Brontekst bekijken van Algebraïsche functie

In de [[algebra]] is een '''algebraïsche functie''' een [[Functie (wiskunde)|functie]] die de wortel is van een [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijking]], waar [[Polynoom|polynomen]] in voorkomen. In veel gevallen kunnen zulke functies worden uitgedrukt in een eindig aantal termen, waarbij alleen van de algebraïsche bewerkingen [[optellen]], [[vermenigvuldigen]] en [[machtsverheffen]], eventueel tot een [[Breuk (wiskunde)|gebroken]] macht, gebruik wordt gemaakt. Voorbeelden zijn:

: <math>f(x) = \frac 1x,\ f(x) = \sqrt{x\ },\ f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^2\ }}{x - \sqrt[3]{x\ }}</math>

Niet iedere algebraïsche functie kan  zo worden uitgedrukt, zoals is aangetoond door [[Évariste Galois]] en [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]]. Een voorbeeld is de algebraïsche functie <math>f(x)</math>, gedefinieerd door de vijfdegraadsvergelijking  

: <math>(f(x))^5 + (f(x))^4 + x = 0</math>

== Definitie ==
Een algebraïsche functie in een [[variabele]] is een functie <math>y = f(x)</math>, die voldoet aan een algebraïsche vergelijking van de vorm:
: <math>a_n(x) y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + \ldots + a_0(x) = 0</math>

waarin de [[Polynoom#Coëfficiënten|coëfficiënten]] zelf ook weer polynomen zijn. 

In dit geval is er een variabele. Meer in het algemeen mogen de coëfficiënten ook polynomen in meer variabelen zijn. Een functie die niet algebraïsch is, wordt een [[transcendente functie]] of een niet-algebraïsche functie genoemd.

{{DEFAULTSORT:Algebraische functie}}
[[Categorie:Algebra]]
[[Categorie:Wiskundige functie]]