèta-functie]]
* Riemanns differentiaalvergelijking
* [[Cauchy-Riemann-differentiaalvergelijkingen]]
* [[Stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch]]
* [[Lemma van Riemann-Lebesgue]]
* [[Riemann-Stieltjes-integraal]]
* Riemannstelling over reeksen
}}

== Overige ==
* Riemann is een van de historische figuren in de film [[Dimensions (film)|Dimensions]].

== Literatuur ==
* {{en}} {{aut|John Derbyshire}}, ''Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics'' (John Henry Press, 2003) {{ISBN|0-309-08549-7}}
* {{en}} {{aut|[[Marcus du Sautoy]]}}, ''The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics,'' [[HarperCollins]], 2003. {{ISBN|0-06-621070-4}}
*  From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos,  and Sumio Yamada, Eds.) Springer,  2017, XXXIV, 647 p.  {{ISBN|978-3-319-60039-0}}

== Websites ==
* {{en}} [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=18232 Riemann] in het [[Mathematics Genealogy Project]].
* {{de}} [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Papers.html The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann]
* {{de}} Alle publicaties van Riemann zijn te vinden op [https://web.archive.org/web/20020601153630/http://www.emis.de/classics/Riemann/ The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)].
* {{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Riemann.html MacTutor biografie van Riemann]
* {{en}} [http://scienceworld.wolfram.com/biography/Riemann.html Biografie] op Wolframs science world.

{{Appendix|Voetnoten}}
{{Commons|Georg Friedrich Bernhard Riemann}}

{{DEFAULTSORT:Riemann, Bernhard}}
[[Categorie:19e-eeuws wiskundige]]
[[Categorie:Duits wiskundige]]
[[Categorie:Differentiaalmeetkundige]]
[[Categorie:Getaltheoreticus]]