Brontekst bekijken van Alternerende reeks

In de [[wiskunde|wiskundige]] [[analyse (wiskunde)|analyse]] is een '''alternerende reeks''' een [[reeks (wiskunde)|reeks]] waarvan de termen afwisselend positief en negatief zijn. Een voorbeeld is de reeks:
:<math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n = - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots</math>

Als een alternerende reeks [[Absolute convergentie|absoluut convergeert]], convergeert de alternerende reeks zelf ook. Dit betekent echter niet dat elke convergerende alternerende reeks ook absoluut moet convergeren. Een voorbeeld waarbij dit niet het geval is, is de [[harmonische reeks]].
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1n=1+\tfrac 12 +\tfrac 13 + \tfrac 14 \cdots</math>

Deze reeks convergeert niet, echter de alternerende reeks convergeert naar [[natuurlijke logaritme|ln]] 2.
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}=1-\tfrac 12 +\tfrac 13 - \tfrac 14 \cdots=\ln 2</math>

Een algemener criterium voor de convergentie van een alternerende reeks is het [[Convergentie (wiskunde)#Criterium van Leibniz|criterium van Leibniz]]. Dit stelt dat als de [[rij (wiskunde)|rij]] <math>a_n</math> monotoon daalt en convergeert naar nul, de alternerende reeks 
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n</math>.

ook convergeert.

{{DEFAULTSORT:Alternerende reeks}}
[[Categorie:Wiskundige reeks]]
[[Categorie:Wiskundige analyse]]