Brontekst bekijken van Afbeeldingstelling van Riemann

In de [[functietheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], stelt de '''afbeeldingstelling van Riemann''' dat bij elke [[Open verzameling|open]] echte [[deelverzameling]] <math>U</math> van het [[complexe vlak]] <math>\mathbb C</math>, die nog [[Enkelvoudig samenhangende ruimte|enkelvoudig samenhangend]] is, een [[Biholomorfisme|biholomorfe]], dus [[bijectie]]f en [[Holomorfe functie|holomorf]], afbeelding <math>f</math> van <math>U</math> op de open [[eenheidsschijf]] <math>D = \{z \in \Complex :|z|<1 \}</math> bestaat. Intuïtief betekent de voorwaarde dat <math>U</math> enkelvoudig samenhangend is dat <math>U</math> geen 'gaten' bevat. Het feit dat <math>f</math> biholomorf is impliceert dat het een [[conforme afbeelding]], een hoekgetrouwe afbeelding is. Dat betekent dat de vorm van iedere voldoende klein figuur geroteerd of geschaald, maar niet gespiegeld, onder zo'n afbeelding hetzelfde blijft.

[[Henri Poincaré]] bewees dat de afbeelding <math>f</math> in essentie uniek is: als <math>z_0</math> een element van <math>U</math> is en <math>\varphi</math> een willekeurige hoek is, dan bestaat er precies een <math>f</math>, zoals hierboven, met de extra eigenschappen dat <math>f</math> het punt <math>z_0</math> afbeelft op <math>0</math> en dat het [[Complex getal#complex vlak|argument]] van de afgeleide van <math>f</math> in het punt <math>z_0</math> gelijk is aan <math>\varphi</math>. Dit is een eenvoudige consequentie van het [[lemma van Schwarz]].

Er zijn op biholomorfe equivalentie na maar drie open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het [[Vlak (meetkunde)|vlak]]:
* De [[lege verzameling]],
* De open [[eenheidsschijf]] en
* Het hele [[complexe vlak]].

Als een [[corollarium]] van de [[Stelling (wiskunde)|stelling]] kunnen elke twee enkelvoudig verbonden open deelverzamelingen van de [[riemann-sfeer]], die ieder ten minste twee [[Punt (wiskunde)|punten]] van de riemann-sfeer missen, hoekgetrouw op elkaar worden afgebeeld. Dat komt omdat hoekgetrouwe gelijkwaardigheid een [[equivalentierelatie]] is.

Bovendien is zo een equivalentie in zekere zin uniek bepaald: veronderstel dat <math>A</math> en <math>B</math> twee open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak zijn. Kies punten <math>a\in A, b\in B</math> en een hoek <math>t.</math> Dan bestaat er een unieke equivalentie van <math>A</math> naar <math>B</math> die <math>a</math> op <math>b</math> afbeeldt, zodat de [[afgeleide]] in <math>a</math> [[Argument (complex getal)|argument]] <math>t</math> heeft.

[[Categorie:Complexe analyse]]
[[Categorie:Wiskundige stelling|Riemann afbeelding]]