Brontekst bekijken van Beet-getal

In de [[wiskunde]] is een '''beet-getal''' de [[kardinaliteit]] van een herhaalde [[machtsverzameling]] van de [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] <math>\N</math>. De beetgetallen worden aangeduid met de [[Hebreeuws alfabet|Hebreeuwse letter]] <math>\beth</math> ([[Beet (letter)|beet]]), de tweede letter van het Hebreeuwse alfabet. <math>\beth_0=\aleph_0</math> de kardinaliteit van <math>\N</math>. <math>\beth_1</math> is de kardinaliteit van 
de machtsverzameling <math>\mathcal{P}(\N)</math>, <math>\beth_2</math> is de kardinaliteit van de machtsverzameling <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(\N))</math> van <math>\mathcal{P}(\N)</math>, enz.

== Definitie ==
De ''beet-getallen'' <math>\beth_\alpha</math> zijn gedefinieerd door:
:<math>\beth_0=\aleph_0</math>
en
:<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}</math>.

Gegeven deze definitie zijn,
:<math>\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots</math>

respectievelijk de kardinaliteiten van
:<math>\N,\ \mathcal{P}(\N),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\N)),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\N))),\ldots</math>

Het tweede beet-getal <math>\beth_1</math> is dus gelijk aan '''c''' (of <math>\mathfrak c</math>), de [[kardinaliteit van het continuüm]], en het derde beet-getal <math>\beth_2</math> is de kardinaliteit van de machtsverzameling van het continuüm.

Vanwege de [[stelling van Cantor]] heeft elke verzameling in de hierboven getoonde rij een kardinaliteit die strikt genomen groter is dan de eraan voorafgaande verzameling. Voor oneindige [[limietordinaal|limietordinalen]], λ, wordt het overeenkomstige beet-getal gedefinieerd als het [[Bovengrens en ondergrens|supremum]] van de beet-getallen voor alle [[ordinaalgetal]]len die strikt genomen kleiner zijn dan λ:
:<math>\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}</math>.

Men kan ook aantonen dat de [[von Neumann-universum|von Neumann-universa]]  <math>V_{\omega+\alpha}</math> een kardinaliteit <math>\beth_{\alpha}</math> hebben

[[Categorie:Kardinaalgetal]]