Brontekst bekijken van 15- en 290-stelling

De '''15-stelling''' van [[John Conway|John H. Conway]] en [[William A. Schneeberger]], bewezen in [[1993]], stelt dat als een geheeltallige [[kwadratische vorm|positief definiete kwadratische vorm]] (we nemen vanaf hier impliciet op deze pagina aan dat de kwadratische vormen positief definiet zijn) met geheeltallige matrix alle positieve gehele getallen tot en met [[15 (getal)|15]] representeert, dat het dan alle positieve gehele getallen representeert. Het bewijs was gecompliceerd en werd nooit gepubliceerd. [[Manjul Bhargava]] vond een veel eenvoudiger bewijs dat werd gepubliceerd in [[2000]].

De bovengrens van 15 is optimaal, omdat er kwadratische vormen, zoals
:<math>w^2+2x^2+5y^2+5z^2</math>

zijn die alle positieve gehele getallen ongelijk aan 15 representeren.

Een kwadratische vorm die alle positieve gehele getallen representeert, wordt soms ''universeel'' genoemd. Zo is
:<math>w^2+x^2+y^2+z^2</math>

universeel, omdat ieder positief geheel getal als som van vier kwadraten kan worden geschreven volgens de [[vier-kwadratenstelling van Lagrange]]. Deze [[stelling (wiskunde)|stelling]] wordt in het bewijs voor de 15-stelling gebruikt als hulpstelling.

De 15-stelling kan worden gepreciseerd door niet te eisen dat alle positieve gehele getallen tot en met 15 worden gerepresenteerd, maar alleen de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 en 15. Voor elk van deze getallen bestaan er kwadratische vormen die alle positieve gehele getallen representeren met uitzondering van dat getal.

De eis van een geheeltallige matrix kan afgezwakt worden tot de eis dat alle coëfficiënten geheeltallig zijn. Bijvoorbeeld :<math>x^2+xy+y^2</math> heeft geheeltallige coëfficiënten, maar geen geheeltallige matrix.

==290-stelling==
In [[2005]] hebben Manjul Bhargava en [[Jonathan P. Hanke]] een bewijs aangekondigd dat een [[stelling (wiskunde)|stelling]] als de 15-stelling ook geldt voor kwadratische coëfficiënten, hetgeen al als vermoeden door Conway en Schneeberger was geuit. Het getal 15 moet nu worden vervangen door [[290 (getal)|290]], de zo verkregen stelling wordt de '''290-stelling''' genoemd.

Ook hier kan de stelling worden gepreciseerd door te stellen dat als door een kwadratische vorm met geheeltallige coëfficiënten alleen de getallen
: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290<ref>{{Link OEIS|id=A030051}}</ref>
worden gerepresenteerd, dan worden alle positieve gehele getallen gerepresenteerd en voor elk van deze 29 getallen is er een kwadratische vorm die alleen dat getal niet representeert.

{{Appendix|2=
* Bhargava, Manjul [http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/mat/15.pdf ''On the Conway-Schneeberger fifteen theorem.'' ] Quadratic forms and their applications (Dublin, 1999), 27--37, Contemp. Math., 272, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
* Conway, J. H. [http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/mat/15.pdf ''Universal quadratic forms and the fifteen theorem.''] Quadratic forms and their applications (Dublin, 1999), 23--26, Contemp. Math., 272, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
* [http://www.kennislink.nl/publicaties/het-290-vermoeden-bewezen Kennislink: Het 290 vermoeden]
* [https://web.archive.org/web/20090621075153/http://www.math.duke.edu/~jonhanke/290/Universal-290.html "Universal quadratic forms and the 290-Theorem" - bronnenpagina]
{{References}}
}}

[[Categorie:Getaltheorie]]
[[Categorie:Wiskundige stelling]]